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高考数学一轮复习选修部分坐标系与参数方程第2讲参数方程知能训练轻松闯关理北师大版选修4_4
高考数学一轮复习选修部分坐标系与参数方程第2讲参数方程知能训练轻松闯关理北师大版选修4_4
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第2讲参数方程1.(2022·高考湖北卷改编)在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线l的极坐标方程为ρ(sinθ-3cosθ)=0,曲线C的参数方程为(t为参数),l与C相交于A,B两点,求|AB|.解:由ρ(sinθ-3cosθ)=0,得ρsinθ=3ρcosθ,则y=3x.由得y2-x2=4.由可得或不妨设A,则B,故|AB|==2.2.(2022·唐山模拟)已知椭圆C:+=1,直线l:(t为参数).(1)写出椭圆C的参数方程及直线l的普通方程;(2)设A(1,0),若椭圆C上的点P满足到点A的距离与其到直线l的距离相等,求点P的坐标.解:(1)椭圆C:(θ为参数),直线l:x-y+9=0.(2)设P(2cosθ,sinθ),则|AP|==2-cosθ,点P到直线l的距离d==.由|AP|=d得3sinθ-4cosθ=5,又sin2θ+cos2θ=1,得sinθ=,cosθ=-.故P.3.(2022·沈阳质量监测)在平面直角坐标系xOy中,圆C的参数方程为(θ为参数),直线l经过点P(1,2),倾斜角α=.(1)写出圆C的标准方程和直线l的参数方程;(2)设直线l与圆C相交于A、B两点,求|PA|·|PB|的值.解:(1)圆C的标准方程为x2+y2=16.4\n直线l的参数方程为(t为参数),即(t为参数).(2)把直线l的参数方程代入x2+y2=16,得+=16,t2+(+2)t-11=0,所以t1t2=-11,即|PA|·|PB|=11.4.(2022·高考陕西卷)在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数).以原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,⊙C的极坐标方程为ρ=2sinθ.(1)写出⊙C的直角坐标方程;(2)P为直线l上一动点,当P到圆心C的距离最小时,求P的直角坐标.解:(1)由ρ=2sinθ,得ρ2=2ρsinθ,从而有x2+y2=2y,所以x2+(y-)2=3.(2)设P,又C(0,),则|PC|==,故当t=0时,|PC|取得最小值,此时,点P的直角坐标为(3,0).1.(2022·唐山统考)极坐标系的极点为直角坐标系xOy的原点,极轴为x轴的正半轴,两种坐标系中的长度单位相同.已知曲线C的极坐标方程为ρ=2(cosθ+sinθ),斜率为的直线l交y轴于点E(0,1).(1)求C的直角坐标方程,l的参数方程;(2)直线l与曲线C交于A、B两点,求|EA|+|EB|.解:(1)由ρ=2(cosθ+sinθ),得ρ2=2(ρcosθ+ρsinθ),即x2+y2=2x+2y,即(x-1)2+(y-1)2=2.l的参数方程为(t为参数,t∈R).(2)将代入(x-1)2+(y-1)2=2得t2-t-1=0.解得t1=,t2=,4\n则|EA|+|EB|=|t1|+|t2|=|t1-t2|=.2.(2022·长春调研)已知直线l的参数方程为(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,圆C的极坐标方程为ρ=4sin.(1)求圆C的直角坐标方程;(2)点P(x,y)是直线l与圆面ρ≤4sin的公共点,求x+y的取值范围.解:(1)因为圆C的极坐标方程为ρ=4sin,所以ρ2=4ρsin=4ρ.又ρ2=x2+y2,x=ρcosθ,y=ρsinθ,所以x2+y2=2y-2x,所以圆C的直角坐标方程为x2+y2+2x-2y=0.(2)设z=x+y,由圆C的方程x2+y2+2x-2y=0,得(x+1)2+(y-)2=4,所以圆C的圆心是(-1,),半径是2.将代入z=x+y,得z=-t,又直线l过C(-1,),圆C的半径是2,所以-2≤t≤2, 所以-2≤-t≤2,即x+y的取值范围是[-2,2]. 3.(2022·太原联考)已知平面直角坐标系xOy,以O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,点P的极坐标为,曲线C的极坐标方程为ρ2+2ρsinθ=1.(1)写出点P的直角坐标及曲线C的直角坐标方程;(2)若Q为曲线C上的动点,求PQ中点M到直线l:(t为参数)距离的最小值.解:(1)点P的直角坐标为(3,).由ρ2+2ρsinθ=1,得x2+y2+2y=1,即x2+(y+)2=4,所以曲线C的直角坐标方程为x2+(y+)2=4.(2)曲线C的参数方程为(θ为参数),直线l的普通方程为x-2y-7=0.设Q(2cosθ,-+2sinθ),则M,那么点M到直线l的距离为d=4\n==≥=-1,所以点M到直线l的最小距离为-1.4.在平面直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(t为参数),曲线C2的参数方程为(a>b>0,φ为参数),在以O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线l:θ=α与曲线C1、C2各有一个交点.当α=0时,这两个交点间的距离为2,当α=时,这两个交点重合.(1)分别说明C1、C2是什么曲线,并求出a与b的值;(2)设当α=时,l与C1、C2的交点分别为A1、B1,当α=-时,l与C1、C2的交点分别为A2、B2,求四边形A1A2B2B1的面积.解:(1)由题意可知,曲线C1为圆,曲线C2为椭圆,当α=0时,射线l与曲线C1、C2交点的直角坐标分别是(1,0)、(a,0),因为这两个交点间的距离为2,所以a=3,当α=时,射线l与曲线C1、C2交点的直角坐标分别是(0,1)、(0,b),因为这两个交点重合,所以b=1.(2)由(1)可得,曲线C1、C2的普通方程分别为x2+y2=1,+y2=1,当α=时,射线l与曲线C1的交点A1,与曲线C2的交点B1;当α=-时,射线l与曲线C1、C2的两个交点A2、B2分别与A1、B1关于x轴对称,则四边形A1A2B2B1为梯形,所以四边形A1A2B2B1的面积为=.4
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高考 - 一轮复习
发布时间:2022-08-25 16:57:34
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文章作者:U-336598
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