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【红对勾】(新课标)2023高考数学大一轮复习 第二章 函数、导数及其应用单元质量检测 理.DOC
【红对勾】(新课标)2023高考数学大一轮复习 第二章 函数、导数及其应用单元质量检测 理.DOC
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【红对勾】(新课标)2016高考数学大一轮复习第二章函数、导数及其应用单元质量检测理时间:90分钟 分值:100分一、选择题(每小题4分,共40分)1.函数y=的定义域为( )A.B.∪(-1,+∞)C.D.∪(-1,+∞)解析:由得x∈.答案:A2.曲线y=x3-2x+4在点(1,3)处的切线的倾斜角为( )A.30°B.45°C.60°D.120°解析:由y′=3x2-2得y′|x=1=1,即曲线在点(1,3)处的切线斜率为1,所以切线的倾斜角为45°.答案:B3.若已知函数f(x)=则f(f(1))+f的值是( )A.7B.2C.5D.3解析:f(1)=log21=0,所以f(f(1))=f(0)=2.因为log3<0,所以f=9+1=9log32+1=32log32+1=3log34+1=4+1=5,所以f(f(1))+f=2+5=7,故选A.答案:A4.已知a=0.7,b=0.6,c=log2.11.5,则a,b,c的大小关系是( )A.c<a<bB.c<b<aC.a<b<cD.b<a<c7\n解析:由log2.11.5<1<0.7-<0.6-,得c<a<b.答案:A5.函数f(x)=2x-sinx的零点个数为( )A.1B.2C.3D.4解析:显然f(x)的一个零点是0,而f′(x)=2-cosx>0,即f(x)在R上单调递增,因此函数f(x)只有一个零点,故选A.答案:A6.已知函数f(x)=x-4+,x∈(0,4),当x=a时,f(x)取得最小值b,则函数g(x)=|x+b|的图象为( )解析:由基本不等式得f(x)=x+1+-5≥2-5=1,当且仅当x+1=,即x=2时取得最小值1,故a=2,b=1,因此g(x)=|x+b|=|x+1|,只需将y=|x|的图象向左平移1个单位即可,其中y=|x|的图象可利用其为偶函数通过y=x作出,故选B.答案:B7.定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上是增函数,则( )7\nA.f(2)<f(5)<f(8)B.f(5)<f(8)<f(2)C.f(5)<f(2)<f(8)D.f(8)<f(2)<f(5)解析:因为f(x-4)=-f(x),所以f(x+8)=f(x),所以函数f(x)是周期函数,且周期为8,所以f(8)=f(0),f(5)=-f(1)=f(-1),因为奇函数f(x)在区间[0,2]上是增函数,所以函数f(x)在区间[-2,2]上是增函数,又-2<-1<0<2,所以f(5)<f(8)<f(2).答案:B8.若函数f(x)=x3+mx2-3m2x+1,m∈R在区间(-2,3)上是减函数,则实数m的取值范围为( )A.m≥3B.m≤-2C.m≥2或m≤-3D.m≥3或m≤-2解析:因为f′(x)=x2+2mx-3m2,令f′(x)=0,得x=-3m或x=m.当m=0时,f′(x)=x2≥0恒成立,不符合题意.当m>0时,f(x)的单调递减区间是(-3m,m),若f(x)在区间(-2,3)上是减函数,则,解得m≥3.当m<0时,f(x)的单调递减区间是(m,-3m),若f(x)在区间(-2,3)上是减函数,则,解得m≤-2.综上所述,实数m的取值范围是m≥3或m≤-2.故选D.答案:D9.若a>0,b>0,且函数f(x)=4x3-ax2-2bx+2在x=1处有极值,则ab的最大值等于( )A.2B.3C.6D.9解析:∵f′(x)=12x2-2ax-2b,Δ=4a2+96b>0,又x=1是极值点,∴f′(1)=12-2a-2b=0,即a+b=6,且a>0,b>0,∴ab≤=9,当且仅当a=b时“=”成立,所以ab的最大值为9.答案:D10.(2014·湖南卷)若0<x1<x2<1,则( )A.ex2-ex1>lnx2-lnx1B.ex2-ex1<lnx2-lnx1C.x2ex1>x1ex2D.x2ex1<x1ex2解析:构造函数f(x)=ex-lnx,则f′(x)=ex-,故f(x)=ex-lnx7\n在(0,1)上有一个极值点,即f(x)=ex-lnx在(0,1)上不是单调函数,无法判断f(x1)与f(x2)的大小,故A、B错;构造函数g(x)=,则g′(x)==,故函数g(x)=在(0,1)上单调递减,故g(x1)>g(x2),x2ex1>x1ex2,故选C.答案:C二、填空题(每小题4分,共16分)11.设f(x)=则f[f(-1)]=________.解析:f(-1)=(-1)2=1,所以f[f(-1)]=f(1)=21=2.答案:212.不等式x2-2x<0表示的平面区域与抛物线y2=4x围成的封闭区域的面积为________.解析:由x2-2x<0,得0<x<2,又y2=4x,得y=±2,∴所求面积S=22dx=4·x=.答案:13.若曲线f(x)=ax2+lnx存在垂直于y轴的切线,则实数a的取值范围是________.解析:依题意得,f′(x)=2ax+=0(x>0)有实根,所以a=-<0.答案:(-∞,0)14.对于函数f(x)=x|x|+px+q,现给出四个命题:①q=0时,f(x)为奇函数;②y=f(x)的图象关于(0,q)对称;③p=0,q>0时,方程f(x)=0有且只有一个实数根;④方程f(x)=0至多有两个实数根.其中正确命题的序号为________.解析:若q=0,则f(x)=x|x|+px=x(|x|+p)为奇函数,所以①正确;由①知,当q=0时,f(x)为奇函数,图象关于原点对称,f(x)=x|x|+px+q的图象由函数f(x)=x|x|+px向上或向下平移|q|个单位,所以图象关于(0,q)对称,所以②正确;当p=0,q>0时,f(x)=x|x|+q=当f(x)=0,得x=-,只有一解,所以③正确;取q=0,p=-1,f(x)=x|x|-x=由f(x)=0,可得x=0,x=±1有三个实根,所以④不正确.综上正确命题的序号为①②③.7\n答案:①②③三、解答题(共4小题,共44分,解答应写出必要的文字说明、计算过程或证明步骤.)15.(10分)已知函数f(x)=a-.(1)求证:函数y=f(x)在(0,+∞)上是增函数.(2)若f(x)<2x在(1,+∞)上恒成立,求实数a的取值范围.解:(1)证明:当x∈(0,+∞)时,f(x)=a-,设0<x1<x2,则x1x2>0,x2-x1>0,f(x2)-f(x1)=-=-=>0,所以f(x)在(0,+∞)上是增函数.(2)由题意a-<2x在(1,+∞)上恒成立,设h(x)=2x+,则a<h(x)在(1,+∞)上恒成立.任取x1,x2∈(1,+∞)且x1<x2,h(x1)-h(x2)=(x1-x2).因为1<x1<x2,所以x1-x2<0,x1x2>1,所以2->0,所以h(x1)<h(x2),所以h(x)在(1,+∞)上单调递增.故a≤h(1)即a≤3,所以a的取值范围是(-∞,3].16.(10分)(2014·江西卷)已知函数f(x)=(x2+bx+b)·(b∈R).(1)当b=4时,求f(x)的极值;(2)若f(x)在区间上单调递增,求b的取值范围.解:(1)当b=4时,f′(x)=,由f′(x)=0得x=-2或x=0.当x∈(-∞,-2)时,f′(x)<0,f(x)单调递减;当x∈(-2,0)时,f′(x)>0,f(x)单调递增;7\n当x∈时,f′(x)<0,f(x)单调递减,故f(x)在x=-2取极小值f(-2)=0,在x=0取极大值f(0)=4.(2)f′(x)=,因为当x∈时,<0,依题意当x∈时,有5x+(3b-2)≤0,从而+(3b-2)≤0.所以b的取值范围为.17.(12分)设函数f(x)=x2+ax-lnx(a∈R).(1)若a=1,求函数f(x)的单调区间;(2)过坐标原点O作曲线y=f(x)的切线,证明:切点的横坐标为1.解:(1)a=1时,f(x)=x2+x-lnx(x>0),∴f′(x)=2x+1-=,当x∈时,f′(x)<0;当x∈时,f′(x)>0.∴f(x)的单调递减区间为,单调递增区间为.(2)证明:设切点为M(t,f(t)),f′(x)=2x+a-,切线的斜率k=2t+a-,又切线过原点,则k=,∴=2t+a-,即t2+at-lnt=2t2+at-1.∴t2-1+lnt=0,存在性:t=1满足方程t2-1+lnt=0,∴t=1是方程t2-1+lnt=0的根.再证唯一性:设φ(t)=t2-1+lnt,φ′(t)=2t+>0,φ(t)在(0,+∞)单调递增,且φ(1)=0,∴方程t2-1+lnt=0有唯一解.综上,切点的横坐标为1.7\n18.(12分)(2014·新课标全国卷Ⅱ)已知函数f(x)=x3-3x2+ax+2,曲线y=f(x)在点(0,2)处的切线与x轴交点的横坐标为-2.(1)求a;(2)证明:当k<1时,曲线y=f(x)与直线y=kx-2只有一个交点.解:(1)f′(x)=3x2-6x+a,f′(0)=a,曲线y=f(x)在点(0,2)处的切线方程为y=ax+2.由题意得-=-2,所以a=1.(2)由(1)知,f(x)=x3-3x2+x+2.设g(x)=f(x)-kx+2=x3-3x2+(1-k)x+4.由题设知1-k>0.当x≤0时,g′(x)=3x2-6x+1-k>0,g(x)单调递增,g(-1)=k-1<0,g(0)=4,所以g(x)=0在(-∞,0]有唯一实根.当x>0时,令h(x)=x3-3x2+4,则g(x)=h(x)+(1-k)x>h(x).h′(x)=3x2-6x=3x(x-2),h(x)在(0,2)单调递减,在(2,+∞)单调递增,所以g(x)>h(x)≥h(2)=0.所以g(x)=0在(0,+∞)没有实根.综上,g(x)=0在R有唯一实根,即曲线y=f(x)与直线y=kx-2只有一个交点.7
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高考 - 一轮复习
发布时间:2022-08-25 17:48:26
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