大纲版数学高考名师一轮复习教案63不等式的证明Idoc高中数学

2022届大纲版数学高考名师一轮复习教案6.3不等式的证明I一、明确复习目标1．理解不等式的性质和证明;2．掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式。二．建构知识网络1.比较法证明不等式是最根本的方法也是最常用的方法。比较法的两种形式：（1）比差法：步骤是：①作差；②分解因式或配方；③判断差式符号；（2）比商法：要证a>b且b>0，只须证1。说明：①作差比较法证明不等式时，通常是进展通分、因式分解或配方，利用各因式的符号或非负数的性质进展判断；②证幂、乘积的不等式时常用比商法，证对数不等式时常用比差法。运用比商法时必须确定两式的符号；2.综合法：利用某些已经证明过的不等式（如均值不等式，常用不等式，函数单调性）作为根底，再运用不等式的性质推导出所要证的不等式的方法。3.分析法：从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明这个不等式的问题转化为这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以判定所证的不等式成立。这种证明方法叫做分析法。要注意书写的格式,综合法是分析法的逆过程4．对较复杂的不等式先用分析法探求证明途径，再用综合法,或比较法加以证明。5.要掌握证明不等式的常用方法，此外还要记住一些常用不等式的形式特点,运用条件,等号、不等号成立的条件等。8/8\n三、双基题目练练手1.设0＜x＜1，那么a=x，b=1+x，c=中最大的一个是()A.aB.bC.cD.不能确定2.（2022春上海）假设a、b、c是常数，那么“a＞0且b2－4ac＜0”是“对任意x∈R，有ax2+bx+c＞0”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.设（0，+∞），那么三个数，，的值　　（　）A.都大于2B.都小于2C.至少有一个不大于2　　D.至少有一个不小于24.对于满足0≤≤4的实数，使恒成立的的取值范围是．5．假设a、b∈R，有以下不等式：①a2+3＞2a；②a2+b2≥2（a－b－1）；③a5+b5＞a3b2+a2b3；④a+≥2.其中一定成立的是__________.6.船在流水中在甲地和乙地间来回行驶一次的平均速度v1,在静水中的速度v2,那么v1与v2的大小关系为____________.◆简答:1-3.CAD;4.;5.①②;6.设甲、乙距离为s，水流速度为v（v2＞v＞0），那么船在流水中在甲乙间来回行驶一次的时间t=+=，平均速度v1==.∵v1－v2=－v2=－＜0，∴v1＜v2.答案：v1＜v2四、经典例题做一做【例1】（1）已知a,b∈R,求证:a2+b2+1>ab+a（2）设求证证明：（1）p=a2+b2+1-ab-a==8/8\n显然p>0∴得证（2）证法一:左边-右边====∴原不等式成立。证法二:左边>0，右边>0。∴原不等式成立。◆提炼方法:比较法.作差（或商）、变形、判断三个步骤。变形的主要手段是通分、因式分解或配方。在变形过程中，也可以利用根本不等式放缩，如证法二。【例2】已知a+b+c=0，求证：ab+bc+ca≤0.证明法一：（综合法）∵a+b+c=0，∴（a+b+c）2＝0.展开得ab+bc+ca=－，∴ab+bc+ca≤0.法二：（分析法）要证ab+bc+ca≤0，∵a+b+c=0，故只需证ab+bc+ca≤（a+b+c）2，即证a2+b2+c2+ab+bc+ca≥0，亦即证［（a+b）2＋（b＋c）2＋（c＋a）2］≥0．而这是显然的，由于以上相应各步均可逆，∴原不等式成立.证法三：∵a+b+c=0，∴－c=a+b.∴ab+bc+ca=ab+（b+a）c=ab－（a+b）2＝－a2－b2－ab＝－［（a＋）2＋］≤0．∴ab+bc+ca≤0.【例3】已知的三边长为且为正数.求证:证明一:分析法:要证只需证8/8\n①∵在ΔABC中,∴①式成立,从而原不等式成立.证明二:比较法:证明二:因为为的三边长,所以【例4】设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a＞0），方程f（x）－x=0的两根x1、x2满足1＜x1＜x2＜.（1）当x∈（0，x1）时，证明x＜f（x）＜x1；（2）设函数f（x）的图象关于直线x=x0对称，求证x0＜.证明：（1）令F（x）=f（x）－x，∵x1、x2是方程f（x）－x=0的根，∴F（x）=a（x－x1）（x－x2）.当x∈（0，x1）时，由于x1＜x2，∴（x－x1）（x－x2）＞0.又a＞0，得F（x）=a（x－x1）（x－x2）＞0，即x＜f（x）.又x1－f（x）=x1－［x+F（x）］=x1－x+a（x1－x）（x－x2）=（x1－x）［1+a（x－x2）］，∵0＜x＜x1＜x2＜，x1－x＞0，1+a（x－x2）=1+ax－ax2＞1－ax2＞0，∴x1－f（x）＞0，即f（x）＜x1.综上，可知x＜f（x）＜x1.（2）法1:f(x)=a(x-x1)(x-x2)+x=ax2-a(x1+x2-)x+ax1x2对称轴为x=x0=－=,()法2:由题意知x0=－.∵x1、x2是方程f（x）－x=0的根，即x1、x2是方程ax2+（b－1）x+c=0的根，∴x1+x2=－.8/8\n∴x0=－==.又∵ax2＜1，∴x0＜=.题目点评:函数或数列中的不等式,是高考中的一大类题目,应予以特别的关注,体会方法,积累经历.【研讨.欣赏】已知a＞1，m＞0，求证：loga（a+m）＞loga+m（a+2m）.证法1：取对数得：lg(a+m)－lga>lg(a+2m)－lg(a+m)＞0①又lga<log(a+m)即②①×②得:即loga（a+m）＞loga+m（a+2m）(常见形式logn(n+1)>log(n+1)(n+2))法2：loga（a+m）－log（a+m）（a+2m）=－=∵a＞1，m＞0，∴lga＞0，lg（a+2m）＞0，且lga≠lg（a+2m）.∴lga·lg（a+2m）＜［（）］2=［］2＜［］2=lg2（a+m）.∴＞0.∴loga（a+m）＞log（a+λ）（a+2m）.✿提炼方法:1.综合法,为什么想到用“”——感觉式子的构造特征;2.比较法.把对数的积用均值不等式化为对数的和是一步关键的决择.五．提炼总结以为师1.比较法是一种最重要的、常用的根本方法，其应用非常广泛，一定要熟练掌握.8/8\n步骤是：作差→变形(分解因式或配方)→判断符号.对于积或幂的式子可以作商比较,作商比较必须弄清两式的符号.2.对较复杂的不等式需要用分析法,分析使不等式成立的充分条件,再证这个条件(不等式)成立.3.综合法是最简捷明快的方法,常需用分析法打前站,用分析法找路,综合法写出.有时也需要几种方法综合运用.4.要熟练掌握均值不等式、四种平均值之间的关系，记住一些常用的不等式，记住它们的形式特点、证明方法和内在联系。同步练习6.3不等式的证明I【选择题】1.设x＞0，y＞0，且xy－（x+y）=1，那么()A.x+y≤2+2B.x+y≥2+2C.x+y≤（+1）2D.x+y≥（+1）22.假设0<a<b且a+b=1，那么四个数，b，2ab，a2+b2中最大的是()A.B、bC、2abD、a2+b23.已知x>0，f(x)=，那么A、f(x)≤2B、f(x)≥10C、f(x)≥6D、f(x)≤34.已知，（a>2），那么AA、p>qB、p<qC、p≥qD、p≤q【填空题】5.要使不等式≤对所有正数x，y都成立，那么k的最小值是_____6.给出以下不等式,其中正确不等式的序号是_______；，◆练习简答：1-4.BBCA；5.;6.(2)(3)【解答题】7.(1)已知a、b、x、y∈R+且＞，x＞y.求证：＞8/8\n(2)假设a＞0，b＞0，a3+b3=2．求证a+b≤2，ab≤1．证明(1)法一.（作差比较法）∵－=，又＞且a、b∈R+，∴b＞a＞0.又x＞y＞0，∴bx＞ay.∴＞0，即＞.证法二：（分析法）∵x、y、a、b∈R+，∴要证＞，只需证明x（y+b）＞y（x+a），即证xb＞ya.而由＞＞0，∴b＞a＞0.又x＞y＞0，知xb＞ya显然成立.故原不等式成立.(2)(作差比较法)因为a＞0，b＞0，a3+b3=2，所以(a＋b)3-23=a3+b3+3a2b+3ab2-8=3a2b+3ab2-6=3[ab(a+b)-2]=3[ab(a+b)-(a3+b3)]=-3(a+b)(a-b)2≤0，即　(a+b)3≤23．又a+b>0,∴a+b≤2.又∵∴ab≤1.8．己知都是正数，且成等比数列，求证：证明:成等比数列，都是正数，9.设x>0,y>0且x≠y,求证证明：由x>0,y>0且x≠y,要证明8/8\n只需即只需由条件,显然成立.∴原不等式成立10.求证：在非Rt△ABC中，假设a＞b，ha、hb分别表示a、b边上的高，那么必有a+ha＞b+hb.证明：设S表示△ABC的面积，那么S=aha=bhb=absinC.∴ha=bsinC，hb=asinC.∴（a+ha）－（b+hb）=a+bsinC－b－asinC=（a－b）（1－sinC）.∵C≠，∴1－sinC＞0.∴（a－b）（1－sinC）＞0.∴a+ha＞b+hb.【探索题】已知x,y,z∈(0,1)且x+y+z=2,记u=xy+yz+zx,求证：证明：3u=xy+yz+zx+2xy+2yz+2zx==4,故。又三式相加得,两边加上得∴u>1,原不等式得证。8/8