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高考数学一轮复习第1章集合与常用逻辑用语第2讲知能训练轻松闯关理北师大版
高考数学一轮复习第1章集合与常用逻辑用语第2讲知能训练轻松闯关理北师大版
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第1章集合与常用逻辑用语第2讲1.(2022·高考上海卷)下列不等式中,与不等式<2解集相同的是( )A.(x+8)(x2+2x+3)<2 B.x+8<2(x2+2x+3)C.<D.>解析:选B.依题意,注意到x2+2x+3=(x+1)2+2≥2>0,因此不等式<2等价于x+8<2(x2+2x+3),故选B.2.已知关于x的不等式(ax-1)(x+1)<0的解集是(-∞,-1)∪,则a=( )A.2B.-2C.-D.解析:选B.根据不等式与对应方程的关系知-1,-是一元二次方程ax2+x(a-1)-1=0的两个根,所以-1×=-,所以a=-2,故选B.3.已知函数f(x)=则不等式f(x)≥x2的解集为( )A.[-1,1]B.[-2,2]C.[-2,1]D.[-1,2]解析:选A.法一:当x≤0时,x+2≥x2,所以-1≤x≤0;①当x>0时,-x+2≥x2,所以0<x≤1.②由①②得原不等式的解集为{x|-1≤x≤1}.法二:作出函数y=f(x)和函数y=x2的图像,如图,由图知f(x)≥x2的解集为[-1,1].4.(2022·广东省联合体联考)已知函数f(x)=则使f(x)≥1的x的取值范围为( )A.B.C.(-∞,1)∪D.(-∞,1]∪解析:选D.不等式f(x)≥1等价于或解之得x≤1或≤x≤3,所以不等式的解集为(-∞,1]∪,故选D.4\n5.关于x的不等式x2-(a+1)x+a<0的解集中,恰有3个整数,则a的取值范围是( )A.(4,5)B.(-3,-2)∪(4,5)C.(4,5]D.[-3,-2)∪(4,5]解析:选D.原不等式可化为(x-1)(x-a)<0,当a>1时得1<x<a,此时解集中的整数为2,3,4,则4<a≤5,当a<1时得a<x<1,则-3≤a<-2,故a∈[-3,-2)∪(4,5].6.若不等式mx2+2mx-4<2x2+4x对任意x均成立,则实数m的取值范围是( )A.(-2,2]B.(-2,2)C.(-∞,-2)∪[2,+∞)D.(-∞,2]解析:选A.原不等式等价于(m-2)x2+2(m-2)x-4<0,①当m=2时,对任意的x不等式都成立;②当m-2<0时,Δ=4(m-2)2+16(m-2)<0,所以-2<m<2,综合①②,得m的取值范围是(-2,2].7.(2022·合肥一模)已知函数f(x)=则不等式f(x)<0的解集为________.解析:若x>0,由f(x)<0得x2-1<0,解得0<x<1.若x≤0,由f(x)<0得-|x+1|<0,解得x≤0且x≠-1,综上不等式的解为x<1且x≠-1,即不等式的解集为(-∞,-1)∪(-1,1).答案:(-∞,-1)∪(-1,1)8.若0<a<1,则不等式(a-x)>0的解集是________.解析:原不等式即(x-a)<0,由0<a<1得a<,所以a<x<.答案:9.(2022·九江一模)若关于x的不等式x2-4x-2-a>0在区间(1,4)内有解,则实数a的取值范围是________.解析:不等式x2-4x-2-a>0在区间(1,4)内有解等价于a<(x2-4x-2)max,令g(x)=x2-4x-2,x∈(1,4),所以g(x)<g(4)=-2,所以a<-2.答案:(-∞,-2)10.已知a∈[-1,1],不等式x2+(a-4)x+4-2a>0恒成立,则实数x的取值范围为________.解析:把不等式的左端看成关于a的一次函数,记f(a)=(x-2)a+(x2-4x+4),则由f(a)>0对于任意的a∈[-1,1]恒成立,易知只需f(-1)=x2-5x+6>0,且f(1)=x2-3x+2>0即可,联立不等式解得x<1或x>3.答案:{x|x<1或x>3}11.若不等式ax2+5x-2>0的解集是.(1)求实数a的值;(2)求不等式ax2-5x+a2-1>0的解集.解:(1)由题意知a<0,且方程ax2+5x-2=0的两个根为,2,代入解得a=-2.(2)由(1)知不等式为-2x2-5x+3>0,即2x2+5x-3<0,解得-3<x<,即不等式ax2-5x+a2-1>0的解集为.12.某同学要把自己的计算机接入因特网,现有两家ISP公司可供选择.公司A每小时收费1.5元;公司B在用户每次上网的第1小时内收费1.7元,第2小时内收费1.6元,4\n以后每小时减少0.1元(若用户一次上网时间超过17小时,按17小时计算).假设该同学一次上网时间总是小于17小时,那么该同学如何选择ISP公司较省钱?解:假设一次上网x(x<17)小时,则公司A收取的费用为1.5x元,公司B收取的费用为1.7+(1.7-0.1)+(1.7-0.2)+…+[1.7-(x-1)×0.1]=(元).由>1.5x(0<x<17),整理得x2-5x<0,解得0<x<5,故当0<x<5时,公司A收费低于公司B收费,当x=5时,A,B两公司收费相等,当5<x<17时,公司B收费低,所以当一次上网时间在5小时以内时,选择公司A的费用少;为5小时时,选择公司A与公司B费用一样多;超过5小时小于17小时时,选择公司B的费用少.1.已知集合A={x|x2-2x-3>0},B={x|x2+ax+b≤0},若A∪B=R,A∩B=(3,4],则有( )A.a=3,b=4B.a=3,b=-4C.a=-3,b=4D.a=-3,b=-4解析:选D.法一:由题意得集合A={x|x<-1或x>3},又A∪B=R,A∩B=(3,4],所以集合B为{x|-1≤x≤4},由一元二次不等式与一元二次方程的关系,可得a=-3,b=-4.法二:易知A={x|x<-1或x>3},又A∩B=(3,4],可得4为方程x2+ax+b=0的一个根,则有16+4a+b=0,经验证可知选项D正确.2.(2022·南京、盐城模拟)已知函数f(x)=,x∈R,则不等式f(x2-2x)<f(3x-4)的解集是________. 解析:f(x)=其图像如图所示:由图可知:不等式f(x2-2x)<f(3x-4)等价于解得即1<x<2,所以不等式的解集为(1,2).答案:(1,2)3.(2022·西安交大附中模拟)已知f(x)=x2-2ax+2(a∈R),当x∈[-1,+∞)时,f(x)≥a恒成立,求a的取值范围.解:法一:f(x)=(x-a)2+2-a2,此二次函数图像的对称轴为x=a.①当a∈(-∞,-1)时,f(x)在[-1,+∞)上单调递增,f(x)min=f(-1)=2a+3.要使f(x)≥a恒成立,只需f(x)min≥a,即2a+3≥a,解得-3≤a<-1;②当a∈[-1,+∞)时,f(x)min=f(a)=2-a2,由2-a2≥a,解得-1≤a≤1.综上所述,所求a的取值范围是[-3,1].法二:令g(x)=x2-2ax+2-a,由已知,得x2-2ax+2-a≥0在[-1,+∞)上恒成立,4\n即Δ=4a2-4(2-a)≤0或解得-3≤a≤1,所以a的取值范围是[-3,1].4.设二次函数f(x)=ax2+bx+c,函数F(x)=f(x)-x的两个零点为m,n(m<n).(1)若m=-1,n=2,求不等式F(x)>0的解集;(2)若a>0,且0<x<m<n<,比较f(x)与m的大小. 解:(1)由题意知,F(x)=f(x)-x=a(x-m)·(x-n),当m=-1,n=2时,不等式F(x)>0,即a(x+1)(x-2)>0.当a>0时,不等式F(x)>0的解集为{x|x<-1,或x>2};当a<0时,不等式F(x)>0的解集为{x|-1<x<2}.(2)f(x)-m=a(x-m)(x-n)+x-m=(x-m)(ax-an+1),因为a>0,且0<x<m<n<,所以x-m<0,1-an+ax>0.所以f(x)-m<0,即f(x)<m.4
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高考 - 一轮复习
发布时间:2022-08-25 16:56:47
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