江苏省2022高考数学总复习优编增分练：高考填空题分项练7直线与圆

高考填空题分项练7　直线与圆1．若直线x－2y＋5＝0与直线2x＋my－6＝0互相垂直，则实数m＝________.答案　1解析　因为两直线互相垂直，所以1×2＋(－2)×m＝0⇒m＝1.2．圆心坐标为(2，－1)的圆截直线x－y－1＝0所得的弦长为2，则此圆的方程为________．答案　(x－2)2＋(y＋1)2＝4解析　圆心到直线的距离d＝＝，由于弦心距d，半径r及弦长的一半构成直角三角形，所以r2＝d2＋()2＝4，所以所求圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝4.3．已知两点A(3,0)，B(0,4)，动点P(x，y)在线段AB上运动，则xy的最大值是________．答案　3解析　AB线段的方程为＋＝1(0≤x≤3)，则x＝3，xy＝＝，所以当y＝2，即x＝时，(xy)max＝3.4．直线l1：x－y＋1＝0关于点P(1,1)对称的直线l2的方程为________．答案　x－y－1＝07\n解析　方法一　设点M(x，y)是直线l2上的任意一点，点M关于点P(1,1)的对称点为N，则点N的坐标为(2－x,2－y)．∵直线l1与l2关于点P(1,1)对称，∴点N(2－x,2－y)在直线l1上，∴(2－x)－(2－y)＋1＝0，即x－y－1＝0.∴直线l2的方程为x－y－1＝0.方法二　∵点P不在直线l1上，所以l2∥l1，设l2的方程为x－y＋c＝0，在l1上取点A(－1,0)，则点A关于点P的对称点A′(3,2)在直线l2上，∴3－2＋c＝0，即c＝－1，∴直线l2的方程为x－y－1＝0.5．(2022·镇江期末)已知圆C与圆M：x2＋y2＋10x＋10y＝0相切于原点，且过点A(0，－6)，则圆C的标准方程为________________．答案　(x＋3)2＋(y＋3)2＝18解析　设圆C的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，其圆心为C(a，b)，半径为r(r>0)，∵圆M：x2＋y2＋10x＋10y＝0可化简为(x＋5)2＋(y＋5)2＝50，∴其圆心M(－5，－5)，半径为5，将A(0，－6)代入(x＋5)2＋(y＋5)2＝26<50，∴A点在圆M：(x＋5)2＋(y＋5)2＝50的内部，∴两圆内切于原点O，∵圆C过点(0，－6)，∴解得a＝－3，b＝－3，r＝3，∴圆C的标准方程为(x＋3)2＋(y＋3)2＝18.6．(2022·全国大联考江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，若直线y＝x＋m上存在一点A，圆C：x2＋(y－2)2＝4上存在一点B，满足＝4，则实数m的取值范围为________．答案　[8－4，8＋4]解析　设点B(x0，y0)，因为＝4，所以点A(4x0,4y0)，7\n因为点A在直线y＝x＋m上，所以4y0＝2x0＋m，而点B(x0，y0)在圆C上，所以x＋(y0－2)2＝4，由题意关于x0，y0的方程组有解，消去x0，整理得5y－(4＋2m)y0＋＝0，所以Δ＝－m2＋16m＋16≥0，解得实数m的取值范围为[8－4，8＋4]．7．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a>0)的公共弦长为2，则a＝________.答案　1解析　如图，设两圆的公共弦为AB，AB交y轴于点C，连结OA，则OA＝2.把x2＋y2＝4与x2＋y2＋2ay－6＝0相减，得2ay＝2，即y＝为公共弦AB所在直线的方程，所以OC＝.因为AB＝2，所以AC＝，在Rt△AOC中，OC2＝OA2－AC2，即＝4－3＝1，又因为a>0，所以a＝1.8．已知点A(4，－3)与点B(2，－1)关于直线l对称，在l上有一点P，使点P到直线4x＋3y－2＝0的距离等于2，则点P的坐标是________．答案　(1，－4)或解析　由题意知线段AB的中点为C(3，－2)，kAB＝－1，故直线l的方程为y＋2＝x－3，即y＝x－5.设P(x，x－5)，则2＝，解得x＝1或x＝.即点P的坐标是(1，－4)或.9．已知直线l过点P(1,2)且与圆C：x2＋y2＝2相交于A，B两点，△ABC7\n的面积为1，则直线l的方程为____________________．答案　x－1＝0或3x－4y＋5＝0解析　由S△ABC＝×××sin∠ACB＝1，得sin∠ACB＝1，所以∠ACB＝90°，若直线l的斜率存在，则点C(0,0)到直线l的距离为1，设直线l的方程为y－2＝k(x－1)，利用距离公式可得k＝，此时直线l的方程为3x－4y＋5＝0.当k不存在时，x－1＝0满足题意．综上，直线l的方程为x－1＝0或3x－4y＋5＝0.7\n10．已知经过点P的两个圆C1，C2都与直线l1：y＝x，l2：y＝2x相切，则这两圆的圆心距C1C2＝________.答案　解析　假设圆心所在直线为y＝kx，则直线上点(1，k)到l1，l2的距离相等，即＝，解得k＝1(－1舍去)．故假设圆C1：(a－1)2＋2＝，圆C2：(b－1)2＋2＝，即圆C1：36a2－100a＋65＝0，圆C2：36b2－100b＋65＝0.∴a＋b＝，ab＝，∴C1C2＝＝.11．已知点P在直线l：y＝x＋1上，过点P作圆C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0的切线，切点分别是A，B，AB的中点为Q，若点Q到直线l的距离为，则点Q的坐标是________．答案　或解析　圆C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0的标准方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝9.设P(a，a＋1)，则P，A，C，B四点共圆，该圆以PC为直径，方程为(x－a)(x－1)＋(y－a－1)(y＋2)＝0，即x2＋y2－(a＋1)x＋(1－a)y－a－2＝0，与圆C的方程相减得，弦AB所在直线的方程为(a－1)x＋(a＋3)y＋a－2＝0，即a(x＋y＋1)－x＋3y－2＝0，该直线恒过直线x＋y＋1＝0与－x＋3y－2＝0的交点M.又由圆的几何性质可得CQ⊥QM，7\n则点Q在以CM为直径的圆上，圆心是CM的中点N，半径为CM＝＝，点N到直线l：y＝x＋1的距离为，由点Q到直线l的距离为，易知直线NQ与l平行，此时直线NQ的方程为y＝x－，Q为直线NQ与圆N的交点，联立y＝x－与2＋2＝，得Q的坐标为或.12．已知线段AB的长为2，动点C满足·＝λ(λ>－1)，且点C总不在以点B为圆心，为半径的圆内，则实数λ的最大值是________．答案　－解析　建立平面直角坐标系(图略)，B(0,0)，A(2,0)，设C(x，y)，则·＝x(x－2)＋y2＝λ，则(x－1)2＋y2＝λ＋1，点C的轨迹是以(1,0)为圆心，为半径的圆且与x2＋y2＝外离或外切．所以0<≤，解得－1<λ≤－，所以λ的最大值为－.13．在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2＋y2＝1，O1：(x－4)2＋y2＝4，动点P在直线x＋y－b＝0上，过P分别作圆O，O1的切线，切点分别为A，B，若满足PB＝2PA的P点有且只有两个，则实数b的取值范围是________．答案　7\n解析　设P点坐标为(x，y)，∵PB＝2PA，∴PB2＝4PA2，即(x－4)2＋y2－4＝4(x2＋y2－1)，整理得3x2＋3y2＋8x－16＝0.方法一　该方程表示一个圆，圆心，r＝.∵P点有且只有两个，∴直线和此圆相交，故<，解得b∈.方法二　∵P点在直线x＋y－b＝0上，∴y＝－x＋b，代入3x2＋3y2＋8x－16＝0，得4x2＋(8－2b)x＋b2－16＝0.∵P点有且只有两个，∴方程有两个不相等的实数根，即Δ>0，整理得3b2＋8b－80<0，∴b∈.14．(2022·南京模拟)在平面直角坐标系xOy中，圆M：x2＋y2－6x－4y＋8＝0与x轴的两个交点分别为A，B，其中A在B的右侧，以AB为直径的圆记为圆N，过点A作直线l与圆M，圆N分别交于C，D两点．若D为线段AC的中点，则直线l的方程为____________．答案　x＋2y－4＝0解析　由题意得圆M的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝5，令y＝0，得x＝2或x＝4，所以A(4,0)，B(2,0)．则圆N的方程为(x－3)2＋y2＝1，由题意得直线l斜率存在，所以设直线l：y＝k(x－4)．联立直线l的方程和圆M的方程并消去y，得(1＋k2)x2－(8k2＋4k＋6)x＋16k2＋16k＋8＝0，所以4＋xC＝，①联立得(1＋k2)x2－(8k2＋6)x＋16k2＋8＝0，所以4＋xD＝，②因为xC＋4＝2xD，③解①②③得k＝－.所以直线l的方程为x＋2y－4＝0.7