高考数学一轮复习选修部分坐标系与参数方程第2讲参数方程知能训练轻松闯关文北师大版选修4_4

第2讲参数方程1．(2022·高考湖北卷改编)在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l的极坐标方程为ρ(sinθ－3cosθ)＝0，曲线C的参数方程为(t为参数)，l与C相交于A，B两点，求|AB|.解：由ρ(sinθ－3cosθ)＝0，得ρsinθ＝3ρcosθ，则y＝3x.由得y2－x2＝4.由可得或不妨设A，则B，故|AB|＝＝2.2．(2022·唐山模拟)已知椭圆C：＋＝1，直线l：(t为参数)．(1)写出椭圆C的参数方程及直线l的普通方程；(2)设A(1，0)，若椭圆C上的点P满足到点A的距离与其到直线l的距离相等，求点P的坐标．解：(1)椭圆C：(θ为参数)，直线l：x－y＋9＝0.(2)设P(2cosθ，sinθ)，则|AP|＝＝2－cosθ，点P到直线l的距离d＝＝.由|AP|＝d得3sinθ－4cosθ＝5，又sin2θ＋cos2θ＝1，得sinθ＝，cosθ＝－.故P.3．(2022·沈阳质量监测)在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为(θ为参数)，直线l经过点P(1，2)，倾斜角α＝.4\n(1)写出圆C的标准方程和直线l的参数方程；(2)设直线l与圆C相交于A、B两点，求|PA|·|PB|的值．解：(1)圆C的标准方程为x2＋y2＝16.直线l的参数方程为(t为参数)，即(t为参数)．(2)把直线l的参数方程代入x2＋y2＝16，得＋＝16，t2＋(＋2)t－11＝0，所以t1t2＝－11，即|PA|·|PB|＝11.4．(2022·高考陕西卷)在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)．以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C的极坐标方程为ρ＝2sinθ.(1)写出⊙C的直角坐标方程；(2)P为直线l上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求P的直角坐标．解：(1)由ρ＝2sinθ，得ρ2＝2ρsinθ，从而有x2＋y2＝2y，所以x2＋(y－)2＝3.(2)设P，又C(0，)，则|PC|＝＝，故当t＝0时，|PC|取得最小值，此时，点P的直角坐标为(3，0)．1．(2022·唐山统考)极坐标系的极点为直角坐标系xOy的原点，极轴为x轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同．已知曲线C的极坐标方程为ρ＝2(cosθ＋sinθ)，斜率为的直线l交y轴于点E(0，1)．(1)求C的直角坐标方程，l的参数方程；(2)直线l与曲线C交于A、B两点，求|EA|＋|EB|.解：(1)由ρ＝2(cosθ＋sinθ)，得ρ2＝2(ρcosθ＋ρsinθ)，即x2＋y2＝2x＋2y，即(x－1)2＋(y－1)2＝2.l的参数方程为(t为参数，t∈R)．(2)将代入(x－1)2＋(y－1)2＝2得t2－t－1＝0.解得t1＝，t2＝，则|EA|＋|EB|＝|t1|＋|t2|＝|t1－t2|＝.4\n2．(2022·长春调研)已知直线l的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝4sin.(1)求圆C的直角坐标方程；(2)点P(x，y)是直线l与圆面ρ≤4sin的公共点，求x＋y的取值范围．解：(1)因为圆C的极坐标方程为ρ＝4sin，所以ρ2＝4ρsin＝4ρ.又ρ2＝x2＋y2，x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，所以x2＋y2＝2y－2x，所以圆C的直角坐标方程为x2＋y2＋2x－2y＝0.(2)设z＝x＋y，由圆C的方程x2＋y2＋2x－2y＝0，得(x＋1)2＋(y－)2＝4，所以圆C的圆心是(－1，)，半径是2.将代入z＝x＋y，得z＝－t，又直线l过C(－1，)，圆C的半径是2，所以－2≤t≤2，　所以－2≤－t≤2，即x＋y的取值范围是[－2，2]．　3．(2022·太原联考)已知平面直角坐标系xOy，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，点P的极坐标为，曲线C的极坐标方程为ρ2＋2ρsinθ＝1.(1)写出点P的直角坐标及曲线C的直角坐标方程；(2)若Q为曲线C上的动点，求PQ中点M到直线l：(t为参数)距离的最小值．解：(1)点P的直角坐标为(3，)．由ρ2＋2ρsinθ＝1，得x2＋y2＋2y＝1，即x2＋(y＋)2＝4，所以曲线C的直角坐标方程为x2＋(y＋)2＝4.(2)曲线C的参数方程为(θ为参数)，直线l的普通方程为x－2y－7＝0.设Q(2cosθ，－＋2sinθ)，则M，那么点M到直线l的距离为d＝＝4\n＝≥＝－1，所以点M到直线l的最小距离为－1.4．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数)，曲线C2的参数方程为(a>b>0，φ为参数)，在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l：θ＝α与曲线C1、C2各有一个交点．当α＝0时，这两个交点间的距离为2，当α＝时，这两个交点重合．(1)分别说明C1、C2是什么曲线，并求出a与b的值；(2)设当α＝时，l与C1、C2的交点分别为A1、B1，当α＝－时，l与C1、C2的交点分别为A2、B2，求四边形A1A2B2B1的面积．解：(1)由题意可知，曲线C1为圆，曲线C2为椭圆，当α＝0时，射线l与曲线C1、C2交点的直角坐标分别是(1，0)、(a，0)，因为这两个交点间的距离为2，所以a＝3，当α＝时，射线l与曲线C1、C2交点的直角坐标分别是(0，1)、(0，b)，因为这两个交点重合，所以b＝1.(2)由(1)可得，曲线C1、C2的普通方程分别为x2＋y2＝1，＋y2＝1，当α＝时，射线l与曲线C1的交点A1，与曲线C2的交点B1；当α＝－时，射线l与曲线C1、C2的两个交点A2、B2分别与A1、B1关于x轴对称，则四边形A1A2B2B1为梯形，所以四边形A1A2B2B1的面积为＝.4