广东省中山市中山一中2022届高考数学热身试题 文(含解析)
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广东省中山一中2022届高三高考热身文科数学试题本试题从整体看,既注重了对基础知识的重点考查,也注重了对能力的考查。从考生的反映看,试题难度适中,最后两道大题考查深入,有较好的梯度和区分度;坚持重点内容重点考,考潜能,考数学应用,在“知识的交汇处命题”有新的突破,反映了新课程的理念,试卷注重对常规数学思想方法以及通性、通法的考查,注重认识能力的考查,注重创新意识,稳中求新,新中求活,活中凸显能力。注重综合性、应用性、探索性、开放性等能力型题目的考查,充分体现了能力立意,在考查学生数学基础知识、数学思想和方法的基础上,以逻辑思维能力为核心,同时考查了学生的学习能力、运算能力、空间想像能力、应用能力、探究能力、分析和解决问题的能力和创新能力,同时加强对思维品质的考查。试卷在考查基础知识的同时,注重对数学思想和方法的考查,注重对数学能力的考查。2022.5本试卷共4页,21小题,满分150分.考试用时120分钟.参考公式:锥体的体积公式是,其中是锥体的底面积,是锥体的高.一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,满分50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.复数是纯虚数,则的值为()A.0B.C.D.【知识点】复数是纯虚数的条件,复数的乘法运算。【答案解析】B解析:解:因为复数是纯虚数,所以所以,所以,所以选B。【思路点拨】根据复数是纯虚数的条件,求得a=0,从而,所以。2.已知全集,,,则()A.B.C.D.【知识点】一元二次不等式的解法,集合运算。【答案解析】D解析:解:易得,所以,所以选D【思路点拨】先利用一元二次不等式的解法化简集合A,再求得3.某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出名学生参加数学竞赛,他们取得的成绩(满分分)的茎叶图如右图,其中甲班学生成绩的平均分是,-13-\n乙班学生成绩的中位数是,则的值为()A.B.C.D.【知识点】平均数、中位数的意义。【答案解析】D解析:解:由平均数的定义求得x=8,由中位数的定义求得y=5,所以x+y=13.所以选D.【思路点拨】根据平均数的定义、中位数的定义分别求得x、y的值。4.在腰长为2的等腰直角三角形内任取一点,使得该点到此三角形的直角顶点的距离不大于1的概率是()A.B.C.D.【知识点】几何概型的概率求法。【答案解析】B解析:解:此等腰直角三角形的面积为2,而这个三角形中到直角顶点距离不大于1的点构成的图形面积为,所以所求概率为。所以选B.【思路点拨】先求等腰直角三角形的面积,再求这个三角形中到直角顶点距离不大于1的点构成的图形面积,然后利用几何概型的概率公式求所求概率。5.“”是“函数存在零点”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件【知识点】充分条件、必要条件、充要条件的意义。【答案解析】A解析:解:因为:“若则函数存在零点”是真命题;而“若函数存在零点则”是假命题。所以选A。【思路点拨】:先判断命题“若则函数存在零点”;与命题“若函数存在零点则”的真假,再确定选项。6.已知变量x、y,满足条件,则目标函数z=x+y的最大值是()A.2B.5C.6D.7【知识点】线性规划问题。【答案解析】C解析:解:画出可行域,可以确定直线的交点A的坐标(3,3)是最优解,所以目标函数z=x+y的最大值是6.所以选C.【思路点拨】先画出现行约束条件下的可行域,可以确定直线-13-\n的交点A的坐标(3,3)是最优解,所以目标函数z=x+y的最大值是6.7.设l,m是两条不同直线,,是两个不同平面,则下列命题中正确的是()A.若,∩=m,则lm B.若l⊥,l,则⊥C.若l,m,则lm D.若l,m⊥l,则m⊥【知识点】线面位置关系的判定与性质。【答案解析】B解析:解:对于选项A:可能平行也可能异面;对于选项B:,,所以选B。【思路点拨】根据线面位置关系的判定与性质,逐项分析各个命题的正误。8.在中,,,则=()A.B.C.D.【知识点】共线向量的意义,向量的加法、减法运算。【答案解析】A解析:解:所以选A。【思路点拨】根据已知条件画出图形,结合已知条件求得向量。9.己知双曲线离心率为2,有一个焦点与抛物线的焦点重合,则的值为()A.B.C.D.【知识点】双曲线离心率的意义、双曲线中a、b、c的关系。抛物线的交点坐标。【答案解析】D解析:解:根据题意得:解得a=,从而,所以=,所以选D。【思路点拨】根据双曲线离心率的意义、双曲线中a、b、c的关系。抛物线的交点坐标等,求得a、b值。10.已知函数是定义在R上的可导函数,其导函数记为,若对于任意实数x,有,且为奇函数,则不等式的解集为()-13-\nA.B.C.D.【知识点】导数法确定函数的单调性,构造新函数,奇函数的性质,解不等式等。【答案解析】B解析:解:因为为奇函数,且定义域R,所以,设,因为,所以函数是R上的减函数,不等式为。所以。所以选B。【思路点拨】根据为奇函数,且定义域R这些条件,求得在构造函数,因为,所以函数是R上的减函数,所以不等式为。所以。二、填空题:本大题共5小题,考生作答4小题,每小题5分,满分20分.(一)必做题(11~13题)11.设正项等比数列已前n项积为,若,则的值为__________.【知识点】等比数列的通项公式,等差数列的前n项和公式的应用。【答案解析】3解析:解:由得,所以【思路点拨】根据已知等式得,所以开始a=3=1i>5i=i+1结束输出a是否12.执行如图所示的程序框图,输出的a值为___________.【知识点】程序框图描述的算法意义。【答案解析】-2解析:解:(1)i=1,a=-2,(2)i=2,-13-\na=,(3)i=3,a=,(4)i=4,a=3,(5)i=5,a=-2,(6)i=6>5成立,所以输出的a值为-2。【思路点拨】根据程序框图描述的算法意义,依次写出每次循环的结果即可。13.在ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,且角A=60°,若,且5sinB=3sinC,则ABC的周长等于.【知识点】正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式的应用。【答案解析】解析:解:由A=60°,得bc=15,由5sinB=3sinC得5b=3c,解得b=3,c=5,有余弦定理得:,所以。所以ABC的周长等于。【思路点拨】根据条件A=60°,得bc=15,再由5sinB=3sinC得5b=3c,解得b=3,c=5,有余弦定理得:,所以。所以ABC的周长等于。(二)选做题(14~15题,考生从中选做一题)14.(坐标系与参数方程选做题)以直角坐标系的原点为极点,x轴的正半轴为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,已知直线的极坐标方程为,它与曲线为参数)相交于A和B两点,则=.【知识点】参数方程转化为普通方程,极坐标方程转化为直角坐标方程,圆的弦长求法。【答案解析】解析:解:直线的极坐标方程为的直角坐标方程为:,曲线为参数)的普通方程为:,易知为圆:截直线所得的弦,而圆心(1,2)到直线的距离为所以=2.【思路点拨】把直线的极坐标方程为转化为直角坐标方程;-13-\n把曲线为参数)转化为普通方程:,易知为圆:截直线所得的弦,而圆心(1,2)到直线的距离为所以=2.15.(几何证明选讲选做题)如图,已知P是圆O外一点,PA为圆O的切线,A为切点.割线PBC经过圆心O,若PA=3,PC=9,则∠ACP=.【知识点】圆的切线的性质,勾股定理,三角形的性质等。【答案解析】解析:解:设:圆半径为R,则OP=9-R,因为PA为圆O的切线,A为切点,所以,所以,解得R=3,所以OP=6,【思路点拨】因为PA为圆O的切线,A为切点,所以,根据勾股定理求得半径为3,所以三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16.(本小题满分12分)设函数其中向量,.(Ⅰ)求的最小值,并求使取得最小值的的集合;(Ⅱ)将函数的图象沿轴向右平移,则至少平移多少个单位长度,才能使得到的函数的图象关于轴对称?【知识点】响亮的数量积运算,三角变换,三角函数的最值,平移变换,三角函数的对称性。【答案解析】(1)-1,.(2).解析:解:(1)……3分-13-\n.…………..4分故函数的最小值为,此时,于是,故使取得最小值的的集合为.……………..7分(Ⅱ)由条件可得,………………8分因为其图象关于轴对称,所以,,………10分又,故当时,取得最小值,………………11分于是至少向右平移个单位长度,才能使得到的函数的图象关于轴对称.………………12分【思路点拨】(1)利用数量积的定义求得.故函数的最小值为,此时,于是,故使取得最小值的的集合为.(Ⅱ)由左右平移口诀得,因为其图象关于轴对称,所以,,又,故当时,取得最小值,于是至少向右平移个单位长度,才能使得到的函数的图象关于轴对称.17.(本小题满分12分)小波以游戏方式决定是去打球、唱歌还是去下棋.游戏规则为以O为起点,再从A1,A2,A3,A4,A5,A6(如图)这6个点中任取两个不同的点分别为终点得到两个向量,记住这两个向量的数量积为X,若X>0就去打球,若X=0就去唱歌,若X<0就去下棋.(Ⅰ)写出数量积X的所有可能取值;(Ⅱ)分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率.【知识点】向量数量积的坐标运算,古典概型的概率求法。【答案解析】(Ⅰ),,0,1,-13-\n(Ⅱ)小波去下棋的概率为,小波不去唱歌的概率.解析:解:(Ⅰ)X的所有可能取值为,,0,1………………2分(Ⅱ)数量积为的只有一种,………………3分数量积为的有,,,,,六种………………5分数量积为0的有,,,四种………7分数量积为1的有,,,四种故所有可能的情况共有15种.………………8分因此满足X<0的是数量积分别为和的7种,………………9分所以小波去下棋的概率为………………10分因为去唱歌的概率为,所以小波不去唱歌的概率.………………12分【思路点拨】(Ⅰ)根据向量数量积的坐标运算求得X的所有可能取值。(Ⅱ)确定X取各值时的情况种数,例如:数量积为的只有一种,最终得到所有可能的情况共有15种,然后,根据各事件包含的基本事件个数求出所求概率。18.(本小题满分14分)已知数列中,a1=3,a2=5,其前n项和Sn满足.(Ⅰ)求数列的通项公式;(Ⅱ)若,设数列的前的和为,当为何值时,有最大值,并求最大值.【知识点】已知递推公式求通向项,数列前n项和求法,数列最大项求法。【答案解析】(Ⅰ)an=2n+1,(Ⅱ)时,达最大值,解析:解:(Ⅰ)由题意知,即……………3分………………5分………7分检验知n=1,2时,结论也成立,故an=2n+1.…………………………8分(Ⅱ)由…………10分-13-\n法一:当时,;当时,;当时,………………12分故时,达最大值,.……………………14分(法二:可利用等差数列的求和公式求解)【思路点拨】(Ⅰ)由题意可把递推公式转化为:,再用迭代法或累加法求得,然后检验n=1,2时,结论是否成立即可。(Ⅱ)利用(Ⅰ)的结论求得因为当时,;当时,;当时,所以时,达最大值,.19.(本小题满分14分)如图,四棱锥P—ABCD中,底面ABCD是菱形,PA=PD,,E是AD的中点,点Q在侧棱PC上.(Ⅰ)求证:AD平面PBE;(Ⅱ)若Q是PC的中点,求证:PA∥平面BDQ;(Ⅲ)若,试求的值.【知识点】线面垂直的判定定理,线面平行的判定定理,锥体的体积公式等。【答案解析】(Ⅰ)、(Ⅱ)略,(Ⅲ)解析:解:(Ⅰ)证明:由E是AD的中点,PA=PD,所以AD⊥PE;………2分又底面ABCD是菱形,∠BAD=60所以AB=BD,又因为E是AD的中点,所以AD⊥BE,………4分又PE∩BE=E 所以AD⊥平面PBE.………………5分(Ⅱ)证明:连接AC交BD于点O,连OQ;因为O是AC的中点,Q是PC的中点,所以OQ//PA,………………8分又PA平面BDQ,OQ平面BDQ,所以PA//平面BDQ.………………9分(Ⅲ)解:设四棱锥P-BCDE,Q-ABCD的高分别为.-13-\n所以,,………………10分又因为,且底面积,………………12分所以.………14分【思路点拨】(Ⅰ)只需证明AD⊥PE,AD⊥BE。(Ⅱ)只需证明平面BDQ上存在直线与PA平行,为此,连接AC交BD于点O,连OQ;因为O是AC的中点,Q是PC的中点,所以OQ//PA,又PA平面BDQ,OQ平面BDQ,所以PA//平面BDQ.(Ⅲ)可设四棱锥P-BCDE,Q-ABCD的高分别为.则,,又因为,且底面积,所以.20.(本小题满分14分)如图,已知点为椭圆的右焦点,圆与椭圆的一个公共点为,且直线与圆相切于点.(Ⅰ)求的值及椭圆的标准方程;(Ⅱ)设动点满足,其中M、N是椭圆上的点,为原点,直线OM与ON的斜率之积为,求证:为定值.【知识点】点在曲线上的意义,圆的切线的性质,勾股定理的应用,椭圆中a、b、c的关系,直线斜率的意义,运算能力等。【答案解析】(Ⅰ)t=1,,(Ⅱ)20解析:解:(Ⅰ)由题意可知,又.又.…..2分在中,,-13-\n故椭圆的标准方程为:………..6分(Ⅱ)设,,………………8分∵M、N在椭圆上,∴………………9分又直线OM与ON的斜率之积为,∴,………………10分于是………………12分.故为定值.……..14分【思路点拨】(Ⅰ)把点代入圆方程得,t=又.因为直线与圆相切于点.所以直角三角形,,从而求得a、c值,进一步得椭圆的标准方程。(Ⅱ)设设出点M、N的坐标,根据条件得:,∵M、N在椭圆上,∴又直线OM与ON的斜率之积为,∴,于是.故为定值.21.(本小题满分14分)已知函数的图象在点处的切线斜率为.(Ⅰ)求实数的值;(Ⅱ)判断方程根的个数,证明你的结论;(Ⅲ)探究:是否存在这样的点,使得曲线在该点附近的左、右的两部分分别位于曲线在该点处切线的两侧?若存在,求出点A的坐标;若不存在,说明理由.【知识点】导数的几何意义,函数零点存在性的确定,导数法判定函数的单调性,直线与曲线的位置关系的判定。【答案解析】(Ⅰ)8,(Ⅱ,1个,(Ⅲ)存在点,使得曲线在点A附近的左、右两部分分别位于曲线在该点处切线的两侧。-13-\n解析:解:(Ⅰ)因为,所以,………1分函数的图象在点处的切线斜率.………………2分由得:.………………………………3分(Ⅱ)由(Ⅰ)知,,令.因为,,所以在定义域上至少有一个根.………………………5分又因为,所以在上递增,所以函数在上有且只有一个零点,即方程有且只有一个实根.…………………7分(Ⅲ)证明如下:由,,可求得曲线在点处的切线方程为,即.…………………8分记,………………………9分则.…………………10分(1)当,即时,对一切成立,所以在上递增.又,所以当时,当时,即存在点,使得曲线在点A附近的左、右两部分分别位于曲线在该点处切线的两侧.…………………11分(2)当,即时,时,;时,;时,.故在上单调递减,在上单调递增.又,所以当时,;当时,,即曲线在点附近的左、右两部分都位于曲线在该点处切线的同侧.……12分(3)当,即时,时,;时,;-13-\n时,.故在上单调递增,在上单调递减.又,所以当时,;当时,,即曲线在点附近的左、右两部分都位于曲线在该点处切线的同侧.……13分综上所述,存在点,使得曲线在点A附近的左、右两部分分别位于曲线在该点处切线的两侧.………………………………14分【思路点拨】:(Ⅰ)由函数的图象在点处的切线斜率=10.得:.(Ⅱ)令.即确定函数的零点个数。因为,,所以在定义域上至少有一个根.又因为,所以在上递增,所以函数在上有且只有一个零点,即方程有且只有一个实根.(Ⅲ)先求出函数在点处的切线方程,记,显然t是=0的一个根,所以只需分析函数在两侧的函数值符号,同号时点A不存在,异号时点A存在。为了确定函数在两侧的函数值符号,可以用导数法分析函数在两侧的单调性。单调性相同时点A存在,单调性不相同时点A不存在。-13-
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