广东省六校2022届高考数学5月模拟考试试题 文 新人教A版
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2022届高三六校高考模拟考试文科数学试题本试卷共6页,21小题,满分150分.考试用时120分钟.一、选择题:本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合,,则A.B.C.D.2.已知为虚数单位,为实数,复数在复平面内对应的点为,则“”是“点在第四象限”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件第4题图3.已知等比数列中,公比,若,则的最值情况为A.有最小值B.有最大值C.有最小值D.有最大值4.由两个完全相同的正四棱锥组合而成的空间几何体的第5题图正(主)视图、侧(左)视图、俯视图相同,如右图所示,其中四边形是边长为的正方形,则该几何体的表面积为A.B.C.D.5.执行如图所示的程序框图,输出的是A.B.C.D.6.下列四个命题中,正确的有①两个变量间的相关系数越小,说明两变量间的线性相关程度越低;②命题:“,”的否定:“,”;③用相关指数来刻画回归效果,若越大,则说明模型的拟合效果越好;④若,,,则.14\nA.①③B.①④C.②③D.③④7.把正奇数数列按第一个括号一个数,第二个括号两个数,第三个括号三个数,第四个括号一个数,第五个括号两个数,第六个括号三个数,….依次划分为,,,,,,,….则第个括号内各数之和为A.B.C.D.8.已知函数的定义域是,若对于任意的正数,函数都是其定义域上的减函数,则函数的图象可能是A.B.C.D.9.已知定点,,是圆:上任意一点,点关于点的对称点为,线段的中垂线与直线相交于点,则点的轨迹是A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.圆10.设函数在区间上可导,若,总有,则称为区间上的函数.在下列四个函数,,,中,在区间上为函数的个数是A.B.C.D.二、填空题:本大题共5小题,考生作答4小题,每小题5分,满分20分.第11题图(一)必做题:11、12、13题为必做题.11.如图,菱形的边长为,,为的中点,则的值为.14\n12.设,满足约束条件,若目标函数()的最大值为,则的值为.13.设,则当与两个函数图象有且只有一个公共点时,.(二)选做题:第14、15题为选做题,考生只能从中选做一题.14.(坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数),以原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为,则上的动点与上的动点间的最短距离为.15.(几何证明选讲选做题)第15题图如图,四边形是边长为的正方形,以为圆心,为半径的圆弧与以为直径的圆交于点,连接并延长交于.则线段的长为.三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16.(本小题满分13分)某校为了解高三年级不同性别的学生对体育课改上自习课的态度(肯定还是否定),进行了如下的调查研究.全年级共有名学生,男女生人数之比为,现按分层抽样方法抽取若干名学生,每人被抽到的概率均为.(1)求抽取的男学生人数和女学生人数;14\n(2)通过对被抽取的学生的问卷调查,得到如下列联表:否定肯定总计男生10女生30总计①完成列联表;②能否有的把握认为态度与性别有关?(3)若一班有名男生被抽到,其中人持否定态度,人持肯定态度;二班有名女生被抽到,其中人持否定态度,人持肯定态度.现从这人中随机抽取一男一女进一步询问所持态度的原因,求其中恰有一人持肯定态度一人持否定态度的概率.解答时可参考下面临界值表:0.100.050.0250.0100.0052.7063.8415.0246.6357.87917.(本小题满分12分)设的三个内角,,所对的边分别为,,.已知.(1)求角的大小;(2)若,求的最大值.18.(本小题满分14分)在四棱锥中,,,面,为的中点,.(1)求证:;第18题图(2)求证:面;(3)求三棱锥的体积.14\n19.(本小题满分13分)已知数列的前项和为,若,,.(1)求数列的通项公式:(2)令,.①当为何正整数值时,;②若对一切正整数,总有,求的取值范围.20.(本小题满分14分)如图,点是椭圆()的左焦点,点,分别是椭圆的左顶点和上顶点,椭圆的离心率为,点在轴上,且,过点作斜率为的直线与由三点,,确定的圆相交于,两点,满足.(1)若的面积为,求椭圆的方程;(2)直线的斜率是否为定值?证明你的结论.第20题图14\n21.(本小题满分14分)已知函数(,),.(1)求函数的单调区间,并确定其零点个数;(2)若在其定义域内单调递增,求的取值范围;(3)证明不等式().2022年广东省六校高三年级第四次联考数学(文科)参考答案2022.5一、选择题:本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.题号12345678910答案AACCDDCBBA二、填空题:本大题共5小题,考生作答4小题,每小题5分,满分20分.11.12.13.14.15.三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16.(本小题满分13分)某校为了解高三年级不同性别的学生对体育课改上自习课的态度(肯定还是否定),进行了如下的调查研究.全年级共有名学生,男女生人数之比为,现按分层抽样方法抽取若干名学生,每人被抽到的概率均为.(1)求抽取的男学生人数和女学生人数;(2)通过对被抽取的学生的问卷调查,得到如下列联表:否定肯定总计男生10女生30总计14\n①完成列联表;②能否有的把握认为态度与性别有关?(3)若一班有名男生被抽到,其中人持否定态度,人持肯定态度;二班有名女生被抽到,其中人持否定态度,人持肯定态度.现从这人中随机抽取一男一女进一步询问所持态度的原因,求其中恰有一人持肯定态度一人持否定态度的概率.解答时可参考下面临界值表:0.100.050.0250.0100.0052.7063.8415.0246.6357.879解:(1)共抽取人,…………………………………………………………1分男生人,女生人,……………………………3分(2)①否定肯定总计男生451055女生302050总计7530105…………4分②假设:学生对体育课改上自习课的态度与性别无关因为,所以有的把握认为态度与性别有关.………………………………8分(3)记一班被抽到的男生为,持否定态度,持肯定态度;二班被抽到的女生为,持否定态度,持肯定态度.则所有抽取可能共有20种:,,,;,,,;,,,;,,,;,,,.………10分其中恰有一人持否定态度一人持肯定态度的有10种:,,,,,,,,,.……11分记“从这人中随机抽取一男一女,其中恰有一人持肯定态度一人持否定态度”事件为,则.……………………………………………………12分14\n答:(1)抽取男生55人,女生50人;(2)有有的把握认为态度与性别有关;(3)恰有一人持肯定态度一人持否定态度的概率为.……………………………13分17.(本小题满分12分)设的三个内角,,所对的边分别为,,.已知.(1)求角的大小;(2)若,求的最大值.解:(1)由已知有,………………………………1分得,则,………………3分.………………………………………………………………4分又,故.……………………………………………………5分(2)(法一)由正弦定理得,,则.……………………………………………7分而.…9分则.又,所以.……………………………10分所以当且仅当,即时,取得最大值,11分故.…………………………………………………………12分(法二)由余弦定理得,即,…………7分14\n则,又则10分…………………10分得,故,当且仅当时,.……………………………………………12分18.(本小题满分14分)第18题图在四棱锥中,,,面,为的中点,.(1)求证:;(2)求证:面;(3)求三棱锥的体积.解:(1)证明取中点,连接.……1分在中,,,则,.而则在等腰三角形中.①………………2分又在中,,则∥……………………………………………………………………3分因面,面,则,又,即,则面,……………………4分,所以.②………………5分由①②知面.故.…………………………6分 (2)(法一)取中点,连接.则在中,∥.又面,面则∥面,…………………………………………………………………7分在中,所以为正三角形,则……………………………………………………………………8分14\n又则∥.又面,面则∥面,…………………………………………………………………9分而,所以面∥面.…………………………………………………………10分又面则∥面.………………………………………………………………11分(法二)延长交于,连接.…………………………………………7分在中,,,则为的中点…………………………………………………………………9分又所以∥……………………………………………………………………10分又面,面则∥面.…………………………………………………………………11分(3)由(1)(2)知,因面,∥则面,……………………………………………………………12分而………………………………………13分故………………14分19.(本小题满分13分)已知数列的前项和为,若,,.(1)求数列的通项公式:14\n(2)令,.①当为何正整数值时,;②若对一切正整数,总有,求的取值范围.解:(1)在中令,得又,则,所以.………………………………………1分当时,相减得……………………………………3分即,整理得………4分结合到,所以数列是以为首项,为公差的等差数列,………………………5分则,即.…………………………………………6分(2)①(法一)…………………………………………7分则………………………………………………………8分由……………………………………………………………9分得,即取不小于的正整数.…………………………………10分(法二)把代入得所以.……………………………………………7分以下同法一.②由①知数列各项的大小情况为.11分则的各项中数值最大的项为,………12分因为对一切正整数,总有,则……………………13分20.(本小题满分14分)如图,点是椭圆()的左焦点,点,分别是椭圆的左顶点和上顶点,椭圆的离心率为,点在轴上,且,过点作斜率为的直线与由三点,,确定的圆相交于,两点,满足.14\n第20题图(1)若的面积为,求椭圆的方程;(2)直线的斜率是否为定值?证明你的结论.解:(1)由已知可得,,…2分又,解得.…………3分所求椭圆方程为.…………4分(2)由得,则……5分因则(斜率显然存在且不为零)……………6分而设,则得,所以……………………………………………………7分则圆心的坐标为,半径为………………………………………8分据题意直线的方程可设为,即………………9分由得………………………10分即,得,而所以…………………………………………………………………11分在等腰三角形中由垂径定理可得点到直线的距离为.………………12分则…………………………………………………………………13分解得而故(定值)……………………………14分21.(本小题满分14分)已知函数(,),.(1)求函数的单调区间,并确定其零点个数;(2)若在其定义域内单调递增,求的取值范围;(3)证明不等式().解:(1)…………………………………………1分14\n则……………………………………………2分(i)若,则当时,;当时,所以为的增区间,为的减区间.………………3分极大值为所以只有一个零点.(ii)若,则当时,;当时,所以为的减区间,为的增区间.极小值为……………………………………4分所以只有一个零点.综上所述,当时,为的减区间,为的增区间,有且只有一个零点;当时,为的增区间,为的减区间,有且只有一个零点.……………………………………………………………………5分(2)……………………………………6分由在其定义域内单调递增,可知,恒成立.则恒成立.…………………………7分(法一)由二次函数的图象(开口向上,过定点)可得或………………………………………………………8分则或则或得.可以验证当时在其定义域内单调递增故.……………………………………………………………………9分(法二)分离变量14\n因(当且仅当,即时取到等号)…8分所以,则.可以验证当时在其定义域内单调递增故……………………………………………………………………9分(3)由(2)可知当时,在内单调递增,而所以当时,即……………………………………………………10分令,则…………………………………………………11分则所以,,……,,,以上个式子累加可得…………………………………12分则则…………………………13分则故().………………14分14
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