北京市2022高考数学 一模试题解析分类汇编系列五 5 数列 文

【解析分类汇编系列五：北京2022高三（一模）文数】5：数列．（2022届北京市延庆县一模数学文）已知等差数列,等比数列,则该等差数列的公差为（　　）A．3或B．3或C．D．C在等差数列中，，即。成等比，所以，即，整理得，解得或。当时，，所以成等比不成立，舍去。当时，成立，所以公差为，选C.．（2022届北京东城区一模数学文科）对于函数,部分与的对应关系如下表:123456789745813526数列满足,且对任意,点都在函数的图象上,则的值为（　　）A．9394B．9380C．9396D．9400A因为，由题意知，则，，，，所以数列是周期3的周期数列。所以，所以选A.．（2022届北京丰台区一模文科）设为等比数列的前项和,,则（　　）A．2B．3C．4D．5B在等比数列中，由得，所以，选B.．（2022届北京海淀一模文）等差数列中,则的值为（　　）16\nA．B．C．21D．27A在等差数列中由，解得，所以，所以，选A.．（2022届北京门头沟区一模文科数学）在等差数列中,,,则的值是（　　）A．15B．30C．31D．64A由，得，由，得，解得，所以，选A.．（2022届北京西城区一模文科）设等比数列的公比为,前项和为,且.若,则的取值范围是（　　）A．B．C．D．B由得，即，所以，解得，又，所以的取值范围是，选B.．（2022届房山区一模文科数学）已知为等差数列,为其前项和.若,则（　　）A．B．C．D．D由得，解得，所以，选D.16\n．（2022届房山区一模文科数学）设集合是的子集,如果点满足:,称为集合的聚点.则下列集合中以为聚点的有:①;②;③;④（　　）A．②③B．②④C．①③D．①③④A①中，集合中的元素是极限为1的数列，除了第一项0之外，其余的都至少比0大，∴在的时候，不存在满足得0＜|x|＜a的x，∴0不是集合的聚点②集合{x|x∈R，x≠0}，对任意的a，都存在x=（实际上任意比a小得数都可以），使得0＜|x|=＜a，∴0是集合{x|x∈R，x≠0}的聚点③集合中的元素是极限为0的数列，对于任意的a＞0，存在，使0＜|x|=，∴0是集合的聚点④对于某个a＜1，比如a=0.5，此时对任意的x∈Z，都有|x﹣0|=0或者|x﹣0|≥1，也就是说不可能0＜|x﹣0|＜0.5，从而0不是整数集Z的聚点故选A．（2022届北京市延庆县一模数学文）已知定义在正整数集上的函数满足以下条件:(1),其中为正整数;(2).则______.因为，所以，即，所以，，，，等式两边同时相加得，即16\n。．（2022届北京市朝阳区一模数学文）在等比数列中，，则，若为等差数列，且，则数列的前5项和等于.，在等比数列中，解得。在等差数列中，所以。．（2022届北京市石景山区一模数学文）在等差数列中，=-2022，其前n项和为，若=2，则的值等于．在等差数列中，由得，即，所以。．（2022届北京东城区一模数学文科）数列{an}的各项排成如图所示的三角形形状,其中每一行比上一行增加两项,若,则位于第10行的第8列的项等于___,在图中位于___.(填第几行的第几列)第行的第列第行的第列因为第行的最后一项为，所以第9行的最后一项为，所以第10行的第8列的项为。因为，所以在图中位于第行的第列。．（2022届北京大兴区一模文科）已知数列,,,数列的前n16\n项和为,则n=_______.18因为，所以数列是公差为2的等差数列，所以。又，所以，解得。．（2022届北京大兴区一模文科）已知函数是定义在上的单调递增函数,且时,,若,则________;_________因为，所以，若，则与矛盾。若，则，所以矛盾。所以必有，。，，因为函数单调递增，所以必有，即。．（2022届北京西城区一模文科）已知数列的各项均为正整数,其前项和为.若且,则______;______.，若是奇数，则为偶数，所以，，因为，所以，解得。若是偶数，则，若是偶数，所以，所以，即不是偶数，所以不成立。16\n若是奇数，所以，所以，即不是偶数，所以不成立。因为，所以，，。所以。．（2022届北京市石景山区一模数学文）观察下列算式：l3=1,23=3+5,33=7+9+11,43=13+15+17+19，…………若某数n3按上述规律展开后，发现等式右边含有“2022”这个数，则n=．45由题意可得第n行的左边是，右边是个连续奇数的和，设第行的第一个数为，则有，，，…，以上个式子相加可得，所以，可得。故可知2022在第45行。．（2022届北京东城区一模数学文科）设是由个有序实数构成的一个数组,记作:.其中称为数组的“元”,称为的下标.如果数组中的每个“元”都是来自数组中不同下标的“元”,则称为的子数组.定义两个数组,的关系数为.(Ⅰ)若,,设是的含有两个“元”的子数组,求的最大值;(Ⅱ)若,,且,为的含有三个“元”的子数组,求的最大值.16\n解:(Ⅰ)依据题意,当时,取得最大值为2.(Ⅱ)①当是中的“元”时,由于的三个“元”都相等,及中三个“元”的对称性,可以只计算的最大值,其中.由,得.当且仅当,且时,达到最大值,于是.②当不是中的“元”时,计算的最大值,由于,所以.,当且仅当时,等号成立.即当时,取得最大值,此时.综上所述,的最大值为1.．（2022届北京丰台区一模文科）设满足以下两个条件的有穷数列为n(n=2,3,4,,)阶“期待数列”:①;②.(Ⅰ)分别写出一个单调递增的3阶和4阶“期待数列”;(Ⅱ)若某2022阶“期待数列”是等差数列,求该数列的通项公式;16\n(Ⅲ)记n阶“期待数列”的前k项和为,试证:.解:(Ⅰ)数列为三阶期待数列数列为四阶期待数列,(其它答案酌情给分)(Ⅱ)设该2022阶“期待数列”的公差为,因为,,即,,当d=0时,与期待数列的条件①②矛盾,当d>0时,据期待数列的条件①②可得,该数列的通项公式为,当d<0时,同理可得(Ⅲ)当k=n时,显然成立;当k<n时,根据条件①得,即,．（2022届北京门头沟区一模文科数学）已知数列的前项和为,16\n,满足下列条件①;②点在函数的图象上;(I)求数列的通项及前项和;(II)求证:.解:(I)由题意当时整理,得又,所以或时,,,得,时,,,得,(II)证明:时,,所以时,,16\n因为所以综上．（2022届北京大兴区一模文科）已知数列的各项均为正整数,且,设集合.性质1若对于,存在唯一一组()使成立,则称数列为完备数列,当k取最大值时称数列为k阶完备数列.性质2若记,且对于任意,,都有成立,则称数列为完整数列,当k取最大值时称数列为k阶完整数列.性质3若数列同时具有性质1及性质2,则称此数列为完美数列,当取最大值时称为阶完美数列;(Ⅰ)若数列的通项公式为,求集合,并指出分别为几阶完备数列,几阶完整数列,几阶完美数列;(Ⅱ)若数列的通项公式为,求证:数列为阶完备数列,并求出集合中所有元素的和.(Ⅲ)若数列为阶完美数列,试写出集合,并求数列通项公式.(Ⅰ);为2阶完备数列,阶完整数列,2阶完美数列;(Ⅱ)若对于,假设存在2组及()使成立,则有,即,其中,必有16\n,所以仅存在唯一一组()使成立,即数列为阶完备数列;,对,,则,因为,则,所以,即(Ⅲ)若存在阶完美数列,则由性质1易知中必有个元素,由(Ⅱ)知中元素成对出现(互为相反数),且,又具有性质2,则中个元素必为.．（2022届北京西城区一模文科）已知集合.对于,,定义;;与之间的距离为.(Ⅰ)当时,设,,求;(Ⅱ)证明:若,且,使,则;(Ⅲ)记.若,,且,求的最大值.(Ⅰ)解:当时,由,16\n得,所以(Ⅱ)证明:设,,.因为,使,所以,使得,所以,使得,其中.所以与同为非负数或同为负数所以(Ⅲ)解法一:.设中有项为非负数,项为负数.不妨设时;时,.所以因为,所以,整理得.所以16\n因为;又,所以.即对于,,有,,且,.综上,的最大值为解法二:首先证明如下引理:设,则有.证明:因为,,所以,即.所以上式等号成立的条件为,或,所以对于,,有,,且,.综上,的最大值为16\n．（2022届房山区一模文科数学）对于实数,将满足“且为整数”的实数称为实数的小数部分,用记号表示.例如对于实数,无穷数列满足如下条件:,其中(Ⅰ)若,求数列的通项公式;(Ⅱ)当时,对任意的,都有,求符合要求的实数构成的集合;(Ⅲ)设(是正整数,与互质),对于大于的任意正整数,是否都有成立,证明你的结论.(Ⅰ),,,所以(Ⅱ),则,从而则所以解得:(,舍去)所以集合(Ⅲ)结论成立易知是有理数,所以对一切正整数,为0或正有理数,设(是非负整数,是正整数,且互质)16\n由,可得;若,设(,是非负整数)则,而由得,故,,可得若则,若均不为0,则这个正整数互不相同且都小于,但小于的正整数共有个,矛盾.故中至少有一个为0,即存在,使得.从而数列中以及它之后的项均为0,所以对于大于的自然数,都有．（2022届北京市石景山区一模数学文）（本小题满分13分）给定有限单调递增数列且，定义集合且.若对任意点，存在点使得（为坐标原点），则称数列具有性质.（Ⅰ）判断数列：和数列：是否具有性质，简述理由.（Ⅱ）若数列具有性质，求证：①数列中一定存在两项使得；②若，且，则.解：（Ⅰ）数列具有性质，数列不具有性质.对于数列，若则；若则；所以具有性质16\n.对于数列，当若存在满足,即,即，数列中不存在这样的数，因此不具有性质.………………4分（Ⅱ）①取，又数列具有性质，所以存在点使得，即，又，所以.………………6分②由①知，数列中一定存在两项使得；又数列是单调递增数列且，所以1为数列中的一项.假设，则存在有，所以此时取，数列具有性质，所以存在点使得，所以；只有，所以当时，矛盾；当时，矛盾.所以.…………13分16