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2023高考数学一轮复习第4章三角函数解三角形第6节正弦定理和余弦定理课时跟踪检测理含解析202302331122

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第四章 三角函数、解三角形第六节 正弦定理和余弦定理A级·基础过关|固根基|1.在△ABC中,若=,则B的大小为(  )A.30°B.45°C.60°D.90°解析:选B 由正弦定理知,=,∴tanB=1.∵0°<B<180°,∴B=45°.故选B.2.在△ABC中,2acosA+bcosC+ccosB=0,则角A的大小为(  )A.B.C.D.解析:选C 由余弦定理得,2acosA+b·+c·=0,即2acosA+a=0,∴cosA=-,又A∈(0,π),∴A=.故选C.3.(2019届宝鸡一模)△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知b=,c=4,cosB=,则△ABC的面积等于(  )A.3B.C.9D.解析:选B ∵b=,c=4,cosB=,∴sinB==,∴由余弦定理b2=a2+c2-2accosB,可得7=a2+16-2×a×4×,整理可得a2-6a+9=0,解得a=3,∴S△ABC=acsinB=×3×4×=.故选B.4.(2019届湘东六校联考)若△ABC的三个内角满足6sinA=4sinB=3sinC,则△ABC是(  )\nA.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.以上都有可能解析:选C 由题意,利用正弦定理可得6a=4b=3c,则可设a=2k,b=3k,c=4k,k>0,则cosC=<0,所以C是钝角,所以△ABC是钝角三角形,故选C.5.(2019届昆明市高三诊断测试)在平面四边形ABCD中,∠D=90°,∠BAD=120°,AD=1,AC=2,AB=3,则BC=(  )A.B.C.D.2解析:选C 如图,在△ACD中,∠D=90°,AD=1,AC=2,所以∠CAD=60°.又∠BAD=120°,所以∠BAC=∠BAD-∠CAD=60°.在△ABC中,由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos∠BAC=7,所以BC=.故选C.6.(2020届湖北部分重点中学联考)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,+=,若b2+c2-a2=bc,则tanB的值为(  )A.-B.C.-3D.3解析:选C 因为+=,所以由正弦定理得+==1,即+=1.又b2+c2-a2=bc,所以由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,可得cosA=,则sinA==,则tanA==,解得tanB=-3,故选C.7.(2020届四川五校联考)在△ABC中,角A的平分线交BC于点D,BD=2CD=2,则△ABC面积的最大值为(  )A.3B.2C.3D.4解析:选C 如图,由BD=2CD=2,知BC=3,由角平分线定理,得==2,设AC=x,∠BAC=2α,α∈,则AB=2x\n,由余弦定理,得32=4x2+x2-2·2x·x·cos2α,即x2=.S△ABC=·2x·x·sin2α=x2·sin2α=====≤=3,当且仅当=9tanα,即tanα=时取等号,故△ABC面积的最大值为3.8.(2020届合肥调研)在△ABC中,A=2B,AB=,BC=4,CD平分∠ACB交AB于点D,则线段AD的长为________.解析:解法一:因为A=2B,BC=4,所以由正弦定理=,得==,所以cosB=且AC>2,由余弦定理AC2=BC2+AB2-2BC·ABcosB,得AC2=42+-2×4××,即9AC3-193AC+336=0,得(AC-3)(3AC-7)(3AC+16)=0,解得AC=或AC=3.当AC=时,△ABC为等腰三角形,且cosB=,2B=2∠ACB=A,由三角形内角和定理A+B+∠ACB=π,得B=,与cosB=矛盾,舍去;当AC=3时,由三角形的角平分线定理,得=,即=,解得AD=1.综上可得,AD=1.解法二:因为A=2B,BC=4,所以由正弦定理=,得==,所以cosB=,则cosA=cos2B=2cos2B-1=-1.在△ABC中,sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,由正弦定理可得ACcosA+BCcosB=AB,即AC·+4·=,解得AC=-(舍去)或AC=3,由三角形的角平分线定理,得=,即=,解得AD=1.答案:19.(2019年天津卷)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知b+c=2a,3csinB=4asinC.\n(1)求cosB的值;(2)求sin的值.解:(1)在△ABC中,由正弦定理=,得bsinC=csinB,又由3csinB=4asinC,得3bsinC=4asinC,即3b=4a.又因为b+c=2a,得到b=a,c=a.由余弦定理可得,cosB===-.(2)由(1)可得,sinB==,从而sin2B=2sinBcosB=-,cos2B=cos2B-sin2B=-,故sin=sin2Bcos+cos2Bsin=-×-×=-.10.(2020届石家庄摸底)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,bcosA+a=c,D是BC边上的点.(1)求角B;(2)若AC=7,AD=5,DC=3,求AB的长.解:(1)由bcosA+a=c及正弦定理,得sinBcosA+sinA=sinC,即sinBcosA+sinA=sin(A+B),所以sinBcosA+sinA=sinAcosB+cosAsinB,即sinA=sinAcosB.∵sinA≠0,∴cosB=,∴B=.(2)在△ADC中,AC=7,AD=5,DC=3,∴cos∠ADC===-,∴∠ADC=.在△ABD中,AD=5,B=,∠ADB=,由=,得AB====.11.(2019年江苏卷)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.\n(1)若a=3c,b=,cosB=,求c的值;(2)若=,求sin的值.解:(1)因为a=3c,b=,cosB=,由余弦定理cosB=,得=,即c2=.所以c=.(2)因为=,由正弦定理=,得=,所以cosB=2sinB,从而cos2B=(2sinB)2,即cos2B=4(1-cos2B),故cos2B=.因为sinB>0,所以cosB=2sinB>0,从而cosB=.因此sin=cosB=.B级·素养提升|练能力|12.(2020届惠州调研)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且内角满足=.(1)求角A;(2)若△ABC的外接圆半径为1,求△ABC的面积S的最大值.解:(1)由题意及正弦定理可得=,化简得b2+c2-a2=bc,由余弦定理得cosA=,∴cosA==.又0<A<π,∴A=.(2)记△ABC外接圆的半径为R,由正弦定理得=2R,即a=2RsinA=2sin=,由余弦定理得3=b2+c2-bc≥2bc-bc=bc,即bc≤3(当且仅当b=c时取等号),\n故S=bcsinA≤×3×=(当且仅当b=c时取等号),即△ABC的面积S的最大值为.13.(2019年全国卷Ⅲ)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知asin=bsinA.(1)求B;(2)若△ABC为锐角三角形,且c=1,求△ABC面积的取值范围.解:(1)由题设及正弦定理,得sinAsin=sinBsinA.因为sinA≠0,所以sin=sinB.由A+B+C=180°,可得sin=cos,故cos=2sincos.因为cos≠0,故sin=,因此B=60°.(2)由题设及(1)知,△ABC的面积S△ABC=acsinB=a.由正弦定理得a===+.由于△ABC为锐角三角形,故0°<A<90°,0°<C<90°.由(1)知,A+C=120°,所以30°<C<90°,故<a<2,从而<S△ABC<.所以△ABC面积的取值范围是.14.(2019届长春市第二次质量监测)如图,在△ABC中,AB=3,∠ABC=30°,cos∠ACB=.(1)求AC的长;(2)作CD⊥BC,连接AD,若AD∶CD=2∶3,求△ACD的面积.解:(1)因为cos∠ACB=,所以sin∠ACB=,由正弦定理得AC=·sin∠ABC=2.(2)因为CD⊥BC,所以∠ACD=90°-∠ACB,所以cos∠ACD=sin∠ACB=.设AD=2m\n,则CD=3m.由余弦定理得AD2=AC2+CD2-2×AC×CDcos∠ACD,即4m2=4+9m2-2×2×3m×,解得m=1或m=.当m=1时,CD=3,sin∠ACD=,S△ACD=·AC·CD·sin∠ACD=;当m=时,CD=,sin∠ACD=,S△ACD=·AC·CDsin∠ACD=.综上,△ACD的面积为或.

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发布时间:2022-08-25 17:29:17 页数:7
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文章作者:U-336598

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