安徽省2022届高考数学二轮复习 高效课时检测试卷14 文

安徽2022届高考数学二轮复习高效课时检测试卷14文1．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝4an－3(n∈N*)．(1)证明：数列{an}是等比数列；(2)若数列{bn}满足bn＋1＝an＋bn(n∈N*)，且b1＝2，求数列{bn}的通项公式．解：(1)证明：n＝1时，a1＝4a1－3，解得a1＝1.当a≥2时，an＝Sn－Sn－1＝4an－4an－1，整理得an＝an－1，又a1＝1≠0，∴{an}是首项为1，公比为的等比数列．(2)∵an＝n－1，由bn＋1＝an＋bn(n∈N*)，得bn＋1－bn＝n－1.当n≥2时，可得bn＝b1＋(b2－b1)＋(b3－b2)＋…＋(bn－bn－1)＝2＋＝3×n－1－1，当n＝1时，上式成立，∴数列{bn}的通项公式为bn＝3×n－1－1.2．(2022年全国大纲卷)等差数列{an}的前n项和为Sn.已知a1＝10，a2为整数，且Sn≤S4.(1)求{an}的通项公式；(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.解：(1)由a1＝10，a2为整数知：等差数列{an}的公差d为整数．又Sn≤S4，故a4≥0，a5≤0，于是10＋3d≥0,10＋4d≤0.解得－≤d≤－.因此d＝－3.数列{an}的通项公式为an＝13－3n.(2)bn＝＝.于是Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝＝-3-\n＝.3．已知等差数列{an}中，a2＝4，a4是a2与a8的等比中项．(1)求数列{an}的通项公式；(2)若an＋1≠an，求数列{2n－1·an}的前n项和．解：(1)由a2＝4，且a4是a2，a8的等比中项可得a1＋d＝4，a＝a2a8，即(4＋2d)2＝4(4＋6d)，化简得d2－2d＝0，则d＝0或d＝2，由于a2＝4，当d＝0时，an＝4；当d＝2时，a1＝2，则an＝2n.(2)∵an＋1≠an，∴an＝2n，则2n－1an＝2n－1·2n＝2n·n，∵Sn＝21＋2×22＋3×23＋…＋(n－1)·2n－1＋n·2n，①①×2得，2Sn＝22＋2×23＋3×24＋…＋(n－1)·2n＋n·2n＋1，②①－②得，－Sn＝21＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1＝－n·2n＋1，∴Sn＝(n－1)·2n＋1＋2.4．(2022年洛阳模拟)已知数列{an}的前n项和Sn＝2an－2n＋1＋2(n为正整数)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)令bn＝log2a1＋log2＋…＋log2，求数列的前n项和Tn.解：(1)在Sn＝2an－2n＋1＋2中，令n＝1，可得S1＝2a1－22＋2＝a1，∴a1＝2.当n≥2时，Sn－1＝2an－1－2n＋2，∴an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1－2n，∴an＝2an－1＋2n，∴＝＋1.又＝1，∴数列是首项和公差均为1的等差数列．∴＝n，∴an＝n·2n.(2)由(1)得＝2n，∴bn＝log2a1＋log2＋…＋log2＝1＋2＋…＋n＝.Tn＝＋＋…＋＝＋＋…＋＝2＝.5．已知等比数列{an}的前n项和Sn＝2n－a，n∈N*.设公差不为零的等差数列{bn}满足：b1＝a1＋2，且b2＋5，b4＋5，b8＋5成等比数列．(1)求a的值及数列{bn}的通项公式；(2)设数列{logan}的前n项和为Tn.求使Tn＞bn的最小正整数n.解：(1)当n＝1时，a1＝S1＝2－a；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1.-3-\n∵{an}为等比数列，∴2－a＝1，解得a＝1.∴an＝2n－1.设数列{bn}的公差为d，∵b2＋5，b4＋5，b8＋5成等比数列，∴(b4＋5)2＝(b2＋5)(b8＋5)，又b1＝3，∴(8＋3d)2＝(8＋d)(8＋7d)，解得d＝0(舍去)或d＝8.∴bn＝8n－5.(2)由an＝2n－1，得logan＝2(n－1)，∴{logan}是以0为首项，2为公差的等差数列，∴Tn＝＝n(n－1)．由bn＝8n－5，Tn＞bn，得n(n－1)＞8n－5，即n2－9n＋5＞0，∵n∈N*，∴n≥9.故所求n的最小正整数为9.-3-