广东省中山市中山一中2022届高考数学热身试题 理（含解析）

2022中山一中理科数学调研联考试卷【试卷综评】突出考查数学主干知识,侧重于中学数学学科的基础知识和基本技能的考查；侧重于知识交汇点的考查。全面考查了考试说明中要求的内容，如复数、简易逻辑试卷都有所考查。在全面考查的前提下，高中数学的主干知识如函数、三角函数、数列、立体几何、导数、圆锥曲线、概率统计等仍然是支撑整份试卷的主体内容，尤其是解答题，涉及内容均是高中数学的重点知识。明确了中学数学的教学方向和考生的学习方向。 适度综合考查，提高试题的区分度 本次数学试卷的另一个特点是具有一定的综合性，很多题目是由多个知识点构成的，这有利于考查考生对知识的综合理解能力，有利于提高区分度，在适当的规划和难度控制下，效果明显。通过考查知识的交汇点，对考生的数学能力提出了较高的要求.本试卷分第I卷和第Ⅱ卷两部分，共6页．满分150分．考试时间120分钟．参考公式：（1）锥体的体积公式：，其中S是锥体的底面积，h是锥体的高。（2）其中.（3）第I卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．只有一项是符合题目要求的．1.设集合则（）.A.B.C.D.【知识点】交集及其运算．【答案解析】A解析：解：由集合M中不等式，分解因式得：解得：-3＜x＜2，∴M=（-3，2），又N={x|1≤x≤3}=[1，3]，则M∩N=[1，2）．故选A.【思路点拨】求出集合M中不等式的解集，确定出集合M，找出M与N解集的公共部分，即可求出两集合的交集．【典型总结】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2.复数的实部是（）A.1B.0C.D.2【知识点】复数代数形式的乘除运算．【答案解析】B解析：解：复数z=（1+i）2=1+2i+i2=1+2i-1=2i，其实部为0．故选B．【思路点拨】利用复数的运算法则和实部的定义即可得出．3.已知是定义在R上的函数，命题P：f(x)满足，-16-\n，命题q：f(0)=0,则命题p是命题q的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件【知识点】充要条件；函数的奇偶性；奇函数的性质.【答案解析】A解析：解：由f(x)满足，，可得函数f(x)是定义在R上的奇函数，故f(0)=0，反之f(0)=0函数不一定是奇函数，故命题p是命题q的充分不必要条件.故选A.【思路点拨】由f(x)满足，，可得函数f(x)是定义在R上的奇函数，故f(0)=0，反之f(0)=0函数不一定是奇函数.4.已知向量向量垂直，实数的值为（）A.B.C.D.【知识点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．【答案解析】A解析：解：由题意知=λ（-3，2）+（-1，0）=（-3λ-1，2λ），=（-3，2）-2（-1，0）=（-1，2），又因为两向量垂直，所以（-3λ-1，2λ）（-1，2）=0，即3λ+1+4λ=0，解得λ=．故选A.【思路点拨】首先由向量坐标运算表示出与的坐标，再由它们垂直列方程解之即可．5.已知点F是抛物线的焦点，M,N是该抛物线上两点，,则中点到准线距离为（）A．B．2C．3D．4【知识点】抛物线的简单性质；点到直线的距离公式．【答案解析】C解析：解：∵F是抛物线y2=4x的焦点F（1，0）准线方程x=-1，设A（x1，y1）  B（x2，y2）∴|AF|+|BF|=x1+1+x2+1=6解得x1+x2=4，∴线段AB的中点横坐标为2∴线段AB的中点到该抛物线准线的距离为3．故选C．【思路点拨】根据抛物线的方程求出准线方程，利用抛物线的定义抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，列出方程求出A，B的中点横坐标，求出线段AB的中点到该抛物线准线的距离．6、已知是直线，、是两个不同的平面，下列命题中的真命题是（）A.若，，则B.若，，则.-16-\nC．若，，则D.若，，则【知识点】命题的真假判断与应用；空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．【答案解析】D解析：解：对于A，若，，则或α与β相交，所以A错；对于B，若，，则或或与相交,所以B错;对于C，若，，则或，所以C错;对于D，若，，则,由面面垂直的判定可知选项D正确.故选D.【思路点拨】对于A，若，，则或α与β相交，所以A错；对于B，若，，则或或与相交,所以B错;对于C，若，，则或，所以C错;对于D，若，，则,由面面垂直的判定可知选项D正确.7.设，函数的图象向右平移个单位长度后与原图象重合，则的最小值为（）A．B．C．D．3【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【答案解析】C解析：解：：∵函数的图象向右平移个单位后与原图象重合，∴又ω＞0，故其最小值是．故选C．【思路点拨】函数的图象向右平移个单位后与原图象重合可判断出是周期的整数倍，由此求出ω的表达式，判断出它的最小值．8.非空集合关于运算满足：（1）对任意的都有(2)存在都有(3)对任意的都有，则称关于运算为“融洽集”。现给出下列集合和运算：①＝｛非负整数｝，为整数的加法。②＝｛奇数｝，为整数的乘法。③＝｛平面向量｝为平面向量的数量积。④④＝｛二次三项式｝，为多项式加法。⑤＝｛虚数｝，为复数的乘法。其中关于运算为“融洽集”的是（）A．①④⑤B．①②C．①②③⑤D．②③⑤-16-\n【知识点】集合的含义．【答案解析】B解析：解：①G={非负整数}，⊕为整数的加法，满足任意a，b∈G，都有，且令e=0，有，∴①符合要求；②G={奇数}，⊕为整数的乘法，若存在，则e=1，∴②符合要求；③G={平面向量}，⊕为平面向量的数量积，两个向量数量积为实数；不满足要求，∴③不符合要求；④G={二次三项式}，⊕为多项式的加法，两个二次三项式相加得到的可能不是二次三项式，∴④不符合要求；⑤G={虚数}，⊕为复数的乘法，两个虚数相乘得到的可能是实数，∴⑤不符合要求，这样G关于运算⊕为“融洽集”的有①②．答案为：①②．故选B.【思路点拨】根据题意对给出的集合和运算对两个条件：运算的封闭性和单位量e进行验证，分别用加法、乘法和平面向量的线性运算的法则判断，只有都满足时才是G关于运算⊕为“融洽集”．第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．9、已知变量x,y满足条件，则的最小值是_______________.【知识点】简单线性规划．【答案解析】3解析：解：作出不等式組所表示的平面区域如图作直线l0：2x+y=0把直线向上平移可得过点A时2x+y最小由可得A（1，1），所以2x+y的最小值3【思路点拨】线性规划问题，由线性约束条件画出可行域，然后求出目标函数的最小值．-16-\n【典型总结】本题只是直接考查线性规划问题，是一道较为简单的试题．近年来高考线性规划问题高考数学考试的热点，数形结合是数学思想的重要手段之一，体现了数形结合思想的应用．10、在的展开式中，含项系数是__________.(用数字作答)【知识点】二项式系数的性质．【答案解析】15解析：解：展开式中通项，令r=5可得，，∴展开式中x2项的系数为15，在的展开式中，含x3项的系数为15．【思路点拨】利用二项展开式的通项公式求出的第r+1项，令x的指数为5，求出展开式中x2的系数．然后求解即可．11、设等差数列的前项和为，若，则_______________.【知识点】等差数列的前n项和公式的应用.【答案解析】7解析：解：设等差数列{an}的首项为a1、公差为d，则∵9S5+5S9=90，∴9（5a1+10d）+5（9a1+36d）=90，∴90（a1+3d）=90，∴a1+3d=1，∴S7=7a1+21d=7．【思路点拨】设等差数列{an}的首项为a1、公差为d，利用，求出a1+3d=1，即可求出S7．12、已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积（单位：cm3）为_____________.【知识点】由三视图还原实物图；组合几何体的面积、体积问题．-16-\n【答案解析】解析：解：由三视图，该组合体上部是一三棱锥，下部是一圆柱由图中数据知 =π×12×1=π 三棱锥垂直于底面的侧面是边长为2的等边三角形，且边长是2，故其高即为三棱锥的高，高为,故棱锥高为由于棱锥底面为一等腰直角三角形，且斜边长为2，故两直角边长度都是底面三角形的面积是××=1, 故＝×1×=故该几何体的体积是π+【思路点拨】由三视图可以看出，该几何体下部是一个圆柱，上部是一三棱锥，圆柱半径为1高也是1，三棱锥底面是一等腰直角三角形，过斜边的侧面与多方面垂直且该侧面是一等边三角形，边长是2，由于该几何体是一组合体故其体积为圆柱的体积与棱锥体积的和．13、在上任取一个数，代入三个函数，，的计算程序，得到三个值，接着自动将它们输入下一个程序（对应程序框图如上右图），则输出的结果为的概率是_________【知识点】设计程序框图解决实际问题;几何概型.【答案解析】解析：解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是判断并输出三个数中的最大值．若输出的结果为则：，解得或，区间长度为2，所以概率为【思路点拨】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是判断并输出三个数中的最大值．再解出x满足的范围即可.14、15题二选一14．（坐标系与参数方程选做题）若为曲线（）的弦的中点，则该弦所在直线的倾斜角为_____________．-16-\n【知识点】直线的倾斜角；直线与圆相交的性质；圆的参数方程．【答案解析】;解析：解：曲线（0≤θ＜2π）的普通方程为（x-1）2+y2=25，表示以A（1，0）为圆心，以5为半径的圆．由题意知，该弦所在直线与PA垂直，故该弦所在直线的斜率等于故 该弦所在直线的倾斜角为，故答案为：．【思路点拨】把参数方程化为普通方程，求出圆心A的坐标，利用该弦所在直线与PA垂直，斜率之积等于-1求出该弦所在直线的斜率，从而求出该弦所在直线的倾斜角．15．（几何证明选讲选做题）如右图，在梯形中，//，与相交于，过的直线分别交、于、，且//，若=12，=20，则=.【知识点】平行线分线段成比例定理．【答案解析】15解析：解：∵EF∥AD∥BC，∴△OAD∽△OCB，OA：OC=AD：BC=12：20△OAE∽△CAB,OE：BC=OA：CA=12：32∴EF=2××20=15故答案为：15【思路点拨】由已知中EF∥AD∥BC，我们易得到OAD∽△OCB，△OAE∽△CAB，进而我们可以求出AD，EF，BC三条平行线段分线段所成的比例，结合AD=12，BC=20，即可求出答案．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.（本小题满分12分）在△中，已知．（1）求角；（2）若，△的面积是，求．【知识点】诱导公式；余弦定理.【答案解析】（1）（2）解析：解：（1）由，得．……….3分所以原式化为．……………4分因为，所以，所以．-16-\n因为，所以．………………6分（2）由余弦定理，得．…………….9分因为，，所以．因为，所以.…………12分【思路点拨】(1)由诱导公式得到，进而可求出角的值；（2）由余弦定理和三角形的面积可以得到关于和的方程组，解方程组即可得到.17.（本小题满分12分）为了调查我市在校中学生参加体育运动的情况，从中随机抽取了16名男同学和14名女同学，调查发现，男、女同学中分别有12人和6人喜爱运动，其余不喜爱。（1）根据以上数据完成以下2×2列联表： 喜爱运动不喜爱运动总计男 16女 14总计  30（2）根据列联表的独立性检验，能否在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为性别与喜爱运动有关？（3）将以上统计结果中的频率视作概率，从我市中学生中随机抽取3人，若其中喜爱运动的人数为，求的分布列和均值。参考数据：0.400.250.100.0100.7081.3232.7066.635【知识点】独立性检验的列联表;假设性判断;离散型随机变量的分布列和期望，【答案解析】（1） 喜爱运动不喜爱运动总计男12416女6814总计181230（2）在犯错的概率不超过0.10的前提下不能判断喜爱运动与性别有关-16-\n（3）解析：解：（1） 喜爱运动不喜爱运动总计男12416女6814总计181230（2）假设：是否喜爱运动与性别无关，由已知数据可求得：…………………..5分因此，在犯错的概率不超过0.10的前提下不能判断喜爱运动与性别有关….6分（3）统计结果中喜爱运动的中学生所占的频率为.………………………..7分喜爱运动的人数为的取值分别为：0，1，2，3，则有：……….10分喜爱运动的人数为的分布列为：0123…11分因为~，所以喜爱运动的人数的值为….12分【思路点拨】（1）本题是一个简单的数字的运算，根据a，b，c，d的已知和未知的结果，做出空格处的结果．（2）假设是否喜爱运动与性别无关，由已知数据可求得观测值，把求得的观测值同临界值进行比较，得到在犯错的概率不超过0.10的前提下不能判断喜爱运动与性别有关．（3）喜爱运动的人数为ξ，ξ的取值分别为0，1，2，结合变量对应的事件利用等可能事件的概率公式做出概率，写出分布列和期望．18.（本小题满分14分）已知数列为等差数列，且公差不为0，为等比数列，，，-16-\n.（1）求的通项公式.（2）设，其前n项和为，求证：【知识点】等差、等比数列的通项公式；裂项法；放缩法；数列求和.【答案解析】（1）（2）略解析：解：（1）设等差数列的公差为，则有，……….2分因为为等比数列，则，即……4分从而，又，所以.…5分所以，…………6分（2）依题意，则…………..7分……………….8分………….10分<4…………………….12分由于，所以综上所述……..14分【思路点拨】（1）先设等差数列的公差为，则有，因为为等比数列，则，联立得结合条件得到.-16-\n最后根据通项公式写出结果.（2）依题意求出，再对进行裂项，得到,求和得<4由于，所以综上所述.19.（本小题满分14分）木工技艺是我国传统文化瑰宝之一，体现了劳动人民的无穷智慧。很多古代建筑和家具不用铁钉，保存到现代却依然牢固，这其中，有连接加固功能的“楔子”发挥了重要作用；如图，是一个楔子形状的直观图。其底面为一个矩形，其中，。顶部线段平面，棱，，二面角的余弦值为，设是的中点，（1）证明：平面；（2）求平面BEF和平面CEF所成锐二面角的余弦值.【知识点】线面平行的性质定理;点共面的判定；线面垂直的判定定理；面面垂直的判定定理；二面角.【答案解析】（1）略（2）解析：解：（1）平面，且平面，又平面平面,(线面平行的性质定理).又是平行四形两边的中点，,,四点共面.………………………2分,,又，且-16-\n,平面.…….4分(2)在平面内做的垂线，垂足为,则由第(1)问可知：平面,则平面ABCD平面,所以平面,又因为，则二面角的的平面角为…………..6分在和中，，………………………………………………7分过做边的垂线，垂足为,连接,,解法一由作图可知，,由第（1）问，，,是要求二面角的平面角.…….10分在中，,，，即二面角的余弦值是.………….14分解法二以为坐标原点，以方向为轴正方向建立空间直角坐标系，则由解法一知：，,,则,,设平面的一个法向量为，则由，………………….10分-16-\n同理可求得设平面的一个法向量为:(也可根据对称性求得)，………………11分于是有：，根据法向量的方向，设二面角的平面角为，则……………….14分【思路点拨】（1）先由线面平行的性质定理得到，再证明出四点共面，然后利用线面垂直的判定定理证明即可；（2）以为坐标原点，以方向为轴正方向建立空间直角坐标系，通过点坐标找出,,然后求出平面的一个法向量为，，然后利用夹角公式求出结果即可.20.（本小题满分14分）已知的垂直平分线与交于Q点，（1）求Q点的轨迹方程；（2）已知点A（-2,0），过点且斜率为（）的直线与Q点的轨迹相交于两点，直线，分别交直线于点,，线段的中点为，记直线的斜率为.求证:为定值.【知识点】椭圆的性质；椭圆的定义；直线与椭圆的位置关系；韦达定理.【答案解析】（1）（2）为定值.解析：解：（1）已知的垂直平分线与交于Q点，由于所以，即Q点是以为焦点的椭圆………………2分故所求Q点方程为.……………4分-16-\n（1）设过点（1,0），且斜率为（）的直线方程为，设点，点,……5分将直线方程代入椭圆：，整理得：，……….6分因为点在椭圆内，所以直线和椭圆都相交，恒成立，且.……………7分直线的方程为，直线的方程为，令，得点，点，所以点的坐……9分直线的斜率为.………11分将代入上式得，.所以为定值.…………14分【思路点拨】（1）利用椭圆的定义即可；（2）直线方程与椭圆方程联立利用韦达定理可得，然后求出=，代入韦达定理得到的两根和与积，最后得出为定值.21.（本小题满分14分）-16-\n已知函数.（1）若曲线在处的切线为，求的值；（2）设，，证明：当时，的图象始终在的图象的下方；（3）当时，设，（为自然对数的底数），表示导函数，求证：对于曲线上的不同两点，，，存在唯一的，使直线的斜率等于．【知识点】导数的几何意义；导数与函数的单调性；导数与函数的最值；函数的零点.【答案解析】（1）（2）略（3）略解析：解：(1)，此时，又，所以曲线在点处的切线方程为，由题意得，，.………3分（2）则在单调递减，且当时，即，当时，的图像始终在的图象的下方.……………7分（3）由题，.∵，∴，∴，即，………………………9分设,则是关于的一次函数，故要在区间证明存在唯一性，只需证明在上满足.下面证明之：，，为了判断的符号，可以分别将看作自变量得到两个新函数，讨论他们的最值：-16-\n，将看作自变量求导得，是的增函数，∵，∴；同理：，将看作自变量求导得，是的增函数，∵，∴；∴，∴函数在内有零点，……..13分又，函数在是增函数，∴函数在内有唯一零点，从而命题成立.…14分【思路点拨】（1）先求原函数的导数，再求出曲线在点处的切线方程为，由题意得可得a的值.（2）先设再求出其导数并判断出单调递减即可证明.（3）先得到.再求导，然后转化为，设,则是关于的一次函数，故在区间证明存在唯一性即可。-16-