高考数学一轮复习专题讲座4立体几何在高考中的常见题型与求解策略知能训练轻松闯关文北师大版

专题讲座四立体几何在高考中的常见题型与求解策略1．(2022·银川模拟)对于不同的平面α、β、γ和不同的直线a、b、m、n，下列命题中正确的是(　　)A．若a⊥m，a⊥n，mα，nα，则a⊥αB．若a∥b，bα，则a∥αC．若α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，则a∥bD．若aβ，bβ，a∥α，b∥α，则β∥α解析：选C.对于A，只有m，n相交时结论才成立，故A错误；对于B，还有可能aα，故B错误；选项C是面面平行的性质定理，故C正确；对于D，只有当a，b相交时结论才成立，故D错误．2.(2022·唐山统考)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于(　　)A.B.C．1D.解析：选A.由三视图知该几何体是直三棱柱截去一个三棱锥所剩的几何体，底面是直角边为1的等腰直角三角形，高为2，所以所求体积V＝V柱－V锥＝×2－××2＝.3．(2022·大连双基测试)如图，边长为2的正方形ABCD中，点E、F分别是边AB、BC的中点，△AED、△EBF、△FCD分别沿DE、EF、FD折起，使A、B、C三点重合于点A′，若四面体A′EFD的四个顶点在同一个球面上，则该球的半径为________．解析：由题意知DF＝，A′E＝A′F＝1，A′D＝2，以A′E、A′F、A′D为棱，建立一个长方体，则体对角线长为2R＝(R为球的半径)，R＝.答案：4.如图，已知六棱锥PABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，则下列结论中：①PB⊥AE；②平面ABC⊥平面PBC；③直线BC∥平面PAE；④∠PDA＝45°.4\n其中正确的有________(把所有正确结论的序号都填上)．解析：由PA⊥平面ABC，AE平面ABC，得PA⊥AE，又由正六边形的性质得AE⊥AB，PA∩AB＝A，得AE⊥平面PAB，又PB平面PAB，所以AE⊥PB，①正确；又平面PAD⊥平面ABC，所以平面ABC⊥平面PBC不成立，②错误；由正六边形的性质得BC∥AD，又AD平面PAD，所以BC∥平面PAD，所以直线BC∥平面PAE也不成立，③错误；在Rt△PAD中，PA＝AD＝2AB，所以∠PDA＝45°，所以④正确．答案：①④5．(2022·烟台一模)如图，在几何体ABCDEF中，ABCD是正方形，DE⊥平面ABCD.(1)求证：AC⊥平面BDE；(2)若AF∥DE，DE＝3AF，点M在线段BD上，且BM＝BD，求证：AM∥平面BEF.证明：(1)因为DE⊥平面ABCD，AC平面ABCD，所以DE⊥AC，因为ABCD是正方形，所以AC⊥BD，又BD∩DE＝D，从而AC⊥平面BDE.(2)延长EF、DA交于点G，连接GB，因为AF∥DE，DE＝3AF，所以＝＝，因为BM＝BD，所以＝，所以＝＝，所以AM∥GB，又AM⃘平面BEF，GB平面BEF，所以AM∥平面BEF.6．(2022·大连双基测试)如图，棱长均为2的四棱柱ABCDA1B1C1D1中，∠DAB＝60°，CC1⊥A1C1.(1)证明：平面DBB1D1⊥平面AA1C1C；(2)当∠DD1B1多大时，四棱锥CBB1D1D的体积最大，并求出该最大值．解：(1)证明：由题知，棱柱的上、下底面都为菱形，则A1C1⊥B1D1，由棱柱的性质可知CC1∥BB1，又CC1⊥A1C1，4\n故A1C1⊥BB1，又因为B1D1平面DBB1D1，BB1平面DBB1D1，B1D1∩BB1＝B1，所以A1C1⊥平面DBB1D1，又A1C1平面AA1C1C，故平面DBB1D1⊥平面AA1C1C.(2)设AC∩BD＝O，由(1)可知AC⊥平面DBB1D1，故VCDD1B1B＝S四边形DD1B1B·CO.在菱形ABCD中，因为BC＝2，∠DAB＝60°，所以∠CBO＝60°，且BD＝2，则在△CBO中，CO＝BCsin60°＝.易知四边形DBB1D1为边长为2的菱形，S四边形DD1B1B＝D1B1·DD1sin∠DD1B1＝2×2sin∠DD1B1，则当∠DD1B1＝90°(DD1⊥D1B1)时，S四边形DD1B1B最大，且其值为4.故所求体积最大值为V＝×4×＝.1．(2022·高考广东卷)如图，三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD＝PC＝4，AB＝6，BC＝3.(1)求证：BC∥平面PDA；(2)证明：BC⊥PD；(3)求点C到平面PDA的距离．解：(1)证明：因为四边形ABCD为长方形，所以BC∥AD.又BC⃘平面PDA，AD平面PDA，所以BC∥平面PDA.(2)证明：因为BC⊥CD，平面PDC⊥平面ABCD且平面PDC∩平面ABCD＝CD，BC平面ABCD，所以BC⊥平面PDC.因为PD平面PDC，所以BC⊥PD.(3)取CD的中点E，连接PE，AC(图略)．因为PD＝PC，所以PE⊥CD，所以PE＝＝＝.因为平面PDC⊥平面ABCD且平面PDC∩平面ABCD＝CD，PE平面PDC，所以PE⊥平面ABCD.由(2)知BC⊥平面PDC.又AD∥BC，所以AD⊥平面PDC.又PD平面PDC，所以AD⊥PD.设点C到平面PDA的距离为h，则VCPDA＝VPACD，所以S△PDA·h＝S△ACD·PE，所以h＝＝＝，故点C到平面PDA的距离为.2．如图，E是矩形ABCD中AD边上的点，F为CD边的中点，AB＝AE＝AD＝4，现将△ABE4\n沿BE边折至△PBE位置，且平面PBE⊥平面BCDE.(1)求证：平面PBE⊥平面PEF；(2)求四棱锥PBEFC的体积．解：(1)证明：由题可知，△ABE中，AE＝AB，AE⊥AB，所以∠AEB＝45°，又△DEF中，ED＝DF，ED⊥DF，所以∠DEF＝45°，所以EF⊥BE，因为平面PBE⊥平面BCDE，且平面PBE∩平面BCDE＝BE，所以EF⊥平面PBE.又EF平面PEF，所以平面PBE⊥平面PEF.(2)因为S四边形BEFC＝S四边形ABCD－S△ABE－S△DEF＝6×4－×4×4－×2×2＝14，过点P作PH⊥BE，垂足为H(图略)，因为平面PBE⊥平面BCDE，所以PH⊥平面BCDE，在Rt△PBE中，易求得PH＝2，所以四棱锥PBEFC的体积V＝·S四边形BEFC·PH＝×14×2＝.4