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2023高考数学二轮复习专题练四考前冲刺高分考前冲刺二压轴小题“瓶颈”突破含解析202303112192

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考前冲刺二 压轴小题“瓶颈”突破“瓶颈”一般是指在整体中的关键限制因素,例如,一轮、二轮复习后,很多考生却陷入了成绩提升的“瓶颈期”——无论怎么努力,成绩总是停滞不前.怎样才能突破“瓶颈”,让成绩再上一个台阶?新高考卷客观题满分80分,共16题,决定了整个高考试卷的成败,要突破“瓶颈题”就必须在两类客观题第8,11,12,15,16题中有较大收获,分析近年高考,必须从以下几个方面有所突破,才能实现“柳暗花明又一村”,做到保“本”冲“优”,迈进双一流.压轴热点1 函数的图象、性质及其应用【例1】(1)(2020·江南名校联考)已知f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=x-lnx+ln,则函数g(x)=f(x)-sinx的零点个数为(  )A.1B.2C.3D.5(2)(2020·石家庄调研)若函数f(x-2)为奇函数,f(-2)=0,且f(x)在区间[-2,+∞)上单调递减,则不等式f(3-x)>0的解集为________.解析 (1)函数g(x)的零点个数,即函数y=f(x)的图象与y=sinx的图象交点个数.当x>0时,f(x)=x-lnx+ln,则f′(x)=-=,令f′(x)=0,得x=.易知当0<x<时,f′(x)<0;当x>时,f′(x)>0.则f(x)在上单调递减,在上单调递增,所以当x=时,f(x)取得最小值,且最小值为f=1.函数y=sinx在x=处取得最大值1,所以当x>0时,f(x)的图象与y=sinx的图象有且只有一个交点.由f(x)和y=sinx均为奇函数,可得当x<0时,f(x)的图象与y=sinx的图象的交点也有且只有一个,为点.又两函数的图象均过原点,因此函数y=f(x)与y=sinx的图象有3个交点,所以函数g(x)=f(x)-sinx的零点有3个.(2)因为函数f(x-2)是奇函数,所以函数f(x-2)的图象关于点(0,0)对称,故f(x)的图象关于点(-2,0)对称.又f(x)在[-2,+∞)上单调递减,∴f(x)在(-∞,-2)上也单调递减,由f(3-x)>0=f(-2),得3-x<-2,∴x>5.∴不等式f(3-x)>0的解集为(5,+∞).答案 (1)C (2)(5,+∞)探究提高 1.利用图象法求函数f(x)的零点个数时,直接画函数f(x\n)的图象较困难,可以将解析式变形,将函数零点个数问题转化为两个函数的图象的交点个数问题,画出两函数图象,看其交点的横坐标有几个不同的值,就有几个不同的零点.2.求解函数的图象与性质综合应用问题的策略(1)熟练掌握图象的变换法则及利用图象解决函数性质、方程、不等式问题的方法.(2)熟练掌握与应用函数单调性、奇偶性、周期性、最值、对称性及零点解题的方法.【训练1】(2020·山东师大附中模拟)已知函数f(x)=x3-2x+ex-,其中e是自然对数的底数,在f(a-1)+f(2a2)≤0,则实数a的取值范围是________.解析 因为函数f(x)=x3-2x+ex-,所以f′(x)=3x2-2+ex+≥3x2-2+2≥0(当且仅当x=0时取等号),所以f(x)在R上单调递增.又f(-x)=(-x)3+2x+e-x-ex=-f(x)且x∈R,∴f(x)是奇函数,由f(a-1)+f(2a2)≤0,得f(2a2)≤f(1-a).所以2a2≤1-a,解之得-1≤a≤.答案 压轴热点2 三角函数与正(余)弦定理【例2】(1)已知函数f(x)=asinωx+bcosωx(ω>0),若x=x0是函数f(x)的一条对称轴,且tanωx0=3,则点(a,b)所在的直线为(  )A.x-3y=0B.x+3y=0C.3x-y=0D.3x+y=0(2)在△ABC中,三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cosA=sinAcosC,且a=2,则△ABC面积的最大值为________.解析 (1)f(x)=asinωx+bcosωx=sin(ωx+φ),其中tanφ=.∵x=x0是函数f(x)的一条对称轴,∴ωx0+φ=kπ+,k∈Z.∵tanωx0=tan=tan==,从而=3,得a-3b=0,所以点(a,b)在直线x-3y=0上.\n(2)因为cosA=sinAcosC,所以bcosA-sinCcosA=sinAcosC,所以bcosA=sin(A+C),所以bcosA=sinB,所以=,又=,a=2,所以=,得tanA=,又A∈(0,π),则A=,由余弦定理得(2)2=b2+c2-2bc·=b2+c2-bc≥2bc-bc=bc,即bc≤12,当且仅当b=c=2时取等号,从而△ABC面积的最大值为×12×=3.答案 (1)A (2)3探究提高 1.研究三角函数的图象与性质,关键在于灵活利用三角恒等变换公式将函数化为y=Asin(ωx+φ)+B(ω>0,A>0)的形式,进一步讨论函数的单调性、对称性、周期、零点等.2.解三角形的关键是活用正弦、余弦定理实施边角的转化,在求三角形面积的取值时,常把三角形面积这个目标函数转化为边或角的形式,然后借助基本不等式或函数性质来解决.【训练2】(2020·成都诊断)如图所示的是函数f(x)=sin(ωx+φ)在区间上的图象,若将该函数图象上各点的横坐标缩小为原来的一半(纵坐标不变),再向右平移m(m>0)个单位长度后,所得到的图象关于直线x=对称,则m的最小值为(  )A.πB.C.D.解析 由图象知,最小正周期T=π-=π,∴ω==2.又是图象的“第一零点”.∴-×2+φ=0,则φ=.\n故函数f(x)的解析式为f(x)=sin.把f(x)=sin的图象上各点的横坐标缩小为原来的一半(纵坐标不变),再向右平移m(m>0)个单位长度后,得到g(x)=sin的图象,因为所得图象关于直线x=对称,所以4×-4m+=+kπ(k∈Z),解得m=π-kπ,k∈Z,所以由m>0,可得当k=1时,m取得最小值,且最小值为.答案 C压轴热点3 空间位置关系与计算【例3】(1)(多选题)如图,等边△ABC的中线AF与中位线DE相交于点G,已知△A′ED是△AED绕DE旋转过程中的一个图形,下列命题中正确的是(  )A.动点A′在平面ABC上的射影在线段AF上B.恒有BD∥平面A′EFC.三棱锥A′-EFD的体积有最大值D.异面直线A′F与DE不可能垂直(2)(2020·江南名校联考)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,M,N,E,F分别是A1B1,AD,B1C1,C1D1的中点,则过EF且与MN平行的平面截正方体所得截面的面积为________,CE和该截面所成角的正弦值为________.解析 (1)因为A′D=A′E,△ABC是正三角形,所以点A′在平面ABC上的射影在线段AF上,故A正确;因为BD∥EF,所以恒有BD∥平面A′EF,故B正确;三棱锥A′-FED的底面积是定值,体积由高即点A′到底面的距离决定,当平面A′DE⊥平面BCED时,三棱锥A′-FED的体积有最大值,故C正确;因为DE⊥平面A′FG,故A′F⊥DE,故D错误.(2)如图所示,设CD,BC的中点分别为H,G,连接HE,HG,GE,HF,ME,NH.\n易证ME∥NH,ME=NH,所以四边形MEHN是平行四边形,所以MN∥HE.易知四边形EFHG为矩形,因为MN⊄平面EFHG,HE⊂平面EFHG,所以MN∥平面EFHG,所以过EF且与MN平行的平面为平面EFHG,平面EFHG截正方体所得截面为矩形EFHG,易知EF=,FH=2,所以截面EFHG的面积为2×=2.连接AC,交HG于点I,易知CI⊥HG,平面EFHG⊥平面ABCD,平面EFHG∩平面ABCD=HG,所以CI⊥平面EFHG,连接EI,因为EI⊂平面EFHG,所以CI⊥EI,所以∠CEI为直线CE和截面EFHG所成的角.在Rt△CIE中,易知CE==,CI=AC==,所以sin∠CEI==.答案 (1)ABC (2)2 探究提高 1.在折叠过程中,△A′DE的边长不变,BC∥平面A′DE及A′G⊥DE的关系保持不变,抓住不变性,明确几何量之间的关系是解题的关键.2.第(2)题利用线面平行的判定,确定所求截面为矩形EFHG,这是求解的关键,第二个空在前面的基础上,运用线面、线线、面面垂直作出线面角,使考题的功能最大化,进一步考查学生数学运算与逻辑推理等数学核心素养.【训练3】(1)(多选题)如图,平面四边形ABCD中,E,F分别是AD,BD的中点,AB=AD=CD=2,BD=2,∠BDC=90°,将△ABD沿对角线BD折起至△A′BD,使平面A′BD⊥平面BCD,则四面体A′BCD中,下列结论正确的是(  )\nA.EF∥平面A′BCB.异面直线CD与A′B所成的角为90°C.异面直线EF与A′C所成的角为60°D.直线A′C与平面BCD所成的角为30°(2)(2020·河北名校调研)在三棱锥P-ABC中,若平面PBC⊥平面ABC,∠ABC=90°,AB=2,BC=1,PB=2,∠PBC=45°,则三棱锥P-ABC外接球的表面积是________.解析 (1)A选项:因为E,F分别为A′D和BD的中点,所以EF∥A′B,即EF∥平面A′BC,A正确.B选项:因为平面A′BD⊥平面BCD,交线为BD,且CD⊥BD,所以CD⊥平面A′BD,即CD⊥A′B,故B正确.C选项:取CD边中点M,连接EM,FM,则EM∥A′C,所以∠FEM为异面直线EF与A′C所成角,因为CD⊥平面A′BD,所以CD⊥A′D,又A′D=CD=2,所以A′C=2,所以EM=,又EF=1,FM==,所以∠FEM=90°,故C错误;D选项,连接A′F,因为A′B=A′D,F为BD的中点,所以A′F⊥BD,又平面A′BD⊥平面BCD,平面A′BD∩平面BCD=BD,所以A′F⊥平面BCD,连接FC,∠A′CF为直线A′C与平面BCD所成的角,又A′C=2,A′F==,所以sin∠A′CF===,所以∠A′CF=30°,故D正确,故选ABD.(2)在平面BCP中找一点Q,连接BQ,使得BQ为△BCP外接圆的直径,连接QC,则∠QCB=90°,则QC⊥平面ABC,所以QC⊥AC,∠QCA=90°.易知AB⊥平面PBC,则∠ABQ=90°,连接AQ,设AQ的中点为O,则点O到A,B,C,Q四点的距离相等,故AQ为三棱锥P-ABC外接球的直径.易得PC=,BQ==,所以AQ2=BQ2+AB2=14=4R2(R为外接球的半径).故S外接球=4πR2=14π.答案 (1)ABD (2)14π压轴热点4 圆锥曲线及其性质【例4】(1)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A,B两点,交C的准线于D,E两点.已知|AB|=4,|DE|=2,则C的焦点到准线的距离为(  )A.2B.4C.6D.8\n(2)(2020·成都七中检测)已知双曲线C:-=1(a>b>0)的两条渐近线与圆O:x2+y2=5交于M,N,P,Q四点,若四边形MNPQ的面积为8,则双曲线C的渐近线方程为(  )A.y=±xB.y=±xC.y=±xD.y=±x解析 (1)不妨设抛物线C:y2=2px(p>0),∵|AB|=4,点A是圆与抛物线交点,由对称性设A(x1,2),则x1==.又|DE|=2,且点D是准线与圆的交点,∴D且|OD|=|OA|.从而+(2)2=+()2,解得p=4.因此C的焦点到准线的距离是4.(2)依题意,不妨设点M(x,y)在第一象限,联立解得(其中c2=a2+b2),可知四边形MNPQ为矩形且面积为8,且根据双曲线的对称性,·=2,即2c2=5ab.又因为c2=a2+b2,所以2(a2+b2)=5ab⇒2×-5×+2=0,解得=(=2舍去).故所求渐近线方程为y=±x.答案 (1)B (2)B探究提高 1.与圆锥曲线方程相关的问题,一定要抓住定义,作出示意图,充分利用几何性质,简化运算.2.双曲线的离心率与渐近线是高考的热点,求圆锥曲线离心率大小(范围)的方法是:根据已知椭圆、双曲线满足的几何条件及性质得到参数a,b,c满足的等量关系(不等关系),然后把b用a,c表示,求的值(范围).\n【训练4】(1)(2020·太原检测)已知F为椭圆C:+y2=1的右焦点,过点F的直线l与椭圆交于A,B两点,P为AB的中点,O为原点.若△OPF是以OF为底边的等腰三角形,则直线l的斜率为(  )A.±B.±C.±2D.±2(2)已知双曲线C经过点(2,3),且该双曲线的其中一条渐近线的方程为y=x,F1,F2分别为该双曲线的左、右焦点,双曲线C的方程为________,若P为该双曲线右支上一点,点A(6,8),则当|PA|+|PF2|取最小值时,点P的坐标为________.解析 (1)因为c==,所以右焦点F(,0).设直线l的方程为y=k(x-),k≠0,A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0),则①-②得+(y-y)=0,则=-.因为点P为AB中点,知x1+x2=2x0,y1+y2=2y0.所以直线l的斜率k==-=-.又△OPF是以OF为底边的等腰三角形,所以x0=,y0=k(x0-)=-k.所以k=-=-,得k2=,k=±.(2)由题意,可设双曲线C的方程为y2-3x2=λ,将(2,3)代入,得32-3×22=λ,得λ=-3,故双曲线C的方程为x2-=1.作出双曲线C如图所示,连接PF1,AF1.\n由双曲线定义,得|PF1|-|PF2|=2.所以|PF2|=|PF1|-2.则|PA|+|PF2|=|PA|+|PF1|-2≥|AF1|-2,当且仅当A,P,F1三点共线时,等号成立.由A(6,8),F1(-2,0),得直线AF1的方程为y=x+2,由得2x2-4x-7=0,解得x=1±,又点P在双曲线的右支上,所以点P的坐标为.答案 (1)A (2)x2-=1 压轴热点5 导数及其应用【例5】(2020·合肥检测)已知函数g(x)=a-x2与h(x)=2lnx的图象上存在关于x轴对称的点,则实数a的取值范围是________.解析 函数g(x)=a-x2与h(x)=2lnx的图象上存在关于x轴对称的点,等价于a-x2=-2lnx在上有解,即-a=2lnx-x2在上有解.设f(x)=2lnx-x2,x∈,则f′(x)=.∴f′(x)=0在上有唯一的零点x=1.故f(x)在上单调递增,在(1,e]上单调递减.∴f(x)max=f(1)=-1,又f=-2-,f(e)=2-e2,知f(e)<f.∴函数f(x)的值域为[2-e2,-1].故方程-a=2lnx-x2在上有解等价于2-e2≤-a≤-1,即1≤a≤e2-2,∴实数a的取值范围是[1,e2-2].答案 [1,e2-2]探究提高 \n1.利用导数研究函数的单调性、极值,一定注意字母参数取值的影响,重视分类讨论思想.2.利用导数解零点或不等式问题,主要是构造函数,利用导数研究函数的单调性,常见的构造函数的方法有移项法、构造形似函数法、主元法等.【训练5】(2020·佛山调研)已知f(x)是定义在上的奇函数,其导函数为f′(x),f=,且当x∈时,f′(x)sin2x+2f(x)cos2x>0.则不等式f(x)sin2x<1的解集为________.解析 设F(x)=f(x)sin2x,则F′(x)=f′(x)sin2x+2f(x)cos2x.∵f(x)在上是奇函数,∴F(-x)=f(-x)sin(-2x)=f(x)sin2x=F(x),故F(x)在定义域上是偶函数.当x∈时,f′(x)sin2x+2f(x)cos2x>0,∴F′(x)>0,则F(x)在上单调递增.因为F=fsin=×=1.又F(x)在上是偶函数,且在上递增.∴f(x)sin2x<1⇔F(x)<F.∴|x|<,解之得-<x<,所以x∈.答案 

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发布时间:2022-08-25 22:20:49 页数:10
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文章作者:U-336598

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