高考数学一轮复习专题讲座6概率统计在高考中的常见题型与求解策略知能训练轻松闯关文北师大版

专题讲座六概率、统计在高考中的常见题型与求解策略1．一个三位数的百位，十位，个位上的数字依次为a，b，c，当且仅当a>b，b<c时称为“凹数”(如213，312等)，若a，b，c∈{1，2，3，4}，且a，b，c互不相同，则这个三位数为“凹数”的概率是(　　)A.　　　　　　　　　B.C.D.解析：选C.由1，2，3组成的三位数有123，132，213，231，312，321，共6个；由1，2，4组成的三位数有124，142，214，241，412，421，共6个；由1，3，4组成的三位数有134，143，314，341，413，431，共6个；由2，3，4组成的三位数有234，243，324，342，432，423，共6个．所以共有6＋6＋6＋6＝24个三位数．当b＝1时，有214，213，314，412，312，413，共6个“凹数”；当b＝2时，有324，423，共2个“凹数”．所以这个三位数为“凹数”的概率是＝.2．在区间[－π，π]内随机抽取两个数分别为a，b，则使得函数f(x)＝x2＋2ax－b2＋π2有零点的概率为(　　)A．1－B．1－C．1－D．1－解析：选B.使函数f(x)＝x2＋2ax－b2＋π2有零点，应满足Δ＝4a2－4(－b2＋π2)≥0，即a2＋b2≥π2成立．而a，b∈[－π，π]，建立平面直角坐标系，满足a2＋b2≥π2的点(a，b)如图阴影部分所示，所求事件的概率为P＝＝＝1－，故选B.3．(2022·忻州联考)已知x，y的取值如下表：x2345y2.23.85.56.5从散点图分析，y与x线性相关，且回归方程为y＝1.46x＋a，则a的值为________．解析：＝＝3.5，＝＝4.5，回归方程必过样本点的中心点(，)．把(3.5，4.5)代入回归方程，计算得a＝－0.61.答案：－0.614．(2022·武昌区联考)4\n已知某单位有40名职工，现要从中抽取5名职工，将全体职工随机按1～40编号，并按编号顺序平均分成5组．按系统抽样方法在各组内抽取一个号码．(1)若第1组抽出的号码为2，则所有被抽出职工的号码为________；(2)分别统计这5名职工的体重(单位：公斤)，获得体重数据的茎叶图如图所示，则该样本的方差为________．解析：(1)由题意知被抽出职工的号码为2，10，18，26，34.(2)由茎叶图知5名职工体重的平均数x＝＝69，则该样本的方差s2＝[(59－69)2＋(62－69)2＋(70－69)2＋(73－69)2＋(81－69)2]＝62.答案：(1)2，10，18，26，34　(2)625．(2022·武昌区部分学校适应性考试)现有8个质量和外形一样的球，其中A1，A2，A3为红球的编号，B1，B2，B3为黄球的编号，C1，C2为蓝球的编号．从三种颜色的球中分别选出一个球，放到一个盒子内．(1)求红球A1被选中的概率；(2)求黄球B1和蓝球C1不全被选中的概率．解：(1)从三种不同颜色的球中分别选出一球，其一切可能的结果组成的基本事件空间Ω＝{(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A1，B3，C1)，(A1，B3，C2)，(A2，B1，C1)，(A2，B1，C2)，(A2，B2，C1)，(A2，B2，C2)，(A2，B3，C1)，(A2，B3，C2)，(A3，B1，C1)，(A3，B1，C2)，(A3，B2，C1)，(A3，B2，C2)，(A3，B3，C1)，(A3，B3，C2)}，共18个基本事件．由于每一个基本事件被抽取的机会均等，因此这些基本事件的发生是等可能的．用M表示“红球A1被选中”这一事件，则M＝{(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A1，B3，C1)，(A1，B3，C2)}，事件M由6个基本事件组成，因而P(M)＝＝.(2)用N表示“黄球B1和蓝球C1不全被选中”这一事件，则其对立事件N表示“B1，C1全被选中”这一事件，由于N＝{(A1，B1，C1)，(A2，B1，C1)，(A3，B1，C1)}，事件N由3个基本事件组成，所以P(N)＝＝，由对立事件的概率计算公式得P(N)＝1－P(N)＝1－＝.6．(2022·南昌第一次模拟)某市教育局为了了解高三学生体育达标情况，在某学校的高三学生体育达标成绩中随机抽取50个进行调研，按成绩分组：第1组[75，80)，第2组[80，85)，第3组[85，90)，第4组[90，95)，第5组[95，100]，得到的频率分布直方图如图所示．若要在成绩较高的第3，4，5组中用分层抽样抽取6名学生进行复查．4\n(1)已知学生甲和学生乙的成绩均在第5组，求学生甲或学生乙被抽中复查的概率；(2)在已抽取到的6名学生中随机抽取2名学生接受篮球项目的考核，求其中1人在第3组，另1人在第4组的概率．解：(1)设“学生甲或学生乙被选中复查”为事件A，第3组人数为50×0.06×5＝15，第4组人数为50×0.04×5＝10，第5组人数为50×0.02×5＝5，根据分层抽样知，第3组应抽取3人，第4组应抽取2人，第5组应抽取1人，所以P(A)＝.(2)记第3组抽中的3人分别为A1、A2、A3，第4组抽中的2人分别为B1、B2，第5组抽中的1人为C，从这6人中抽出2人，有以下基本事件：A1A2，A1A3，A1B1，A1B2，A1C，A2A3，A2B1，A2B2，A2C，A3B1，A3B2，A3C，B1B2，B1C，B2C，共15个．符合1人在第3组、另1人在第4组的基本事件有A1B1，A1B2，A2B1，A2B2，A3B1，A3B2，共6个，所以所求概率P＝＝.1．(2022·山西省第三次四校联考)如图所示，茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学完成某道数学题(满分12分)的得分情况．乙组某个数据的个位数模糊，记为x，已知甲、乙两组的平均成绩相同．(1)求x的值，并判断哪组学生成绩更稳定；(2)在甲、乙两组中各抽出一名同学，求这两名同学的得分之和低于20分的概率．解：(1)x甲＝＝10，x乙＝＝10，所以x＝1，又s＝[(9－10)2＋(9－10)2＋(11－10)2＋(11－10)2]＝1，s＝[(8－10)2＋(9－10)2＋(11－10)2＋(12－10)2]＝，所以s<s，所以甲组成绩比乙组稳定．(2)记甲组4名同学为：A1，A2，A3，A4；乙组4名同学为：B1，B2，B3，B4.分别从甲、乙两组中各抽取一名同学所有可能的结果为：(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，B4)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，B4)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，B3)，(A3，B4)，(A4，B1)，(A4，B2)，(A4，B3)，(A4，B4)，共16种，其中得分之和低于20分的共6种，所以得分之和低于20分的概率P＝＝.2．(2022·洛阳统考)有2000名网购者在11月11日当天于某购物网站进行网购消费(消费金额不超过1000元)，其中有女士1100名，男士900名．该购物网站为优化营销策略，4\n根据性别采用分层抽样的方法从这2000名网购者中抽取200名进行分析，如下表．(消费金额单位：元)女士消费情况：消费金额(0，200)[200，400)[400，600)[600，800)[800，1000]人数10253530x男士消费情况：消费金额(0，200)[200，400)[400，600)[600，800)[800，1000]人数153025y5(1)计算x，y的值，在抽出的200名且消费金额在[800，1000](单位：元)的网购者中随机选出2名发放网购红包，求选出的2名网购者都是男士的概率；(2)若消费金额不低于600元的网购者为“网购达人”，低于600元的网购者为“非网购达人”，根据以上统计数据填写下面2×2列联表，并回答能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“是否为‘网购达人’与性别有关”？女士男士总计网购达人非网购达人总计附：P(χ2≥k0)0.100.050.0250.0100.005k02.7063.8415.0246.6357.879χ2＝，n＝a＋b＋c＋d解：(1)依题意，女士应抽取110名，男士应抽取90名，故x＝10，y＝15.消费金额在[800，1000](单位：元)的网购者共有15名，从中选出2名共有105种选法，若2名网购者都是男士，共有10种选法，所以选出的2名网购者都是男士的概率为＝.(2)列联表如下：女士男士总计网购达人402060非网购达人7070140总计11090200χ2＝≈4.714.又因为4.714>3.841，故能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“是否为‘网购达人’与性别有关”．4