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高考数学难点突破训练数列与数学归纳法doc高中数学

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2022届高考数学难点突破训练——数列与数学归纳法1.如图,曲线上的点与x轴的正半轴上的点及原点构成一系列正三角形△OP1Q1,△Q1P2Q2,…△Qn-1PnQn…设正三角形的边长为,n∈N﹡(记为),.(1)求的值;(2)求数列{}的通项公式。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m2.设都是各项为正数的数列,对任意的正整数,都有成等差数列,成等比数列.(1)试问是否成等差数列?为什么?(2)如果,求数列的前项和.3.已知等差数列{}中,=8,=66.(Ⅰ)求数列{}的通项公式;(Ⅱ)设,,求证:.www.ks5u.com4.已知数列{}中,(n≥2,),数列,满足()  (1)求证数列{}是等差数列;  (2)求数列{}中的最大项与最小项,并说明理由;  (3)记…,求.22/22\n5.已知数列{an}中,a1>0,且an+1=,(Ⅰ)试求a1的值,使得数列{an}是一个常数数列;(Ⅱ)试求a1的取值范围,使得an+1>an对任何自然数n都成立;(Ⅲ)假设a1=2,设bn=|an+1-an|(n=1,2,3,…),并以Sn表示数列{bn}的前n项的和,求证:Sn<.6.(1)已知:,求证;(2)已知:,求证:。7.已知数列各项均不为0,其前n项和为,且对任意,都有(p为大于1的常数),并记.(1)求;(2)比较与的大小;(3)求证:().8.已知,各项为正的等差数列满足,又数列的前项和是。(1)求数列的通项公式;(2)求证数列是等比数列;(3)设,试问数列有没有最大项?如果有,求出这个最大项,如果没有,说明理由。9.设数列前项和为,且(3,其中m为常数,m(1)求证:是等比数列;22/22\n假设数列的公比q=f(m),数列满足求证:为等差数列,求.10.已知数列满足:且,.(Ⅰ)求,,,的值及数列的通项公式;(Ⅱ)设,求数列的前项和;11.将等差数列所有项依次排列,并作如下分组:…第一组1项,第二组2项,第三组4项,…,第n组项。记为第n组中各项的和。已知。(1)求数列的通项;(2)求的通项公式;(3)设的前n项的和为,求。12.设各项为正数的等比数列的首项,前n项和为,且。(Ⅰ)求的通项;(Ⅱ)求的前n项和。13.设数列是首项为0的递增数列,(),满足:对于任意的总有两个不同的根。(1)试写出,并求出;(2)求,并求出的通项公式;(3)设,求。22/22\n14.已知数列,其中是首项为1,公差为1的等差数列;是公差为的等差数列;是公差为的等差数列().(Ⅰ)假设,求;(Ⅱ)试写出关于的关系式,并求的取值范围;(Ⅲ)续写已知数列,使得是公差为的等差数列,……,依次类推,把已知数列推广为无穷数列.提出同(2)类似的问题((2)应当作为特例),并进展研究,你能得到什么样的结论?(所得的结论不必证明)15.一种计算装置,有一数据入口A和一个运算出口B,按照某种运算程序:①当从A口输入自然数1时,从B口得到,记为;②当从A口输入自然数时,在B口得到的结果是前一个结果的倍.(1)当从A口分别输入自然数2,3,4时,从B口分别得到什么数?试猜测的关系式,并证明你的结论;(2)记为数列的前项的和。当从B口得到16112195的倒数时,求此时对应的的值.16.已知数列,其前n项和Sn满足是大于0的常数),且a1=1,a3=4.(1)求的值;(2)求数列的通项公式an;(3)设数列的前n项和为Tn,试比较与Sn的大小.17.定义:假设数列满足,那么称数列为“平方递推数列”.已知数列中,,且,其中为正整数.(1)设,证明:数列是“平方递推数列”,且数列为等比数列;(2)设(1)中“平方递推数列”的前项之积为,即,求数列的通项及关于的表达式;(3)记,求数列的前项之和,并求使的的最小值.18.在不等边△ABC中,设A、B、C所对的边分别为a,b,c,已知,,依次成等差数列,给定数列,,.  (1)试根据以下选项作出判断,并在括号内填上你认为是正确选项的代号:22/22\n  数列,,( ).  A.是等比数列而不是等差数列  B.是等差数列而不是等比数列  C.既是等比数列也是等差数列  D.既非等比数列也非等差数列  (2)证明你的判断.19.已知是等差数列,其前n项和为Sn,已知a2=8,S10=185,(1)求数列的通项公式;(2)设,证明是等比数列,并求其前n项和Tn.20.已知数列{an}中,,(n=2,3,4,…)(I)求的值;(II)证明当n=2,3,4,…时,21.已知等差数列{}中,是其前n项的和且(I)求数列{}的通项公式。(II)假设从数列{}中依次取出第2项,第4项,第8项,…,第项,按原来的顺序组成一个新数列{},求数列{}的前n项和。22.已知正项等比数列{}满足条件:①;②,求{}的通项公式.23.已知函数f(x)=(ax+b)图象过点A(2,1)和B(5,2).(1)求函数f(x)的解析式;  (2)记,,是否存在正数k,使得…对一切均成立,假设存在,求出k的最大值,假设不存在,请说明理由.24.已知f(x)=log2(x+m),m∈R(1)如果f(1),f(2),f(4)成等差数列,求m的值;22/22\n(2)如果a,b,c是两两不等的正数,且a,b,c依次成等比数列,试判断f(a)+f(c)与2f(b)的大小关系,并证明你的结论。25.已知等差数列{an}的公差d>0.Sn是它的前n项和,又与的等比中项是,与的等差中项是6,求an。26.和分别是等比数列和等差数列,它们的前四项和分别为120和60,而第二项与第四项的和分别是90和34,令集合,,,…,,,,,…,.求证:.27.已知曲线C:,:()。从上的点作轴的垂线,交于点,再从点作轴的垂线,交于点,设。(I)求的坐标;(II)求数列的通项公式;(III)记数列的前项和为,求证:答案解析1.解:①由条件可得,代入得②∴;代入曲线并整理得,∴于是当时,22/22\n即又当;,故∴所以数列{}是首项为、公差为的等差数列,。2.由题意,得,(1)(2)(1)因为,所以由式(2)得,从而当时,,代入式(1)得,即,故是等差数列.(2)由及式(1),式(2),易得因此的公差,从而,得(3)又也适合式(3),得,所以,从而3.解:(Ⅰ)(Ⅱ),22/22\n,=而是递增数列,.4.(1),  而 ,  ∴ .  ∴ {}是首项为,公差为1的等差数列.  (2)依题意有,而,  ∴ .  对于函数,在x>3.5时,y>0,,在(3.5,)上为减函数.  故当n=4时,取最大值3  而函数在x<3.5时,y<0,,在(,3.5)上也为减函数.  故当n=3时,取最小值,=-1.  (3),,  ∴ .5.(Ⅰ)欲使数列{an}是一个常数数列,那么an+1==an22/22\n又依a1>0,可得an>0并解出:an=,即a1=an=(Ⅱ)研究an+1-an=-=(n≥2)注意到>0因此,可以得出:an+1-an,an-an-1,an-1-an-2,…,a2-a1有相同的符号7’要使an+1>an对任意自然数都成立,只须a2-a1>0即可.由>0,解得:0<a1<(Ⅲ)用与(Ⅱ)中相同的方法,可得当a1>时,an+1<an对任何自然数n都成立.因此当a1=2时,an+1-an<0∴Sn=b1+b2+…bn=|a2-a1|+|a3-a2|+…+|an+1-an|=a1-a2+a2-a3+…+an-an+1=a1-an+1=2-an+1又:an+2=<an+1,可解得an+1>,故Sn<2-=6.(1)令,由x>0,∴t>1,原不等式等价于令f(t)=t-1-lnt,∵当时,有,∴函数f(t)在递增∴f(t)>f(1)即t-1<lnt另令,那么有∴g(t)在上递增,∴g(t)>g(1)=0∴综上得(2)由(1)令x=1,2,……(n-1)并相加得22/22\n即得7.(1)易求得(2)作差比较易得:(3)当时,不等式组显然成立.当由(2)知再证而同理:,,……,以上各式相加得:22/22\n即.8.(1),又或假设,那么,与矛盾;假设,那么,显然,(2),当时,,欧时,,数列是以9为首项,为公比的等比数列。(3),设是数列中的最大项,那么由可得数列有最大项,最大项是。9.(1)由22/22\n∴是等比数列。(2)10.(Ⅰ)经计算,,,.当为奇数时,,即数列的奇数项成等差数列,;当为偶数,,即数列的偶数项成等比数列,.因此,数列的通项公式为.(Ⅱ),……(1)…(2)(1)、(2)两式相减,得22/22\n..11.设的公差为d,首项为,那么(1)(2)解得,那么。(2)当时,在前n-1组中共有项数为:。故第n组中的第一项为哪一项数列中的第项,且第n组中共有项。所以当n=1时,也适合上式,故。(3)。即数列前8组元素之和,且这8组总共有项数。那么12.(Ⅰ)由得即可得因为,所以解得,因而(Ⅱ)因为是首项、公比的等比数列,故那么数列的前n项和22/22\n前两式相减,得即13.(1)∵,当时,,,又∵对任意的,总有两个不同的根,∴∴,由(1),∵对任意的,总有两个不同的根,∴∵对任意的,总有两个不同的根,∴由此可得,(1)当,∴当,∴14.(1).(2),,当时,.22/22\n(3)所给数列可推广为无穷数列,其中是首项为1,公差为1的等差数列,当时,数列是公差为的等差数列.研究的问题可以是:试写出关于的关系式,并求的取值范围.15.(1)由已知得当时,,1分同理可得3分猜测下面用数学归纳法证明成立①当时,由上面的计算结果知成立6分②假设时,成立,即,那么当时,即当时,也成立综合①②所述,对,成立。(2)由(1)可得16.(I)解:由得22/22\n,(II)由,∴数列{}是以S1+1=2为首项,以2为公比的等比数列,当n=1时a1=1满足(III)①,②①-②得,那么.当n=1时,即当n=1或2时,当n>2时,17.(1)由条件an+1=2an2+2an,得2an+1+1=4an2+4an+1=(2an+1)2.∴{bn}是“平方递推数列”.∴lgbn+1=2lgbn.∵lg(2a1+1)=lg5≠0,∴=2.∴{lg(2an+1)}为等比数列.(2)∵lg(2a1+1)=lg5,∴lg(2an+1)=2n-1×lg5,∴2an+1=5,∴an=(5-1).22/22\n∵lgTn=lg(2a1+1)+lg(2a2+1)+…+lg(2an+1)==(2n-1)lg5.∴Tn=5.(3)cn====2-,∴Sn=2n-[1+++…+]=2n-=2n-2[1-]=2n-2+2.由Sn>2022得2n-2+2>2022,n+>1005,当n≤1004时,n+<1005,当n≥1005时,n+>1005,∴n的最小值为1005.18.(1)B (2)因为、、成等差数列,所以,所以.又,,.显然,即、、成等差数列.假设其为等比数列,有,所以,,与题设矛盾19.(1)解得(2)……7分是公比为8的等比数列……10分20.(I),4分(II)当k=2,3,4,5,…时,∴,∴∴,∴22/22\n∵,∴∴∴,∴∴21.(I)设数列的公差为d,那么,又由(1)(2)得数列的通项公式(II)数列的前n项和22.设等比数列的公比为q,由已知条件,  得  ①÷②得:,所以 .①×②,得,  即 .或.(舍去)  由  得:   ∴ 23.(1)由已知,得解得:.  ∴   (2).  设存在正数k,使得…对一切均成立,22/22\n  那么….记…,那么….  ∵ .  ∴ ,∴ F(n)是随n的增大而增大,  ∵ ,∴ 当时,.  ∴ ,即k的最大值为.24.(1)∵f(1),f(2),f(4)成等差数列,∴f(1)+f(4)=2f(2).即log2(1+m)+log2(4+m)=log2(2+m)2∴(m+1)(m+4)=(m+2)2即m2+5m+4=m2+4m+4∴m=0(2)∵f(a)+f(c)=log2(a+m)+log2(c+m)=log2[(a+m)(c+m)],2f(b)=2log2(b+m)=log2(b+m)2,∵a,b,c成等比数列,∴∵(a+m)(c+m)-(b+m)2=ac+am+cm+m2-b2-2bm-m2=ac+m(a+c)-b2-2bm=m(a+c)-2m∵a>0,c>0.∴a+c≥2①m>0时,(a+m)(c+m)-(b+m)2>0,∴log2[(a+m)(c+m)>log2(b+m)2∴f(a)+f(c)>2f(b);②m<0时,(a+m)(c+m)-(b+m)2<0,∴log2[(a+m)(c+m)]<log2(b+m)2∴f(a)+f(c)<2f(b);22/22\n③m=0时,(a+m)(c+m)-(b+m)2=0∴log2[(a+m)(c+m)]=log2(b+m)2∴f(a)+f(c)=2f(b);25.∵∴即∴∴即解之,得把d=2代入a1+2d=6,得a1=2∴26.等比数列中,当时,化简得,所以,,,等差数列中,解得所以.,,,…,,22/22\nB={9,13,17,…,4n+5}.设A中任意元素为,那么需证是B中的一个元素,设其为,那么需证,即,那么需证是4的倍数.因为,所以以上多项式各项都是4的倍数,能被4整除.所以集合A中的任意元素都是B中的元素,又,,所以27.(1)由题意得知,,(2),,点的坐标为在曲线上,,又在曲线上,(III)……+……7分==,22/22\nw.w.w.k.s.5.u.c.o.m高考资源网www.ks5u.com22/22

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发布时间:2022-08-25 22:51:23 页数:22
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文章作者:U-336598

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