山东省烟台市芝罘区高考数学知识点总结专题8概率新人教A版

专题八之概率【知识概要】一、古典概型●1．随机事件（1）必然事件：在一定条件下必然发生的事件。（2）随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生事件的事件。（3）不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件。●2．频率与概率（1）频率：在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数为事件A出现的频数，称事件A出现的比例为事件A出现的频率。（2）概率：对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率稳定在某个常数上，把这个常数记作，称为事件A的概率，简称为A的概率。●3．概率的性质与计算（1）随机事件A的概率为：（2）概率的基本性质：；必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0。●4．基本方法：寻找一次试验等可能的结果数的基本方法——枚举法，用枚举法来寻找试验的结果数时注意合理地分类。二、几何概型●1．几何概型的概念：如果每个事件发生的概率只与构成事件区域的长度(面积或体积等)成比例，则这样的概率模型叫几何概型。●2．几何概型计算：在几何概型中，事件A的概率为：●3．基本方法（1）适当地选择角度；（2）将基本事件转化为与之对应的区域；（3）将事件A转化为与之对应的区域；（4）一般如果所设及的问题是一个单变量，可能测度是长度，角度等，如果涉及两个变化量的随机试验，可设这两个变量(如约会问题)，利用平面直角坐标系研究组成的点集。三、互斥事件及其概率●1．基本概念（1）互斥事件：不可能同时发生的两个事件叫互斥事件。一般地，如果事件中的任何两个都是互斥事件，那么就说陆\n彼此互斥。（2）对立事件：如果两个互斥事件中必有一个发生，那么这两个事件叫对立事件。●2．有关计算：若事件A与事件B互斥，则;特别地，若事件A与事件B互为对立事件，则；如果事件中的任何两个都是互斥事件，则。四、随机变量1.随机试验的结构应该是不确定的.试验如果满足下述条件：①试验可以在相同的情形下重复进行；②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；③每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果.它就被称为一个随机试验.2.离散型随机变量：如果对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量.若ξ是一个随机变量，a，b是常数.则也是一个随机变量.一般地，若ξ是随机变量，是连续函数或单调函数，则也是随机变量.也就是说，随机变量的某些函数也是随机变量.设离散型随机变量ξ可能取的值为：ξ取每一个值的概率，则表称为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列.……P……有性质①；②.注意：若随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的变量叫做连续型随机变量.例如：即可以取0～5之间的一切数，包括整数、小数、无理数.3.⑴二项分布：如果在一次试验中某事件发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是：[其中]于是得到随机变量ξ的概率分布如下：我们称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作～B（n·p），其中n，p为参数，并记.⑵二项分布的判断与应用.①二项分布，实际是对n次独立重复试验.关键是看某一事件是否是进行n次独立重复，且每次试验只有两种结果，如果不满足此两条件，随机变量就不服从二项分布.陆\n②当随机变量的总体很大且抽取的样本容量相对于总体来说又比较小，而每次抽取时又只有两种试验结果，此时可以把它看作独立重复试验，利用二项分布求其分布列.4.几何分布：“”表示在第k次独立重复试验时，事件第一次发生，如果把k次试验时事件A发生记为，事A不发生记为，那么.根据相互独立事件的概率乘法分式：于是得到随机变量ξ的概率分布列.123…k…Pqqp……我们称ξ服从几何分布，并记，其中5.⑴超几何分布：一批产品共有N件，其中有M（M＜N）件次品，今抽取件，则其中的次品数ξ是一离散型随机变量，分布列为.〔分子是从M件次品中取k件，从N-M件正品中取n-k件的取法数，如果规定＜时，则k的范围可以写为k=0，1，…，n.〕⑵超几何分布的另一种形式：一批产品由a件次品、b件正品组成，今抽取n件（1≤n≤a+b），则次品数ξ的分布列为.⑶超几何分布与二项分布的关系.设一批产品由a件次品、b件正品组成，不放回抽取n件时，其中次品数ξ服从超几何分布.若放回式抽取，则其中次品数的分布列可如下求得：把个产品编号，则抽取n次共有个可能结果，等可能：含个结果，故，即～.[我们先为k个次品选定位置，共种选法；然后每个次品位置有a种选法，每个正品位置有b种选法]可以证明：当产品总数很大而抽取个数不多时，，因此二项分布可作为超几何分布的近似，无放回抽样可近似看作放回抽样.五、数学期望与方差.1.期望的含义：一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为……P……则称为ξ陆\n的数学期望或平均数、均值.数学期望又简称期望.数学期望反映了离散型随机变量取值的平均水平.2.⑴随机变量的数学期望：①当时，，即常数的数学期望就是这个常数本身.②当时，，即随机变量ξ与常数之和的期望等于ξ的期望与这个常数的和.③当时，，即常数与随机变量乘积的期望等于这个常数与随机变量期望的乘积.ξ01Pqp⑵单点分布：其分布列为：.⑶两点分布：，其分布列为：（p+q=1）⑷二项分布：其分布列为～.（P为发生的概率）⑸几何分布：其分布列为～.（P为发生的概率）3.方差、标准差的定义：当已知随机变量ξ的分布列为时，则称为ξ的方差.显然，故为ξ的根方差或标准差.随机变量ξ的方差与标准差都反映了随机变量ξ取值的稳定与波动，集中与离散的程度.越小，稳定性越高，波动越小.4.方差的性质.⑴随机变量的方差.（a、b均为常数）ξ01Pqp⑵单点分布：其分布列为⑶两点分布：其分布列为：（p+q=1）⑷二项分布：⑸几何分布：5.期望与方差的关系.⑴如果和都存在，则⑵设ξ和是互相独立的两个随机变量，则陆\n⑶期望与方差的转化：⑷（因为为一常数）.六、正态分布.1.密度曲线与密度函数：对于连续型随机变量ξ，位于x轴上方，ξ落在任一区间内的概率等于它与x轴.直线与直线所围成的曲边梯形的面积（如图阴影部分）的曲线叫ξ的密度曲线，以其作为图像的函数叫做ξ的密度函数，由于“”是必然事件，故密度曲线与x轴所夹部分面积等于1.2.⑴正态分布与正态曲线：如果随机变量ξ的概率密度为：.（为常数，且），称ξ服从参数为的正态分布，用～表示.的表达式可简记为，它的密度曲线简称为正态曲线.⑵正态分布的期望与方差：若～，则ξ的期望与方差分别为：.⑶正态曲线的性质.①曲线在x轴上方，与x轴不相交.②曲线关于直线对称.③当时曲线处于最高点，当x向左、向右远离时，曲线不断地降低，呈现出“中间高、两边低”的钟形曲线.④当＜时，曲线上升；当＞时，曲线下降，并且当曲线向左、向右两边无限延伸时，以x轴为渐近线，向x轴无限的靠近.⑤当一定时，曲线的形状由确定，越大，曲线越“矮胖”.表示总体的分布越分散；越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中.3.⑴标准正态分布：如果随机变量ξ的概率函数为，则称ξ服从标准正态分布.即～有，求出，而P（a＜≤b）的计算则是.注意：当标准正态分布的的X取0时，有当的X取大于0的数时，有陆\n.比如则必然小于0，如图.⑵正态分布与标准正态分布间的关系：若～则ξ的分布函数通常用表示，且有.4.⑴“3”原则.假设检验是就正态总体而言的，进行假设检验可归结为如下三步：①提出统计假设，统计假设里的变量服从正态分布.②确定一次试验中的取值是否落入范围.③做出判断：如果，接受统计假设.如果，由于这是小概率事件，就拒绝统计假设.⑵“3”原则的应用：若随机变量ξ服从正态分布则ξ落在内的概率为99.7％亦即落在之外的概率为0.3％，此为小概率事件，如果此事件发生了，就说明此种产品不合格（即ξ不服从正态分布）.陆