高考数学一轮复习第7章立体几何第7讲立体几何中的向量方法第1课时知能训练轻松闯关理北师大版

第7讲立体几何中的向量方法第1课时1.如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点．求证：PB∥平面EFG.证明：因为平面PAD⊥平面ABCD，且ABCD为正方形，所以AB，AP，AD两两垂直．以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，E(0，0，1)，F(0，1，1)，G(1，2，0)．　法一：＝(0，1，0)，＝(1，2，－1)，　设平面EFG的法向量为n＝(x，y，z)，则即令z＝1，则n＝(1，0，1)为平面EFG的一个法向量，因为＝(2，0，－2)，所以·n＝0，所以n⊥，因为PB平面EFG，所以PB∥平面EFG.法二：＝(2，0，－2)，＝(0，－1，0)，＝(1，1，－1)．设＝s＋t，即(2，0，－2)＝s(0，－1，0)＋t(1，1，－1)，所以解得s＝t＝2.所以＝2＋2，又因为与不共线，所以，与共面．因为PB平面EFG，所以PB∥平面EFG.2.如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，且AB＝AA1，D，6\nE，F分别为B1A，C1C，BC的中点．求证：(1)DE∥平面ABC；(2)B1F⊥平面AEF.证明：如图，建立空间直角坐标系Axyz，令AB＝AA1＝4，则A(0，0，0)，E(0，4，2)，F(2，2，0)，B(4，0，0)，B1(4，0，4)．(1)取AB中点N，则N(2，0，0)，C(0，4，0)，D(2，0，2)，所以＝(－2，4，0)，＝(－2，4，0)，所以＝，所以DE∥NC.又NC平面ABC，DE平面ABC，故DE∥平面ABC.(2)因为＝(－2，2，－4)，＝(2，－2，－2)，＝(2，2，0)，所以·＝(－2)×2＋2×(－2)＋(－4)×(－2)＝0，所以⊥，即B1F⊥EF.因为·＝(－2)×2＋2×2＋(－4)×0＝0，所以⊥，即B1F⊥AF，又AF∩FE＝F，所以B1F⊥平面AEF.3.如图所示，四棱锥SABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱SD上的点．(1)求证：AC⊥SD.(2)若SD⊥平面PAC，则侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC.若存在，求SE∶EC的值；若不存在，试说明理由．解：(1)证明：连接BD，设AC交BD于点O，则AC⊥BD.由题意知SO⊥平面ABCD.以O为坐标原点，，，分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图．设底面边长为a，则高SO＝a，于是S，6\nD，B，C，＝，＝，则·＝0.故OC⊥SD.从而AC⊥SD.(2)棱SC上存在一点E，使BE∥平面PAC.理由如下：由已知条件知是平面PAC的一个法向量，且＝，＝，＝.设＝t，则＝＋＝＋t＝，而·＝0⇔t＝.即当SE∶EC＝2∶1时，⊥.而BE不在平面PAC内，故BE∥平面PAC.4.如图，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD＝DE＝2AB，F为CD的中点．(1)求证：AF∥平面BCE；(2)求证：平面BCE⊥平面CDE.证明：(1)设AD＝DE＝2AB＝2a，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0，0，0)，C(2a，0，0)，B(0，0，a)，D(a，a，0)，E(a，a，2a)．因为F为CD的中点，所以F.＝，＝(a，a，a)，　＝(2a，0，－a)．6\n因为＝(＋)，AF平面BCE，所以AF∥平面BCE.(2)因为＝，＝(－a，a，0)，＝(0，0，－2a)，所以·＝0，·＝0，所以⊥，⊥.又CD∩DE＝D，所以⊥平面CDE，即AF⊥平面CDE.又AF∥平面BCE，所以平面BCE⊥平面CDE.1.如图所示，在四棱锥PABCD中，PC⊥平面ABCD，PC＝2，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＝4，CD＝1，点M在PB上，PB＝4PM，PB与平面ABCD成30°角．(1)求证：CM∥平面PAD；(2)求证：平面PAB⊥平面PAD.证明：(1)以C为坐标原点，分别以CB所在直线为x轴，CD所在直线为y轴，CP所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz，因为PC⊥平面ABCD，所以∠PBC为PB与平面ABCD所成的角，所以∠PBC＝30°.因为PC＝2，所以BC＝2，PB＝4.所以D(0，1，0)，B(2，0，0)，A(2，4，0)，P(0，0，2)，　M，所以＝(0，－1，2)，＝(2，3，0)，＝，令n＝(x，y，z)为平面PAD的一个法向量，则即所以令y＝2，得n＝(－，2，1)．因为n·＝－×＋2×0＋1×＝0，所以n⊥，又CM平面PAD，所以CM∥平面PAD.6\n(2)取AP的中点E，则E(，2，1)，＝(－，2，1)．因为PB＝AB，所以BE⊥PA，又因为·＝(－，2，1)·(2，3，0)＝0，所以⊥，所以BE⊥DA，又PA∩DA＝A，所以BE⊥平面PAD，又因为BE平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD.2．如图，正△ABC的边长为4，CD是AB边上的高，E、F分别是AC和BC边的中点，现将△ABC沿CD翻折成直二面角ADCB.(1)试判断直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由；(2)在线段BC上是否存在一点P，使AP⊥DE？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由．解：(1)AB∥平面DEF，理由如下：在△ABC中，由E、F分别是AC、BC的中点，得EF∥AB.又因为AB平面DEF，EF平面DEF，所以AB∥平面DEF.(2)以点D为坐标原点，直线DB、DC、DA分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系(如图所示)，则A(0，0，2)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，E(0，，1)，故＝(0，，1)．假设存在点P(x，y，0)满足条件，则＝(x，y，－2)，·＝y－2＝0，所以y＝.又＝(x－2，y，0)，＝(－x，2－y，0)，∥，所以(x－2)(2－y)＝－xy，所以x＋y＝2.6\n把y＝代入上式得x＝，所以＝，所以在线段BC上存在点P使AP⊥DE，此时＝.6