全国高考数学第二轮复习 专题升级训练31 解答题专项训练(概率与统计) 理
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专题升级训练31 解答题专项训练(概率与统计)1.(2012·北京西城一模,理16)乒乓球单打比赛在甲、乙两名运动员间进行,比赛采用7局4胜制(即先胜4局者获胜,比赛结束),假设两人在每一局比赛中获胜的可能性相同.(1)求甲以4比1获胜的概率;(2)求乙获胜且比赛局数多于5局的概率;(3)求比赛局数的分布列.2.(2012·河北保定一模,理18)第七届全国农民运动会将于2012年在河南省南阳市举办,某代表队为了在比赛中取得好成绩,已组织了多次比赛演练.某次演练中,该队共派出甲、乙、丙、丁、戊五位选手进行100米短跑比赛,这五位选手需通过抽签方式决定所占的跑道.(1)求甲、乙两位选手恰好分别占据1,2跑道的概率;(2)若甲、乙两位选手之间间隔的人数记为X,求X的分布列和数学期望.3.(2012·河北石家庄二模,理18)我国是世界上严重缺水的国家之一,城市缺水问题较为突出.某市为了节约生活用水,计划在本市试行居民生活用水定额管理(即确定一个居民月均用水量标准a,用水量不超过a的部分按照平价收费,超过a的部分按照议价收费).为了较为合理地确定出这个标准,通过抽样获得了100位居民某年的月均用水量(单位:t),制作了频率分布直方图.(1)由于某种原因频率分布直方图部分数据丢失,请在图中将其补充完整;(2)用样本估计总体,如果希望80%的居民每月的用水量不超出标准a,则月均用水量的最低标准定为多少吨,并说明理由;(3)若将频率视为概率,现从该市某大型生活社区随机调查3位居民的月均用水量(看作有放回的抽样),其中月均用水量不超过(2)中最低标准的人数为X,求X的分布列和均值.4.(2012·山东烟台一模,理18)某品牌的汽车4S店,对最近100位采用分期付款的购车者进行统计,统计结果如下表所示:已知分3期付款的频率为0.2,4S店经销一辆该品牌的汽车,顾客分1期付款,其利润为1万元;分2期或3期付款,其利润为1.5万元;分4期或5期付款,其利润为2万元.用η表示经销一辆汽车的利润.付款方式分1期分2期分3期分4期分5期频数4020a10b(1)求上表中的a,b值;(2)若以频率作为概率,求事件A:“购买该品牌汽车的3位顾客中,至多有1位采用3期付款”的概率P(A);(3)求η的分布列及数学期望E(η).5.(2012·北京石景山统测,理16)甲、乙两位同学进行篮球三分球投篮比赛,甲每次投中的概率为,乙每次投中的概率为,每人分别进行三次投篮.(1)记甲投中的次数为ξ,求ξ的分布列及数学期望E(ξ);(2)求乙至多投中2次的概率;(3)求乙恰好比甲多投中2次的概率.6.(2012·陕西西安二模,理18)某商店试销某种商品20天,获得如下数据:-6-\n日销售量(件)0123频数1595试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变),设某天开始营业时有该商品3件,当天营业结束后检查存货.若发现存货少于2件,则当天进货补充至3件,否则不进货.将频率视为概率.(1)求当天商店不进货的概率;(2)记X为第二天开始营业时该商品的件数,求X的分布列和数学期望.7.(2012·江西南昌二模,理17)某地农民种植A种蔬菜,每亩每年生产成本为7000元,A种蔬菜每亩产量及价格受天气、市场双重影响.预计明年雨水正常的概率为,雨水偏少的概率为.若雨水正常,A种蔬菜每亩产量为2000公斤,单价为6元/公斤的概率为,单价为3元/公斤的概率为;若雨水偏少,A种蔬菜每亩产量为1500公斤,单价为6元/公斤的概率为,单价为3元/公斤的概率为.(1)计算明年农民种植A种蔬菜不亏本的概率;(2)在政府引导下,计划明年采取“公司加农户,订单农业”的生产模式,某公司为不增加农民生产成本,给农民投资建立大棚,建立大棚后,产量不受天气影响,预计每亩产量为2500公斤,农民生产的A种蔬菜全部由公司收购,为保证农民每亩预期收入增加1000元,收购价格至少为多少?8.(2012·河南郑州二测,理18)为加强中学生实践、创新能力和团队精神的培养,促进教育教学改革,郑州市教育局举办了全市中学生创新知识竞赛.某校举行选拔赛,共有200名学生参加,为了解成绩情况,从中抽取50名学生的成绩(得分均为整数,满分为100分)进行统计.请你根据尚未完成的频率分布表,解答下列问题:分组频数频率一60.5~70.5a0.26二70.5~80.515c三80.5~90.5180.36四90.5~100.5bd合计50e(1)若用系统抽样的方法抽取50个样本,现将所有学生随机地编号为000,001,002,…,199,试写出第二组第一位学生的编号;(2)求出a,b,c,d,e的值(直接写出结果),并作出频率分布直方图;(3)若成绩在95.5分以上的学生为一等奖,现在,从所有一等奖同学中随机抽取5名同学代表学校参加决赛,某班共有3名同学荣获一等奖,若该班同学参加决赛人数记为X,求X的分布列和数学期望.-6-\n参考答案1.解:(1)由已知,甲、乙两名运动员在每一局比赛中获胜的概率都是.记“甲以4比1获胜”为事件A,则P(A)=()3·()4-3·=.(2)记“乙获胜且比赛局数多于5局”为事件B.因为乙以4比2获胜的概率为P1=··=,乙以4比3获胜的概率为P2=··=,所以P(B)=P1+P2=.(3)设比赛的局数为X,则X的可能取值为4,5,6,7.P(X=4)=()4=,P(X=5)=·=,P(X=6)=·=,P(X=7)=·=.比赛局数的分布列为:X4567P2.解:(1)设“甲、乙两位选手恰好分别占据1、2跑道”为事件A,则P(A)==.所以,甲、乙两位选手恰好分别占据1、2跑道的概率为.(2)随机变量X的可能取值为0,1,2,3.P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=3)==,P(X=2)=1-P(X=0)-P(X=1)-P(X=3)=.随机变量X的分布列为:X0123P因为E(X)=0×+1×+2×+3×=1,-6-\n所以随机变量X的数学期望为1.3.解:(1)(2)月均用水量的最低标准应定为2.5吨.样本中月均用水量不低于2.5吨的居民有20位,占样本总体的20%,由样本估计总体,要保证80%的居民每月的用水量不超出标准,月均用水量的最低标准应定为2.5吨.(3)依题意可知,居民月均用水量不超过(2)中最低标准的概率是,则X~B,P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)=·=,P(X=3)==.X的分布列为:X0123PE(X)=3×=.4.解:(1)由=0.2,得a=20.∵40+20+a+10+b=100,∴b=10.(2)记分期付款的期数为ξ,依题意得:P(ξ=1)==0.4,P(ξ=2)==0.2,P(ξ=3)=0.2,P(ξ=4)==0.1,P(ξ=5)==0.1.则“购买该品牌汽车的3位顾客中至多有1位采用3期付款”的概率:P(A)=0.83+0.2×(1-0.2)2=0.896.(3)∵η的可能取值为:1,1.5,2(单位:万元),P(η=1)=P(ξ=1)=0.4,P(η=1.5)=P(ξ=2)+P(ξ=3)=0.4,P(η=2)=P(ξ=4)+P(ξ=5)=0.1+0.1=0.2,∴η的分布列为η11.52P0.40.40.2∴η的数学期望E(η)=1×0.4+1.5×0.4+2×0.2=1.4(万元).5.解:(1)ξ的可能取值为:0,1,2,3.-6-\nP(ξ=0)==;P(ξ=1)==;P(ξ=2)=·=;P(ξ=3)==.ξ的分布列如下表:ξ0123PE(ξ)=0×+1×+2×+3×=1.(2)乙至多投中2次的概率为1-=.(3)设乙比甲多投中2次为事件A,乙恰好投中2次且甲恰好投中0次为事件B1,乙恰好投中3次且甲恰好投中1次为事件B2,则A=B1∪B2,B1,B2为互斥事件.P(A)=P(B1)+P(B2)=×+×=.所以乙恰好比甲多投中2次的概率为.6.解:(1)P(“当天商店不进货”)=P(“当天商品销售量为0件”)+P(“当天商品销售量为1件”)=+=.(2)由题意知,X的可能取值为2,3.P(X=2)=P(“当天商品销售量为1件”)==;P(X=3)=P(“当天商品销售量为0件”)+P(“当天商品销售量为2件”)+P(“当天商品销售量为3件”)=++=.故X的分布列为X23PX的数学期望为E(X)=2×+3×=.7.解:(1)只有当价格为6元/公斤时,农民种植A种蔬菜才不亏本,所以农民种植A种蔬菜不亏本的概率是P=×+×=.(2)按原来模式种植,设农民种植A种蔬菜每亩收入为ξ元,则ξ可能取值为:5000,2000,-1000,-2500.-6-\nP(ξ=5000)=×=,P(ξ=2000)=×=,P(ξ=-1000)=×=,P(ξ=-2500)=×=,E(ξ)=5000×+2000×-1000×-2500×=500.设收购价格为a元/公斤,农民每亩预期收入增加1000元,则2500a≥7000+1500,即a≥3.4,所以收购价格至少为3.4元/公斤.8.解:(1)编号为004.(2)a,b,c,d,e的值分别为13,4,0.30,0.08,1.频率分布直方图如图.(3)在被抽到的学生中获一等奖的人数为2(人),占样本的比例是=0.04,即获一等奖的概率为4%,所以获一等奖的人数估计为200×4%=8(人),随机变量X的可能取值为0,1,2,3.P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=.随机变量X的分布列为:X0123P因为E(X)=0×+1×+2×+3×==,所以随机变量X的数学期望为.-6-
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