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2023高考数学二轮复习专题练二基础小题练透热点专练2不等式含解析202303112157

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热点专练2 不等式一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若a,b,c为实数,且a<b<0,则下列命题正确的是(  )A.ac2<bc2B.<C.>D.a2>ab>b2解析 c=0时,A不成立;-=>0,B错;-==<0,C错;由a<b<0,∴a2>ab>b2,D正确.答案 D2.已知关于x的不等式(ax-1)(x+1)<0的解集是(-∞,-1)∪,则a=(  )A.2B.-2C.-D.解析 依题意,-1与-是(ax-1)(x+1)=0的两根,且a<0,∴-1×=(-1)×,则a=-2.答案 B3.若a>0,b>0且2a+b=4,则的最小值为(  )A.2B.C.4D.解析 因为a>0,b>0,故2a+b≥2(当且仅当2a=b,即a=1,b=2时取等号).又因为2a+b=4,∴2≤4⇒0<ab≤2,∴≥,故的最小值为(当且仅当a=1,b=2时等号成立).答案 B4.(2020·日照检测)若实数x,y满足2x+2y=1,则x+y的最大值是(  )\nA.-4B.-2C.2D.4解析 由题意得2x+2y≥2=2(当且仅当x=y=-1时取等号),∴1≥2,∴≥2x+y,∴2-2≥2x+y,∴x+y≤-2.∴x+y的最大值为-2.答案 B5.(2020·菏泽模拟)若正数x,y满足4x2+9y2+3xy=30,则xy的最大值是(  )A.B.C.2D.解析 由x>0,y>0,得4x2+9y2+3xy≥2·(2x)·(3y)+3xy(当且仅当2x=3y时等号成立),∴12xy+3xy≤30,即xy≤2,当且仅当x=,y=时取等号,∴xy的最大值为2.答案 C6.(2020·滨州模拟)设x>0,y>0,x+2y=5,则的最小值为(  )A.2B.2C.4D.4解析 ∵x>0,y>0,∴>0.∵x+2y=5,∴===2+≥2=4,当且仅当2=,即x=3,y=1或x=2,y=时取等号.∴的最小值为4.答案 D7.设a>0,若关于x的不等式x+≥5在(1,+∞)上恒成立,则a的最小值为(  )A.16B.9C.4D.2解析 在(1,+∞)上,x+=(x-1)++1≥2+1=2+1(当且仅当x=1+时取等号).由题意知2+1≥5.所以a≥4.答案 C\n8.(2020·宜昌模拟)若对任意的x∈[1,5],存在实数a,使2x≤x2+ax+b≤6x(a∈R,b>0)恒成立,则实数b的最大值为(  )A.9B.10C.11D.12解析 已知当x∈[1,5]时,存在实数a,使2x≤x2+ax+b≤6x恒成立,则-x2+2x≤ax+b≤-x2+6x,令f(x)=-x2+2x(1≤x≤5),g(x)=-x2+6x(1≤x≤5),作出函数f(x),g(x)的图象如图所示,要使b最大,且满足-x2+2x≤ax+b≤-x2+6x(1≤x≤5),则直线y=ax+b必过(1,5),且与函数y=f(x)的图象相切于点B.易得此时b=5-a,此时的直线方程为y=ax+5-a.由得x2+(a-2)x+5-a=0.∴Δ=(a-2)2-4(5-a)=0,解得a=-4或a=4(舍去),∴bmax=5-(-4)=9.故选A.答案 A二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.9.(2020·德州模拟)对于实数a,b,c,下列命题中正确的是(  )A.若a>b,则ac<bcB.若a<b<0,则a2>ab>b2C.若c>a>b>0,则>D.若a>b,>,则a>0,b<0解析 若c>0,则由a>b得ac>bc,A错;若a<b<0,则a2>ab,ab>b2,a2>ab>b2,B正确;若c>a>b>0,则c-b>c-a>0,∴>>0,∴>,C正确;若a>b,且a,b同号,则有<,因此由a>b,>得a>0,b<0,D正确.故选BCD.答案 BCD10.(2020·石家庄一模)若a,b,c∈R,且ab+bc+ca=1,则下列不等式成立的是(  )A.a+b+c≤B.(a+b+c2)≥3\nC.++≥2D.a2+b2+c2≥1解析 由基本不等式可得a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca,∴2(a2+b2+c2)≥2(ab+bc+ca)=2,∴a2+b2+c2≥1,当且仅当a=b=c=±时,等号成立.∴(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)≥3,∴a+b+c≤-或a+b+c≥.若a=b=c=-,则++=-3<2.因此,A,C错误,B,D正确.故选BD.答案 BD11.(2020·济南一中期中)设正实数a,b满足a+b=1,则(  )A.+有最小值4B.有最小值C.+有最大值D.a2+b2有最小值解析 对于A,因为a,b是正实数,且a+b=1,所以有+=+=2++≥2+2=4(当且仅当a=b时取等号),故A正确;对于B,因为a,b是正实数,所以有1=a+b≥2,即≤(当且仅当a=b时取等号),故B不正确;对于C,因为a,b是正实数,所以有≤=,即+≤(当且仅当a=b时取等号),故C正确;对于D,因为a,b是正实数,所以有≤,即a2+b2≥(当且仅当a=b时取等号),故D正确.故选ACD.答案 ACD12.(2020·烟台模拟)下列说法正确的是(  )A.若x,y>0,x+y=2,则2x+2y的最大值为4B.若x<,则函数y=2x+的最大值为-1C.若x,y>0,x+y+xy=3,则xy的最小值为1\nD.函数y=+的最小值为9解析 对于A,取x=,y=,可得2x+2y=3>4,A错误;对于B,y=2x+=-+1≤-2+1=-1,当且仅当x=0时等号成立,B正确;对于C,易知x=2,y=满足等式x+y+xy=3,此时xy=<1,C错误;对于D,y=+=(sin2x+cos2x)=++5≥2+5=9.当且仅当cos2x=,sin2x=时等号成立,D正确.故选BD.答案 BD三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知a,b∈R,且a-3b+6=0,则2a+的最小值为________.解析 由题设知a-3b=-6,又2a>0,8b>0,所以2a+≥2=2·2=,当且仅当2a=,即a=-3,b=1时取等号.故2a+的最小值为.答案 14.(2020·深圳统测)已知x>0,y>0,且x+2y=xy,若x+2y>m2+2m恒成立,则xy的最小值为________,实数m的取值范围为________.(本小题第一空2分,第二空3分)解析 ∵x>0,y>0,x+2y=xy,∴+=1,∴1=+≥2,∴xy≥8,当且仅当x=4,y=2时取等号,∴x+2y=xy≥8,∴m2+2m<8,解得-4<m<2.答案 8 (-4,2)15.(2020·天津卷)已知a>0,b>0,且ab=1,则++的最小值为__________.解析 因为a>0,b>0,ab=1,所以原式=++=+≥2=4,当且仅当=,即a+b=4时,等号成立.故++的最小值为4.答案 416.(2020·江苏卷)已知5x2y2+y4=1(x,y∈R),则x2+y2的最小值是________.解析 法一 由题意知y≠0.由5x2y2+y4=1,可得x2=,所以x2+y2=+y2==\n≥×2=,当且仅当=4y2,即y=±时取等号.所以x2+y2的最小值为.法二 设x2+y2=t>0,则x2=t-y2.因为5x2y2+y4=1,所以5(t-y2)y2+y4=1,所以4y4-5ty2+1=0.由Δ=25t2-16≥0,解得t≥.故x2+y2的最小值为.答案 

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发布时间:2022-08-25 22:20:51 页数:6
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文章作者:U-336598

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