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2023高考数学二轮复习专题练二基础小题练透热点专练3平面向量含解析202303112158
2023高考数学二轮复习专题练二基础小题练透热点专练3平面向量含解析202303112158
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热点专练3 平面向量一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2020·泰安检测)已知向量=(3,-4),=(6,-3),=(2m,m+1).若∥,则实数m的值为( )A.B.-C.-3D.-解析 易知=(3,1),且=(2m,m+1),由∥,得2m=3(m+1),∴m=-3.答案 C2.(2020·全国Ⅲ卷)已知向量a,b满足|a|=5,|b|=6,a·b=-6,则cos〈a,a+b〉=( )A.-B.-C.D.解析 ∵|a+b|2=(a+b)2=a2+2a·b+b2=25-12+36=49,∴|a+b|=7,∴cos〈a,a+b〉====.故选D.答案 D3.(2020·全国Ⅱ卷)已知单位向量a,b的夹角为60°,则在下列向量中,与b垂直的是( )A.a+2bB.2a+bC.a-2bD.2a-b解析 由题意得|a|=|b|=1,a,b的夹角θ=60°,故a·b=|a||b|cosθ=.对于A,(a+2b)·b=a·b+2b2=+2=≠0;对于B,(2a+b)·b=2a·b+b2=2×+1=2≠0;对于C,(a-2b)·b=a·b-2b2=-2=-≠0;对于D,(2a-b)·b=2a·b-b2=2×-1=0.故选D.答案 D\n4.(2020·石家庄调研)已知向量a与b的夹角为60°,|a|=2,|b|=5,则2a-b在a方向上的投影为( )A.-B.C.2D.解析 因为(2a-b)·a=2a2-a·b=2|a|2-|a|·|b|cos60°=3,所以2a-b在a方向上的投影为=.答案 B5.(2020·海南新高考诊断)在△ABC中,AB=3,AC=2,∠BAC=120°,点D为BC边上一点,且=2,则·=( )A.B.C.1D.2解析 法一 ∵=2,∴-=2(-),∴=+,则·=·=·+2=×3×2×+×32=1,故选C.法二 以A为坐标原点,AB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系,如图所示.则A(0,0),B(3,0),C(-1,),∵=2,∴==(-4,)=,则D,∴=(3,0),=,则·=3×+0=1,故选C.答案 C\n6.(2020·济南检测)已知△ABC是边长为1的等边三角形,点D,E分别是边AB,BC的中点,连接DE并延长到点F,使得DE=2EF,则·的值为( )A.-B.C.D.解析 因为点D,E分别是边AB,BC的中点,且DE=2EF,所以AD=,DF=,所以·=(+)·=·+·=||·||cos120°+||·||cos60°=.答案 D7.已知△ABC是边长为2的等边三角形,P为平面ABC内一点,则·(+)的最小值是( )A.-2B.-C.-D.-1解析 如图,以等边三角形ABC的底边BC所在直线为x轴,以BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系,则A(0,),B(-1,0),C(1,0).设P(x,y),则=(-x,-y),=(-1-x,-y),=(1-x,-y).所以·(+)=(-x,-y)·(-2x,-2y)=2x2+2-.当x=0,y=时,·(+)取得最小值-.答案 B8.(2020·青岛调研)已知a,b是平面内两个互相垂直的单位向量,若向量c满足(a-c)·(b-c)=0,则|c|的最大值是( )A.1B.2C.D.解析 因为(a-c)·(b-c)=0,所以(a-c)⊥(b-c).如图所示,\n设=c,=a,=b,则=a-c,=b-c,所以⊥.又因为⊥,所以O,A,C,B四点共圆,当且仅当OC为圆的直径时,|c|最大,且最大值为.答案 C二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.9.(2020·青岛质检)已知向量a+b=(1,1),a-b=(-3,1),c=(1,1),设a,b的夹角为θ,则( )A.|a|=|b|B.a⊥cC.b∥cD.θ=135°解析 根据题意,得a+b=(1,1),a-b=(-3,1),则a=(-1,1),b=(2,0).对于A,|a|=,|b|=2,则|a|≠|b|,错误;对于B,a=(-1,1),c=(1,1),则a·c=0,即a⊥c,正确;对于C,b=(2,0),c=(1,1),b∥c不成立,错误;对于D,a=(-1,1),b=(2,0),则a·b=-2,|a|=,|b|=2,则cosθ==-,则θ=135°,正确.故选BD.答案 BD10.(2020·沈阳一监)已知向量=(1,-3),=(-2,1),=(t+3,t-8).若点A,B,C是一个三角形的顶点,则实数t可以为( )A.-2B.C.1D.-1解析 若点A,B,C是一个三角形的顶点,则A,B,C三点不共线,则向量,不共线.由于向量=(1,-3),=(-2,1),=(t+3,t-8),因此=-=(-3,4),=-=(t+5,t-9).若A,B,C三点不共线,则-3(t-9)-4(t+5)≠0,∴t≠1,故选ABD.\n答案 ABD11.(2020·深圳统测)点P是△ABC所在平面内一点,满足|-|-|+-2|=0,则△ABC不可能是( )A.钝角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形解析 因为点P是△ABC所在平面内一点,且|-|-|+-2|=0,所以||-|(-)+(-)|=0,即||=|+|,所以|-|=|+|,等式两边平方并化简得·=0,所以⊥,∠BAC=90°,则△ABC一定是直角三角形,也有可能是等腰直角三角形,不可能是钝角三角形和等边三角形式.故选AD.答案 AD12.(2020·聊城质检)在平面直角坐标系中,O为坐标原点,A(-1,0),B(0,),C(3,0),动点D满足||=1,则|++|的取值可能是( )A.+2B.+1C.-1D.-2解析 设D(x,y),由||=1,得(x-3)2+y2=1,向量++=(x-1,y+),故|++|=的最大值为圆(x-3)2+y2=1上的动点到点(1,-)距离的最大值,其最大值为圆(x-3)2+y2=1的圆心(3,0)到点(1,-)的距离加上圆的半径,即+1=1+.最小值为-1=-1,故取值范围为[-1,+1].故选BC.答案 BC三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(2020·全国Ⅰ卷)设a,b为单位向量,且|a+b|=1,则|a-b|=________.解析 将|a+b|=1两边平方得a2+2a·b+b2=1.∵a2=b2=1,∴1+2a·b+1=1,即2a·b=-1.∴|a-b|====.答案 14.给定两个长度为1的平面向量和,它们的夹角为90°,如图所示,点C在以O为圆心的圆弧上运动,若=x+y,其中x,y∈R,则x+y的最大值是________.\n解析 因为点C在以O为圆心的圆弧上,所以||2=|x+y|2=x2+y2+2xy·=x2+y2,∴x2+y2=1,则2xy≤x2+y2=1.又(x+y)2=x2+y2+2xy≤2,故x+y的最大值为.答案 15.(2020·天津适应性测试)如图,在△ABC中,AB=3,AC=2,∠BAC=60°,D,E分别是边AB,AC上的点,AE=1,且·=,则||=________.若P是线段DE上的一个动点,则·的最小值为________.(本小题第一空2分,第二空3分)解析 ∵AE=1,∠BAC=60°,∴·=||×1×cos60°=,解得||=1.设=λ(0≤λ≤1),则=(1-λ).∴=+=-2+λ(-)=-(2+λ)+λAE,=+=-+(1-λ)(-)=(λ-2)+(1-λ).∴·=-(2+λ)(1-λ)2+λ(λ-2)2+[λ(1-λ)-(λ2-4)]·=λ2-λ.当λ=时,·有最小值,为-.答案 1 -16.(2020·浙江卷)已知平面单位向量e1,e2满足|2e1-e2|≤.设a=e1+e2,b=3e1+e2,向量\na,b的夹角为θ,则cos2θ的最小值是__________.解析 设e1=(1,0),e2=(x,y),则a=(x+1,y),b=(x+3,y).由2e1-e2=(2-x,-y),故|2e1-e2|=≤,得(x-2)2+y2≤2.又有x2+y2=1,得(x-2)2+1-x2≤2,化简,得4x≥3,即x≥,因此≤x≤1.cos2θ=======-,当x=时,cos2θ有最小值,为=.答案
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高考 - 二轮专题
发布时间:2022-08-25 22:20:51
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