江苏专用2022高考数学二轮专题复习第二部分考前增分指导二全面掌握解答题的6个模板规范答题拿高分理

【创新设计】（江苏专用）2022高考数学二轮专题复习第二部分考前增分指导二全面掌握解答题的6个模板，规范答题拿高分理规范——解答题的6个解题模板题型概述解答题是高考试卷中的一类重要题型，通常是高考的把关题和压轴题，具有较好的区分层次和选拔功能．目前的高考解答题已经由单纯的知识综合型转化为知识、方法和能力的综合型解答题．要求考生具有一定的创新意识和创新能力等特点．解答题综合考查运算能力、逻辑思维能力、空间想象能力和分析问题、解决问题的能力．针对不少同学答题格式不规范，出现“会而不对，对而不全”的问题，规范每种题型的万能答题模板，按照规范的解题程序和答题格式分步解答，实现答题步骤的最优化．模板1　三角问题【例1】(满分14分)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a＝bcosC＋csinB.(1)求B；(2)若b＝2，求△ABC面积的最大值．[规范解答]　解　(1)由已知及正弦定理，得sinA＝sinBcosC＋sinCsinB，①2′又A＝π－(B＋C)，所以sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC．②4′由①②得，sinCsinB＝cosBsinC，∵C∈(0，π)，∴sinC≠0，∴sinB＝cosB.又B∈(0，π)，所以B＝.6′(2)△ABC的面积S＝acsinB＝ac，8′由已知及余弦定理得4＝a2＋c2－2accos＝a2＋c2－ac，10′又a2＋c2≥2ac，13\n故ac≤＝2，当且仅当a＝c时，取等号．所以△ABC面积的最大值为＋1.14′[解题模板]　第一步　利用正弦定理或余弦定理将已知条件转化为边之间的关系或角之间的关系第二步　求待求角的某一三角函数值；第三步　指明角的范围，并求角；第四步　利用面积公式表示所求三角形的面积或利用余弦定理表示边角关系；第五步　反思回顾，查看关键点、易错点，规范解题步骤．【训练1】△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC面积的2倍．(1)求；(2)若AD＝1，DC＝，求BD和AC的长．解　(1)S△ABD＝AB·ADsin∠BAD，S△ADC＝AC·ADsin∠CAD.因为S△ABD＝2S△ADC，∠BAD＝∠CAD，所以AB＝2AC.由正弦定理可得＝＝.(2)因为S△ABD∶S△ADC＝BD∶DC，所以BD＝.在△ABD和△ADC中，由余弦定理知AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos∠ADB，AC2＝AD2＋DC2－2AD·DCcos∠ADC.故AB2＋2AC2＝3AD2＋BD2＋2DC2＝6，由(1)知AB＝2AC，所以AC＝1.模板2　立体几何问题【例2】(满分14分)如图，四棱锥PABCD的底面为矩形，且AB＝，BC＝1，E，F分别为AB，PC中点．(1)求证：EF∥平面PAD；(2)若平面PAC⊥平面ABCD，求证：平面PAC⊥平面PDE.13\n[规范解答](1)证明　法一　取线段PD的中点M，连接FM，AM.因为F为PC的中点，所以FM∥CD，且FM＝CD.因为四边形ABCD为矩形，E为AB的中点，所以EA∥CD，且EA＝CD.所以FM∥EA，且FM＝EA.所以四边形AEFM为平行四边形．所以EF∥AM.5′又AM⊂平面PAD，EF⊄平面PAD，所以EF∥平面PAD.7′法二　连接CE并延长交DA的延长线于N，连接PN.因为四边形ABCD为矩形，所以AD∥BC，所以∠BCE＝∠ANE，∠CBE＝∠NAE.又AE＝EB，所以△CEB≌△NEA，所以CE＝NE.又F为PC的中点，所以EF∥NP.5′又NP⊂平面PAD，EF⊄平面PAD，所以EF∥平面PAD.7′法三　取CD的中点Q，连接FQ，EQ.在矩形ABCD中，E为AB的中点，所以AE＝DQ，且AE∥DQ.所以四边形AEQD为平行四边形，所以EQ∥AD.又AD⊂平面PAD，EQ⊄平面PAD，所以EQ∥平面PAD.2′因为Q，F分别为CD，CP的中点，所以FQ∥PD.13\n又PD⊂平面PAD，FQ⊄平面PAD，所以FQ∥平面PAD.又FQ，EQ⊂平面EQF，FQ∩EQ＝Q，所以平面EQF∥平面PAD.5′因为EF⊂平面EQF，所以EF∥平面PAD.7′(2)证明　设AC，DE相交于G.在矩形ABCD中，因为AB＝BC，E为AB的中点．所以＝＝.又∠DAE＝∠CDA，所以△DAE∽△CDA，所以∠ADE＝∠DCA.又∠ADE＋∠CDE＝∠ADC＝90°，所以∠DCA＋∠CDE＝90°.由△DGC的内角和为180°，得∠DGC＝90°.即DE⊥AC.9′因为平面PAC⊥平面ABCD且平面PAC∩平面ABCD＝AC，因为DE⊂平面ABCD，所以DE⊥平面PAC，12′又DE⊂平面PDE，所以平面PAC⊥平面PDE.14′[解题模板]1．画出必要的辅助线，根据条件合理转化；2．写出推证平行或垂直所需条件，注意条件要充分；3．明确写出所证结论．【训练2】如图所示，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD＝DE＝2AB，F为CD的中点．求证：(1)AF∥平面BCE；(2)平面BCE⊥平面CDE.证明　(1)如图，取CE的中点G，连接FG，BG.∵F为CD的中点，∴GF∥DE且GF＝DE.∵AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，∴AB∥DE，∴GF∥AB.又AB＝DE，∴GF＝AB.∴四边形GFAB为平行四边形，则AF∥BG.∵AF⊄平面BCE，BG⊂平面BCE，13\n∴AF∥平面BCE.(2)∵△ACD为等边三角形，F为CD的中点，∴AF⊥CD.∵DE⊥平面ACD，AF⊂平面ACD，∴DE⊥AF.又CD∩DE＝D，∴AF⊥平面CDE.∵BG∥AF，∴BG⊥平面CDE.∵BG⊂平面BCE，∴平面BCE⊥平面CDE.模板3　实际应用问题【例3】(满分14分)如图所示：一吊灯的下圆环直径为4m，圆心为O，通过细绳悬挂在天花板上，圆环呈水平状态，并且与天花板的距离(即OB)为2m，在圆环上设置三个等分点A1，A2，A3.点C为OB上一点(不包含端点O、B)，同时点C与点A1，A2，A3，B均用细绳相连接，且细绳CA1，CA2，CA3的长度相等．设细绳的总长为y.(1)设∠CA1O＝θ(rad)，将y表示成θ的函数关系式；(2)请你设计θ，当角θ正弦值的大小是多少时，细绳总长y最小，并指明此时BC应为多长．[规范解答]　解　(1)在Rt△COA1中，CA1＝，CO＝2tanθ，2′y＝3CA1＋CB＝3·＋2－2tanθ＝＋2.6′(2)y′＝2＝2，令y′＝0，则sinθ＝，10′当sinθ＞时，y′＞0；sinθ＜时，y′＜0，∵y＝sinθ在上是增函数，∴当角θ满足sinθ＝时，y最小，最小为4＋2；此时BC＝m．14′13\n[解题模板]解决实际问题的一般步骤：(1)阅读题目，理解题意；(2)设置变量，建立函数关系；(3)应用函数知识或数学方法解决问题；(4)检验，作答．【训练3】　如图，在C城周边已有两条公路l1，l2在点O处交汇．已知OC＝(＋)km，∠AOB＝75°，∠AOC＝45°，现规划在公路l1，l2上分别选择A，B两处为交汇点(异于点O)直接修建一条公路通过C城．设OA＝xkm，OB＝ykm.(1)求y关于x的函数关系式并指出它的定义域；(2)试确定点A，B的位置，使△OAB的面积最小．解　(1)因为△AOC的面积与△BOC的面积之和等于△AOB的面积，所以x(＋)sin45°＋y(＋)·sin30°＝xysin75°，即x(＋)＋y(＋)＝xy，所以y＝(x＞2)．(2)△AOB的面积S＝xysin75°＝xy＝×＝(x－2＋＋4)≥×8＝4(＋1)．当且仅当x＝4时取等号，此时y＝4.故OA＝4km，OB＝4km时，△OAB面积的最小值为4(＋1)km2.模板4　解析几何问题【例4】(满分16分)如图，椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的短轴长为2，点P为上顶点，圆O：x2＋y2＝b2将椭圆C的长轴三等分，直线l：y＝mx－(m≠0)与椭圆C交于A，B两点，PA，PB与圆O交于M，N两点．13\n(1)求椭圆C的方程；(2)求证△APB为直角三角形；(3)设直线MN的斜率为n，求证为定值．[规范解答](1)解　由已知解得所求椭圆方程为＋y2＝1.Ⅰ　5′(2)证明　将y＝mx－代入椭圆方程整理得(9m2＋1)x2－mx－＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，利用求根公式求解上述一元二次方程的根，则x1＋x2＝，x1x2＝－.又P(0，1)，∴·＝(x1，y1－1)·(x2，y2－1)＝x1x2＋(y1－1)(y2－1)＝x1x2＋(mx1－)(mx2－)＝(m2＋1)x1x2－m(x1＋x2)＋＝－－＋＝0，因此PA⊥PB，则△APB为直角三角形．Ⅱ　12′(3)证明　由(2)知直线MN方程为y＝nx，代入x2＋y2＝1，得(n2＋1)x2－1＝0.设M(x3，y3)，N(x4，y4)，则＝，①13\n＝.②两式相加整理得2m－·＝2n，可求得＝.Ⅲ　16′[解题模板]Ⅰ求椭圆方程；Ⅱ证明垂直①将直线方程和椭圆方程联立，得到一元二次方程；②设出直线与椭圆的交点坐标，利用求根公式求一元二次方程的根，并求两根和与积；③利用两根和与两根积的关系证明垂直；Ⅲ可利用第(2)问结论，证明为定值．【训练4】已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)经过点(0，)，离心率为，直线l经过椭圆C的右焦点F交椭圆于A、B两点．(1)求椭圆C的方程；(2)若直线l交y轴于点M，且＝λ，＝μ，当直线l的倾斜角变化时，探求λ＋μ的值是否为定值？若是，求出λ＋μ的值；否则，请说明理由．解　(1)依题意得b＝，e＝＝，a2＝b2＋c2，∴a＝2，c＝1，∴椭圆C的方程为＋＝1.(2)因直线l与y轴相交于点M，故斜率存在，又F坐标为(1，0)，设直线l方程为y＝k(x－1)，求得l与y轴交于M(0，－k)，设l交椭圆A(x1，y1)，B(x2，y2)，由消去y得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0，∴x1＋x2＝，x1x2＝，又由＝λ，∴(x1，y1＋k)＝λ(1－x1，－y1)，∴λ＝，同理μ＝，∴λ＋μ＝＋＝13\n＝＝－.所以当直线l的倾斜角变化时，λ＋μ的值为定值－.模板5　函数与导数问题【例5】(满分16分)设函数f(x)＝ax－2－lnx(a∈R)．(1)若f(x)在点(e，f(e))处的切线为x－ey－2e＝0，求a的值；(2)求f(x)的单调区间；(3)当x＞0时，求证：f(x)－ax＋ex＞0.[规范解答](1)解　∵f(x)＝ax－2－lnx(x＞0)，∴f′(x)＝a－，由已知f′(e)＝，即a－＝，则a＝.Ⅰ　6′(2)解　由(1)知，f′(x)＝a－＝(x＞0)．当a≤0时，f′(x)＜0在(0，＋∞)上恒成立，∴f(x)在(0，＋∞)上递减；当a＞0时，令f′(x)＝0得x＝；当x变化时，f′(x)，f(x)随x的变化情况如下表：0f′(x)－0＋f(x)↘↗由表可知：f(x)在上是单调减函数，在上是单调增函数，综上所述：当a≤0时，f(x)的单调减区间为(0，＋∞)；当a＞0时，f(x)的单调减区间为，单调增区间为.Ⅱ　10′(3)证明　当x＞0时，要证f(x)－ax＋ex＞0，即证ex－lnx－2＞0，设g(x)＝ex－lnx－2(x＞0)．只需证g(x)＞0，13\n∵g′(x)＝ex－，由指数函数及幂函数的性质知：g′(x)＝ex－在(0，＋∞)上是增函数，又g′(1)＝e－1＞0，g′＝e－3＜0，∴g′(1)·g′＜0，∴g′(x)在内存在唯一的零点，则g′(x)在(0，＋∞)上有唯一的零点，设g′(x)的零点为t，则g′(t)＝et－＝0，即et＝，由g′(x)的单调性知：当x∈(0，t)时，g′(x)＜g′(t)＝0；当x∈(t，＋∞)时，g′(x)＞g′(t)＝0，∴g(x)在(0，t)上为减函数，在(t，＋∞)上为增函数，∴当x＞0时，g(x)≥g(t)＝et－lnt－2＝－ln－2＝＋t－2≥2－2＝0，又＜t＜1，等号不成立，∴g(x)＞0，故当x＞0时，f(x)－ax＋ex＞0.Ⅲ　16′[解题模板]Ⅰ求参数值，利用导数的几何意义求a；Ⅱ判断单调性：①求定义域，②求导，③讨论，并求单调区间；Ⅲ利用最值证不等式：①构造函数；②求导；③判断最值点x＝x0，并用x0表示最值；④证不等式．【训练5】设f(x)＝，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与直线2x＋y＋1＝0垂直．(1)求a的值；(2)若对∀x∈[1，＋∞)，f(x)≤m(x－1)恒成立，求m的范围．解　(1)f′(x)＝13\n由f′(1)＝，即＝，解得a＝0.(2)由(1)知f(x)＝，当x≥1时，f(x)≤m(x－1)，即≤m(x－1)，可化为lnx－mx＋≤0，设g(x)＝lnx－mx＋，g′(x)＝－m－＝.设φ(x)＝－mx2＋x－m，①当m≤0时，g′(x)＞0，g(x)≥g(1)＝0，不合题意．②当m＞0时，1°.Δ≤0时，即m≥，g′(x)≤0，g(x)≤g(1)＝0，符合题意．2°.Δ＞0时，0＜m＜，φ(1)＝1－2m＞0，不合题意．综上，m的取值范围是.模板6　数列问题【例6】(满分16分)已知数列{bn}满足Sn＋bn＝，其中Sn为数列{bn}的前n项和．(1)求证{bn－}是等比数例，并求数列{bn}的通项公式；(2)如果对任意n∈N*，不等式≥2n－7恒成立，求实数k的取值范围．[规范解答](1)证明　当n＝1时，2b1＝7，b1＝.Ⅰ　2′当n≥2时，Sn＋bn＝，　①Sn－1＋bn－1＝，　②①－②得2bn－bn－1＝，所以＝，13\n所以数列是首项为b1－＝3，公比为的等比数列，Ⅱ　6′所以bn－＝·＝3·，即bn＝3·＋.Ⅲ　7′(2)解　由题意及(1)得Sn＝－bn＝－3－＝－3.Ⅳ10′不等式≥2n－7，化简得k≥，对任意n∈N*恒成立．设cn＝，则cn＋1－cn＝－＝.当n≥5时，cn＋1≤cn，cn为单调递减数列，当1≤n＜5时，cn＋1＞cn，cn为单调递增数列，＝c4＜c5＝，所以n＝5时，cn取得最大值，所以，要使k≥对任意n∈N*恒成立，k≥.Ⅴ　16′[解题模板]Ⅰ求首项令n＝1，即可求出b1；Ⅱ转化为等比数列将类型的问题转化为等比数列求解；Ⅲ求通项公式根据等比数列通项公式求bn－，进而求bn；Ⅳ求前n项和13\n由已知可用bn表示Sn，即Sn＝－bn；Ⅴ转化并证明分离字母，并判断数列{cn}的增减性求数列{cn}中的最大项．【训练6】设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，满足4Sn＝a－4n－1，n∈N*，且a2，a5，a14构成等比数列．(1)证明：a2＝；(2)求数列{an}的通项公式；(3)证明：对一切正整数n，有＋＋…＋＜.(1)证明　因为an＞0，令n＝1，有4S1＝a－4－1，即4a1＝a－5，所以a2＝.(2)解　4Sn＝a－4n－1，当n≥2时，4Sn－1＝a－4(n－1)－1，两式相减得4an＝a－a－4，整理得a＝(an＋2)2，即an＋1＝an＋2.所以{an}从第2项起，是公差为2的等差数列．所以a5＝a2＋3×2＝a2＋6，a14＝a2＋12×2＝a2＋24，又a2，a5，a14构成等比数列，有a＝a2·a14，则(a2＋6)2＝a2(a2＋24)，解得a2＝3.由(1)知a1＝1，又an＋1＝an＋2(n≥2)，所以数列{an}是首项为1，公差为2的等差数列，即an＝1＋(n－1)×2＝2n－1.(3)证明　由(2)得＋＋…＋＝＋＋…＋＝＝＜.13