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高考数学一轮复习第2章基本初等函数导数及其应用第3讲函数的单调性与最值知能训练轻松闯关理北师大版
高考数学一轮复习第2章基本初等函数导数及其应用第3讲函数的单调性与最值知能训练轻松闯关理北师大版
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第3讲函数的单调性与最值1.(2022·菏泽一模)给定函数①y=x;②y=log(x+1);③y=|x-1|;④y=2x+1,其中在区间(0,1)上递减的函数序号是( )A.①② B.②③C.③④D.①④解析:选B.①y=x在区间(0,1)上递增;②y=log(x+1)在区间(0,1)上递减;③y=|x-1|=在区间(0,1)上递减;④y=2x+1在区间(0,1)上递增.故选B.2.若函数f(x)=x2-2x+m在[3,+∞)上的最小值为1,则实数m的值为( )A.-3B.-2C.-1D.1解析:选B.因为f(x)=(x-1)2+m-1在[3,+∞)上为增函数,且f(x)在[3,+∞)上的最小值为1,所以f(3)=1,即22+m-1=1,m=-2.3.(2022·北京海淀区模拟)下列函数y=f(x)的图像中,满足f>f(3)>f(2)的只可能是( )解析:选D.因为f>f(3)>f(2),所以函数y=f(x)有增有减,排除A,B.在C中,f<f(0),f(3)>f(0),即f<f(3),排除C,故选D.4.对于正实数a,函数y=x+在上为增函数,则a的取值范围为( )A.B.C.(0,+∞)D.解析:选B.由函数y=x+的图像知,函数y=x+在(0,)上是减函数,在(,+∞)上是增函数,所以有≤,故选B.5.已知函数f(x)=lnx+2x,若f(x2-4)<2,则实数x的取值范围是( )A.(-2,2)B.(2,)C.(-,-2)D.(-,-2)∪(2,)解析:选D.因为函数f(x)=lnx+2x在定义域上递增,且f(1)=ln1+2=2,所以由f(x2-4)<2得,f(x2-4)<f(1),所以0<x2-4<1,解得-<x<-2或2<x<.6.(2022·长春调研)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)+f(-x)=0,且在(-∞,05\n)上递增,如果x1+x2<0且x1x2<0,则f(x1)+f(x2)的值( )A.可能为0B.恒大于0C.恒小于0D.可正可负解析:选C.由x1x2<0不妨设x1<0,x2>0.因为x1+x2<0,所以x1<-x2<0.由f(x)+f(-x)=0知f(x)为奇函数.又由f(x)在(-∞,0)上递增得,f(x1)<f(-x2)=-f(x2),所以f(x1)+f(x2)<0.故选C.7.函数y=x-|1-x|的增区间为________.解析:y=x-|1-x|=作出该函数的图像如图所示.由图像可知,该函数的递增区间是(-∞,1].答案:(-∞,1]8.已知a,b为正实数,函数f(x)=ax3+bx+2x在[0,1]上的最大值为4,则f(x)在[-1,0]上的最小值为________.解析:因为a>0,b>0,所以ax3,bx都是R上的增函数,又2x在R上递增,所以f(x)在R上递增,故f(x)在[0,1]和[-1,0]上均递增,由题意f(1)=a+b+2=4,即a+b=2,所以f(x)在[-1,0]上的最小值为f(-1)=-(a+b)+2-1=-2+=-.答案:-9.已知函数f(x)在(0,+∞)上为减函数,则A=f(a2-a+1),B=f的大小关系为__________.解析:因为a2-a+1=+≥,又f(x)在(0,+∞)上为减函数,所以f(a2-a+1)≤f,即A≤B.答案:A≤B10.(2022·蚌埠模拟)已知函数f(x)=若f(3-a2)<f(2a),则实数a的取值范围是__________.解析:根据所给的分段函数,画函数图像如图.5\n可知函数f(x)在整个定义域上是递减的,由f(3-a2)<f(2a)可知,3-a2>2a,解得-3<a<1.答案:-3<a<111.已知函数f(x)=-,x∈[0,2],求函数的最大值和最小值.解:设x1,x2是区间[0,2]上的任意两个实数,且x1<x2,则f(x1)-f(x2)=--=-.由0≤x1<x2≤2,得x2-x1>0,(x1+1)(x2+1)>0,所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),故f(x)在区间[0,2]上是增函数.因此,函数f(x)=-在区间[0,2]的左端点处取得最小值,右端点处取得最大值,即最小值是f(0)=-2,最大值是f(2)=-.12.已知f(x)=(x≠a).(1)若a=-2,试证明f(x)在(-∞,-2)内递增;(2)若a>0且f(x)在(1,+∞)内递减,求a的取值范围.解:(1)证明:任设x1<x2<-2,则f(x1)-f(x2)=-=.因为(x1+2)(x2+2)>0,x1-x2<0,所以f(x1)<f(x2),所以f(x)在(-∞,-2)内递增.(2)任设1<x1<x2,则f(x1)-f(x2)=-=.因为a>0,x2-x1>0,所以要使f(x1)-f(x2)>0,只需(x1-a)(x2-a)>0恒成立,所以a≤1.综上所述知0<a≤1.1.(2022·潍坊模拟)已知f(x)=若f(0)是f(x)的最小值,则t的取值范围为( )A.[-1,2] B.[-1,0]C.[1,2]D.[0,2]解析:选D.法一:(排除法)当t=0时,结论成立,排除C;当t=-1时,f(0)不是最小值,排除A、B,选D.法二:(直接法)由于当x>0时,f(x)=x++t在x=1时取得最小值为2+t,由题意知,5\n当x≤0时,f(x)=(x-t)2,若t≥0,此时最小值为f(0)=t2,故t2≤t+2,解得-1≤t≤2,此时0≤t≤2;若t<0,则f(t)<f(0),条件不成立,故选D.2.(2022·濮阳模拟)函数f(x)的定义域为A,若x1,x2∈A且f(x1)=f(x2)时总有x1=x2,则称f(x)为单函数.例如,函数f(x)=2x+1(x∈R)是单函数.给出下列命题:①函数f(x)=x2(x∈R)是单函数;②指数函数f(x)=2x(x∈R)是单函数;③若f(x)为单函数,x1,x2∈A且x1≠x2,则f(x1)≠f(x2);④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数.其中真命题是________(写出所有真命题的序号).解析:对于①,若f(x)=x2,则f(x1)=f(x2)时x1=x2,或x1=-x2,故①错误;对于②,f(x)=2x是R上的增函数,当f(x1)=f(x2)时总有x1=x2,故②正确;对于③,由单函数的定义,可知其逆否命题:f(x)为单函数,x1,x2∈A,若x1≠x2,则f(x1)≠f(x2)为真命题,故③正确;对于④,假若f(x1)=f(x2)时,有x1≠x2,这与单调函数矛盾,故④正确.答案:②③④3.已知函数f(x)=a-.(1)求证:函数y=f(x)在(0,+∞)上是增函数;(2)若f(x)<2x在(1,+∞)上恒成立,求实数a的取值范围.解:(1)证明:当x∈(0,+∞)时,f(x)=a-,设0<x1<x2,则x1x2>0,x2-x1>0,f(x2)-f(x1)=-=-=>0,所以f(x)在(0,+∞)上是增函数.(2)由题意a-<2x在(1,+∞)上恒成立,设h(x)=2x+,则a<h(x)在(1,+∞)上恒成立.任取x1,x2∈(1,+∞)且x1<x2,h(x1)-h(x2)=(x1-x2).因为1<x1<x2,所以x1-x2<0,x1x2>1,所以2->0,所以h(x1)<h(x2),所以h(x)在(1,+∞)上递增.故a≤h(1),即a≤3,所以实数a的取值范围是(-∞,3].4.已知二次函数f(x)=ax2+bx+1(a>0),F(x)=若f(-1)=0,且对任意实数x均有f(x)≥0成立.(1)求F(x)的表达式;(2)当x∈[-2,2]时,g(x)=f(x)-kx是单调函数,求k的取值范围.解:(1)因为f(-1)=0,所以a-b+1=0,所以b=a+1,所以f(x)=ax2+(a+1)x+1.因为对任意实数x均有f(x)≥0恒成立,所以 5\n所以所以a=1,从而b=2,所以f(x)=x2+2x+1,所以F(x)=(2)g(x)=x2+2x+1-kx=x2+(2-k)x+1.因为g(x)在[-2,2]上是单调函数,所以≤-2或≥2,解得k≤-2或k≥6.故k的取值范围是(-∞,-2]∪[6,+∞).5
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高考 - 一轮复习
发布时间:2022-08-25 16:56:55
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