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高考数学一轮复习专题讲座3数列在高考中的常见题型与求解策略知能训练轻松闯关理北师大版
高考数学一轮复习专题讲座3数列在高考中的常见题型与求解策略知能训练轻松闯关理北师大版
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专题讲座3数列在高考中的常见题型与求解策略1.(2022·辽宁省五校联考)抛物线x2=y在第一象限内图像上一点(ai,2a)处的切线与x轴交点的横坐标记为ai+1,其中i∈N*,若a2=32,则a2+a4+a6等于( )A.64 B.42C.32D.21解析:选B.令y=f(x)=2x2,则切线斜率k=f′(ai)=4ai,切线方程为y-2a=4ai(x-ai),令y=0得x=ai+1=ai,由a2=32得:a4=8,a6=2,所以a2+a4+a6=42.2.(2022·高考辽宁卷)设等差数列{an}的公差为d.若数列{2a1an}为递减数列,则( )A.d<0B.d>0C.a1d<0D.a1d>0解析:选C.设bn=2a1an,则bn+1=2a1an+1,由于{2a1an}是递减数列,则bn>bn+1,即2a1an>2a1an+1.因为y=2x是单调增函数,所以a1an>a1an+1,所以a1an-a1(an+d)>0,所以a1(an-an-d)>0,即a1(-d)>0,所以a1d<0.3.在等比数列{an}中,若an>0,且a1·a2·…·a7·a8=16,则a4+a5的最小值为________.解析:由等比数列性质得,a1a2…a7a8=(a4a5)4=16,又an>0,所以a4a5=2.再由基本不等式,得a4+a5≥2=2.所以a4+a5的最小值为2.答案:24.(2022·南昌调研测试卷)一牧羊人赶着一群羊通过6个关口,每过1个关口,守关人将拿走当时羊的一半,然后退还1只给牧羊人,过完这些关口后,牧羊人只剩下2只羊,则牧羊人在过第1个关口前有________只羊. 解析:记此牧羊人通过第1个关口前、通过第2个关口前、…、通过第6个关口前,剩下的羊的只数组成数列{an}(n=1,2,3,4,5,6),则由题意得a2=a1+1,a3=a2+1,…,a6=a5+1,而a6+1=2,解得a6=2,因此代入得a5=2,a4=2,…,a1=2.答案:25.(2022·南昌调研测试卷)设数列{an}的前n项和为Sn,4Sn=a+2an-3,且a1,a2,a3,a4,a5成等比数列,当n≥5时,an>0.(1)求证:当n≥5时,{an}成等差数列;(2)求{an}的前n项和Sn.解:(1)证明:由4Sn=a+2an-3,4Sn+1=a+2an+1-3,得4an+1=a-a+2an+1-2an,即(an+1+an)(an+1-an-2)=0.因为当n≥5时,an>0,所以an+1-an=2,所以当n≥5时,{an}成等差数列.(2)由4a1=a+2a1-3,得a1=3或a1=-1,又a1,a2,a3,a4,a5成等比数列,所以an+1+an=0(n≤5),q=-1,而a5>0,所以a1>0,从而a1=3,所以an=4\n所以Sn=6.(2022·高考山东卷)已知数列{an}是首项为正数的等差数列,数列的前n项和为.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设bn=(an+1)·2an,求数列{bn}的前n项和Tn.解:(1)设数列{an}的公差为d,令n=1,得=,所以a1a2=3.①令n=2,得+=,所以a2a3=15.②由①②解得a1=1,d=2,所以an=2n-1.经检验,符合题意.(2)由(1)知bn=2n·22n-1=n·4n,所以Tn=1·41+2·42+…+n·4n,所以4Tn=1·42+2·43+…+n·4n+1,两式相减,得-3Tn=41+42+…+4n-n·4n+1=-n·4n+1=×4n+1-,所以Tn=×4n+1+=.1.为了加强环保建设,提高社会效益和经济效益,北京市计划用若干时间更换一万辆燃油型公交车,每更换一辆新车,则淘汰一辆旧车,替换车为电力型和混合动力型车.今年初投入了电力型公交车128辆,混合动力型公交车400辆;计划以后电力型车每年的投入量比上一年增加50%,混合动力型车每年比上一年多投入a辆.(1)求经过n年,该市被更换的公交车总数S(n);(2)若该市计划7年内完成全部更换,求a的最小值.解:(1)设an,bn分别为第n年投入的电力型公交车、混合动力型公交车的数量.依题意,得{an}是首项为128,公比为1+50%=的等比数列,{bn}是首项为400,公差为a的等差数列.所以{an}的前n项和Sn==256,{bn}的前n项和Tn=400n+a.4\n所以经过n年,该市被更换的公交车总数为S(n)=Sn+Tn=256+400n+a.(2)若计划7年内完成全部更换,则S(7)≥10000,所以256+400×7+a≥10000,即21a≥3082,所以a≥146.又a∈N*,所以a的最小值为147.2.(2022·高考广东卷)数列{an}满足:a1+2a2+…+nan=4-,n∈N*.(1)求a3的值;(2)求数列{an}的前n项和Tn;(3)令b1=a1,bn=+an(n≥2).证明:数列{bn}的前n项和Sn满足Sn<2+2lnn.解:(1)令n=1⇒a1=1;令n=2⇒a1+2a2=2⇒a2=;令n=3⇒a1+2a2+3a3=4-⇒a3=.(2)当n≥2时,a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1=4-,①a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1+nan=4-.②②-①,得nan=-=,所以an=.又因为当n=1时,a1=1也适合an=,所以an=(n∈N*),易证数列{an}是等比数列,首项a1=1,公比q=.所以数列{an}的前n项和Tn==2-.(3)证明:因为b1=a1=1,所以S1<2+2ln1成立.又因为b2=+a2,b3=+(1++)a3,…,bn=+an,所以数列{bn}的前n项和Sn=b1+b2+…+bn=a1+a2+…+(1++…+)an4\n=(1++…+)(a1+a2+…+an)=(1++…+)<2,构造函数h(x)=ln-+1,x>0,h′(x)=,令h′(x)>0,解得0<x<1;令h′(x)<0,解得x>1,所以h(x)=ln-+1,x>0在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,所以h(x)≤h(1)=0,所以ln-+1≤0,x>0(仅当x=1时取等号),即lnx≥1-.又因为lnn=ln+ln+…+ln2>++…+=++…+,所以2<2+2lnn,所以Sn<2+2lnn.4
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高考 - 二轮专题
发布时间:2022-08-25 22:54:06
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文章作者:U-336598
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