大纲版数学高考名师一轮复习教案64不等式的证明IIdoc高中数学
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2022届大纲版数学高考名师一轮复习教案6.4不等式的证明II一、明确复习目标1.掌握反证法、数学归纳法和放缩法的一些策略技巧;2.了解换元法、判别式法、数形结合、构造法,了解不等式证明方法的多样性和灵活性.提高分析问题,解决问题的能力.二.建构知识网络1.反证法:正难那么反.否认结论,导出矛盾,证实结论的否认是错误的,从而肯定原结论正确。2.放缩法:将不等式一侧适当的放大或缩小,利用不等式的传递性证明不等式.常用的放缩手法有:①添加或舍去一些项,如:;;②将分子或分母放大(或缩小)③利用根本不等式,绝对值不等式,a2≥0等;④假设a>b>0,m>0,那么.3.换元法:换元的目的是减少不等式中的变量,或者化繁为简.常用的换元有三角换元和代数换元.换元法必须注意新变元的取值范围.4.构造法:通过构造函数、方程或几何图形,利用相关知识来证明不等式;5.数学归纳法法:证明与正整数有关的不等式6.利用函数的单调性.利用单调函数中自变量大小与函数值之间的联系.要特别重视这种方法,因为高考中常把不等式综合在函数、数列或其它数学问题之中。三、双基题目练练手1.已知a、b是不相等的正数,x=,y=,那么x、y的关系是()10/10\nA.x>yB.y>xC.x>yD.不能确定2.设M=a+(2<a<3),N=log(x2+)(x∈R),那么M、N的大小关系是A.M>NB.M=NC.M<ND.不能确定3.(2022春北京)假设不等式(-1)na<2+对任意n∈N*恒成立,那么实数a的取值范围是()A.[-2,)B.(-2,)C.[-3,)D.(-3,)4.在等差数列{an}与等比数列{bn}中,a1=b1>0,a2n+1=b2n+1>0(n=1,2,3,…),那么an+1与bn+1的大小关系是____________.5.假设a>b>c,那么+_______.(填“>”“=”“<”)6.记S=,那么S与1的大小关系是_________简答:1-3.BAA;3.当n为正偶数时,a<2-,2-为增函数,∴a<2-=.当n为正奇数时,-a<2+,a>-2-.而-2-为增函数,-2-<-2,∴a≥-2.故a∈[-2,)答案:A4.an+1=≥==bn+1.答案:an+1≥bn+15.a>b>c,(+)(a-c)=(+)[(a-b)+(b-c)]≥4.∴+≥>.答案:>;6.S<1四、经典例题做一做【例1】已知a,b∈R,且a+b=1求证:证法一:比较法,作差消b,化为a的二次函数。也可用分析法、综合法,反证法,实质与比较法相同。证法二:(放缩法)∵10/10\n∴左边==右边证法三:(均值换元法)∵,所以可设,,∴左边==右边当且仅当t=0时,等号成立点评:形如a+b=1构造式的条件,一般可以采用均值换元证法四:(判别式法)设y=(a+2)2+(b+2)2,由a+b=1,有,所以,因为,所以,即故◆温馨提示:注意体验不等式证明方法的灵活性和各种证明方法间的内在联系.【例2】(1)设,且,求证:;(2)设,且,求证:【证明】(1)设那么,=。(2)设,∵,∴。10/10\n于是。【例3】已知a>1,n≥2,n∈N*.求证:-1<.证法一:要证-1<,即证a<(+1)n.令a-1=t>0,那么a=t+1.也就是证t+1<(1+)n.∵(1+)n=1+C+…+C()n>1+t,即-1<成立.证法二:设a=xn,x>1.于是只要证>x-1,即证>n.联想到等比数列前n项和=1+x+…+xn-1>n.∴>n.【例4】已知(1)求f(x)的单调区间;(2)求证:x>y>0,有f(x+y)<f(x)+f(y);(3)假设求证:解:(1)对已知函数进行降次分项变形,得,(2)∵∴10/10\n而另法:⑶∴点评:函数与不等式证明的综合题在高考中常考常新,是既考知识又考能力的好题型,在高考备考中有较高的训练价值.【研讨.欣赏】数列{an}满足a1=1且an+1=(n≥1)(1)用数学归纳法证明:an≥2(n≥2);(2)已知不等式ln(1+x)<x对x>0成立,证明:an<e2(n≥1),其中无理数e=2.71828….证明:(1)①当n=2时,a2=2≥2,不等式成立.②假设当n=k(k≥2)时不等式成立,即ak≥2(k≥2),那么ak+1=≥2.这就是说,当n=k+1时不等式成立.根据①、②可知:ak≥2对所有n≥2成立.10/10\n(2)由递推公式及(1)的结论有an+1=≤,(n≥1)两边取对数并利用已知不等式得lnan+1≤ln+lnan≤lnan+.故lnan+1-lnan≤,(n≥1).上式从1到n-1求和可得lnan-lna1≤++…++++…+=1-++…=1-+1<2,即lnan<2,故an<e2(n≥1).五.提炼总结以为师1.高考中一般不出现单一的不等式的证明题,常常与函数、数列、三角、方程综合在一起,所以,除掌握常用的三种方法外,还需了解其他方法,如函数的单调性法、判别式法、换元法(特别是三角换元)、放缩法以及数学归纳法等.2.总结所学不等式证明的方法:同步练习6.4不等式的证明II【选择题】1.假设<<0,那么以下结论不正确的选项是()A.a2<b2B.ab<b2C.+>2D.|a|+|b|>|a+b|2.已知a>b>c>0,假设P=,Q=,那么()A.P≥QB.P≤QC.P>QD.P<Q3.(2022天津)已知<<,那么()A.2b>2a>2cB.2a>2b>2cC.2c>2b>2aD.2c>2a>2b4.(2022江西)已知实数a、b满足等式以下五个关系式:①0<b<a②a<b<0③0<a<b④b<a<0⑤a=b其中不可能成立的关系式有()10/10\nA.1个B.2个C.3个D.4个【填空题】5.设实数x、y满足y+x2=0,0<a<1.那么P=loga(ax+ay)与Q=loga2+的大小关系是___________(填“>”“=”“<”).6.已知不等式对n∈N+都成立,那么实数M的取值范围是__________。简答.提示:1-4.ADAB;5.ax+ay≥2=2.∵x-x2=-(x-)2≤,0<a<1,∴ax+ay≥2=2a.∴loga(ax+ay)<loga2a=loga2+.即P<Q;6.记,那么,最大.M>1【解答题】7.已知,求证:都属于。【证明】由已知得:,代入中得:∵,∴△≥0,即解得,即y∈。同理可证x∈,z∈。8.设,且,求证:因为,而所以,所以a,b为方程(1)的二实根而,故方程(1)有均大于c的二不等实根。记,那么10/10\n解得。法2:由已知得c<0, 否那么,由(a+b+c)2=1得A2+b2+c2=1-2(ab+bc+ac)<1,与已知矛盾.又a+b=1-c代入c2=1-(a2+b2)得3c2-2c-1<0,9.假设a>0,b>0,且=1,求证:(I)a+b≥4;(II)对于一切n∈N*,(a+b)n-an-bn≥22n-2n+1成立证明:(I)=1,a+b=()(a+b)=1+++1≥4,(II)当n=1时,左式=0,右式=0,∴n=1时成立.假设n=k时成立,即(a+b)k-ak-bk≥22k-2k+1,.那么当n=k+1时,(a+b)k+1-ak+1-bk+1=(a+b)(a+b)k-ak+1-bk+1≥(a+b)(ak+bk+22k-2k+1)-ak+1-bk+1=abk+bak+(a+b)(22k-2k+1)≥2·2k+1+4·22k-4·2k+1=22k+2-2k+2,∴n=k+1时命题成立.归纳原理知,不等式对一切n∈N*都成立10.已知a、b为正数,求证:(1)假设+1>,那么对于任何大于1的正数x,恒有ax+>b成立;(2)假设对于任何大于1的正数x,恒有ax+>b成立,那么+1>.分析:对带条件的不等式的证明,条件的利用常有两种方法:①证明过程中代入条件;②由条件变形得出要证的不等式.证明:(1)ax+=a(x-1)++1+a≥2+1+a=(+1)2.∵+1>(b>0),∴(+1)2>b.从而ax+>b(2)∵ax+>b对于大于1的实数x恒成立,即x>1时,[ax+]min>b,而ax+=a(x-1)++1+a≥2+1+a=(+1)2,当且仅当a(x-1)=,即x=1+>1时取等号.10/10\n故[ax+]min=(+1)2.那么(+1)2>b,即+1>.评述:条件如何利用取决于要证明的不等式两端的差异如何消除.【探索题】(2022湖北)已知不等式,其中n为大于2的整数,表示不超过的最大整数.设数列的各项为正,且满足(Ⅰ)证明(Ⅱ)试确定一个正整数N,使得当时,对任意b>0,都有解:(Ⅰ)证法1:∵当即于是有所有不等式两边相加可得由已知不等式知,当n≥3时有,∵证法2:设,首先利用数学归纳法证不等式(i)当n=3时,由10/10\n知不等式成立.(ii)假设当n=k(k≥3)时,不等式成立,即那么即当n=k+1时,不等式也成立.由(i)、(ii)知,又由已知不等式得(Ⅱ)∵那么有故取N=1024,可使当n>N时,都有10/10
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