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广东省高考数学第二轮复习 坐标系与参数方程 理

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选修4—4 坐标系与参数方程真题试做1.(2012·上海高考,理10)如图,在极坐标系中,过点M(2,0)的直线l与极轴的夹角α=.若将l的极坐标方程写成ρ=f(θ)的形式,则f(θ)=__________.2.(2012·广东高考,理14)在平面直角坐标系xOy中,曲线C1和C2的参数方程分别为(t为参数)和(θ为参数),则曲线C1与C2的交点坐标为__________.3.(2012·江西高考,理15)曲线C的直角坐标方程为x2+y2-2x=0,以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则曲线C的极坐标方程为__________.4.(2012·湖南高考,理9)在直角坐标系xOy中,已知曲线C1:(t为参数)与曲线C2:(θ为参数,a>0)有一个公共点在x轴上,则a=__________.5.(2012·辽宁高考,文23)在直角坐标系xOy中,圆C1:x2+y2=4,圆C2:(x-2)2+y2=4.(1)在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,分别写出圆C1,C2的极坐标方程,并求出圆C1,C2的交点坐标(用极坐标表示);(2)求圆C1与C2的公共弦的参数方程.考向分析从近几年的高考情况看,该部分主要有三个考点:一是平面坐标系的伸缩变换;二是极坐标方程与直角坐标方程的互化;三是极坐标方程与参数方程的综合应用.对于平面坐标系的伸缩变换,主要是以平面直角坐标系和极坐标系为平台,考查伸缩变换公式的应用,试题设计大都是运用坐标法研究点的位置或研究几何图形的形状.对于极坐标方程与直角坐标方程的互化,是高考的重点和热点,涉及到直线与圆的极坐标方程,从点与直线、直线与圆的位置关系等不同角度考查,研究求距离、最值、轨迹等常规问题.极坐标方程与参数方程的综合应用,主要是以直线、圆和圆锥曲线的参数方程为背景,转化为普通方程,从而进一步判断位置关系或进行有关距离、最值的运算.预计2013年高考中,本部分内容主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化、参数方程与普通方程的互化,考查简单曲线的极坐标方程和参数方程,试题多以填空题、解答题的形式呈现,属于中档题.热点例析热点一 平面坐标系的伸缩变换【例1】在同一平面直角坐标系中,将直线x-2y=2变成直线2x′-y′=4,求满足图象变换的伸缩变换.规律方法1.平面坐标系的伸缩变换对图形的变化起到了一个压缩或拉伸的作用,如三角函数图象周期的变化.2.设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换φ:的作用下,点P(x,y)对应到点P′(x′,y′),称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.变式训练1在同一平面直角坐标系中,经过伸缩变换后,曲线C变为曲线2x′2+8y′2=1,则曲线C的方程为(  ).A.50x2+72y2=1B.9x2+100y2=1C.25x2+36y2=1D.x2+y2=1热点二 极坐标方程与直角坐标方程的互化-5-\n【例2】在极坐标系中,已知圆ρ=2cosθ与直线3ρcosθ+4ρsinθ+a=0相切,求实数a的值.规律方法1.直角坐标和极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴,并在两坐标系中取相同的长度单位,设M是平面内任意一点,它的直角坐标是(x,y),极坐标是(ρ,θ),则x=ρcosθ,y=ρsinθ且ρ2=x2+y2,tanθ=(x≠0).这就是直角坐标和极坐标的互化公式.2.曲线的极坐标方程的概念:在极坐标系中,如果平面曲线C上任意一点的极坐标至少有一个满足方程f(ρ,θ)=0,并且坐标适合f(ρ,θ)=0的点都在曲线C上,那么方程f(ρ,θ)=0就叫做曲线C的极坐标方程.变式训练2圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ=4cosθ,ρ=-sinθ.(1)把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程;(2)求经过圆O1,圆O2两个交点的直线的直角坐标方程.热点三 参数方程与普通方程的互化【例3】把下列参数方程化为普通方程:(1)(2)规律方法1.参数方程部分,重点还是参数方程与普通方程的互化,主要是将参数方程消去参数化为普通方程.2.参数方程与普通方程的互化:参数方程化为普通方程的过程就是消参过程,常见方法有三种:①代入法:利用解方程的技巧求出参数t,然后代入消去参数;②三角法:利用三角恒等式消去参数;③整体消元法:根据参数方程本身的结构特征,从整体上消去参数.化参数方程为普通方程F(x,y)=0:在消参过程中注意变量x,y取值范围的一致性,必须根据参数的取值范围,确定f(t)和g(t)的值域即x,y的取值范围.变式训练3把下列参数方程化为普通方程,并说明它们各表示什么曲线:(1)(t为参数);(2)(θ为参数).热点四 极坐标方程与参数方程的综合应用【例4】在平面直角坐标系xOy中,已知曲线C的参数方程为(α为参数).以直角坐标系原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为ρcos=2.点P为曲线C上的动点,求点P到直线l距离的最大值.规律方法如果直接由曲线的极坐标方程看不出曲线是什么图形,往往先将曲线的极坐标方程化为相应的直角坐标方程,再通过直角坐标方程判断出曲线是什么图形.变式训练4在直角坐标系xOy中,直线l的方程为x-y+4=0,曲线C的参数方程为(α为参数).(1)已知在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位,且以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴)中,点P的极坐标为,判断点P与直线l的位置关系;(2)设点Q是曲线C上的一个动点,求它到直线l的距离的最小值.1.(2012·广东江门调研,理15)已知在极坐标系下,点A,B,O是极点,则△AOB的面积等于__________.2.设直线的参数方程为(t为参数),则其斜截式方程为__________.3.(2012·广东梅州中学三模,15)在极坐标系中,若过点A(3,0)且与极轴垂直的直线交曲线ρ=4cosθ于A,B两点,则|AB|=__________.-5-\n4.(2012·北京丰台三月模拟,11)在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程是(t为参数).以O为极点,x轴正方向为极轴的极坐标系中,圆C的极坐标方程是ρ2-4ρcosθ+3=0.则圆心到直线的距离是__________.5.(2012·广东肇庆二模,理14)在极坐标系中,曲线ρ=2与cosθ+sinθ=0(0≤θ≤π)的交点的极坐标为__________.6.(2012·广东深圳第二次调研,理15)在极坐标系中,已知直线l:ρ(sinθ-cosθ)=a把曲线C:ρ=2cosθ所围成的区域分成面积相等的两部分,则常数a的值是__________.7.(2012·广东茂名二模,理14)已知曲线C的参数方程为(θ为参数),则曲线C上的点到直线x+y+2=0的距离的最大值为__________.参考答案命题调研·明晰考向真题试做1. 解析:如图所示,根据正弦定理,有=,∴ρ=.2.(1,1) 解析:由C1得y=,即y2=x(y≥0).①由C2得x2+y2=2.②由①②联立得3.ρ=2cosθ4. 解析:∵C1:∴C1的方程为2x+y-3=0.∵C2:∴C2的方程为+=1.∵C1与C2有一个公共点在x轴上,且a>0,∴C1与x轴的交点在C2上,代入解得a=.5.解:(1)圆C1的极坐标方程为ρ=2,圆C2的极坐标方程为ρ=4cosθ.解得ρ=2,θ=±,故圆C1与圆C2交点的坐标为,.注:极坐标系下点的表示不唯一.(2)解法一:由得圆C1与C2交点的直角坐标分别为(1,),(1,-).故圆C1与C2的公共弦的参数方程为-≤t≤.(或参数方程写成-≤y≤)解法二:将x=1代入得ρcosθ=1,从而ρ=.-5-\n于是圆C1与C2的公共弦的参数方程为-≤θ≤.精要例析·聚焦热点热点例析【例1】解:设变换为代入第二个方程,得2λx-μy=4与x-2y=2比较,将其变成2x-4y=4,比较系数得λ=1,μ=4.∴伸缩变换公式为即直线x-2y=2图象上所有点的横坐标不变,纵坐标扩大到原来的4倍可得到直线2x′-y′=4.【变式训练1】A 解析:将代入曲线方程2x′2+8y′2=1,得:2·(5x)2+8·(3y)2=1,即50x2+72y2=1.【例2】解:将极坐标方程化为直角坐标方程,得圆的方程x2+y2=2x,即(x-1)2+y2=1,直线的方程为3x+4y+a=0.由题设知,圆心(1,0)到直线的距离为1,即有=1,解得a=-8,或a=2.故a的值为-8或2.【变式训练2】解:(1)因为圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ=4cosθ,ρ=-sinθ,又因为ρ2=x2+y2,ρcosθ=x,ρsinθ=y,所以由ρ=4cosθ,ρ=-sinθ得,ρ2=4ρcosθ,ρ2=-ρsinθ.即x2+y2-4x=0,x2+y2+y=0.所以圆O1和圆O2的直角坐标方程分别为x2+y2-4x=0,x2+y2+y=0.(2)由(1)易得,经过圆O1和圆O2两个交点的直线的直角坐标方程为4x+y=0.【例3】解:(1)由已知由三角恒等式cos2θ+sin2θ=1,可知(x-3)2+(y-2)2=1,这就是它的普通方程.(2)由已知,得t=2x-2,代入y=5+t中,得y=5+(2x-2),即x-y+5-=0就是它的普通方程.【变式训练3】解:(1)由x=1+t,得t=2x-2.∴y=2+(2x-2).∴x-y+2-=0,此方程表示直线.(2)由得两式平方相加得+=1,此方程表示椭圆.【例4】解:ρcos=2化简为ρcosθ+ρsinθ=4,则直线l的直角坐标方程为x+y=4.设点P的坐标为(2cosα,sinα),得P到直线l的距离d=,即d=,其中cosφ=,sinφ=.当sin(α+φ)=-1时,dmax=2+.-5-\n【变式训练4】解:(1)把极坐标系中的点P化为直角坐标,得P(0,4).因为点P的直角坐标(0,4)满足直线l的方程x-y+4=0,所以点P在直线l上.(2)因为点Q在曲线C上,故可设点Q的坐标为(cosα,sinα),从而点Q到直线l的距离是d===cos+2,由此得,当cos=-1时,d取得最小值,且最小值为.创新模拟·预测演练1. 解析:由题意,得∠AOB=-=,∴S△AOB=OA·OB·sin∠AOB=×1×3×=.2.y=x+3-23.2 4.5. 解析:方法一:由或(舍去),得.方法二:由cosθ+sinθ=0tanθ=-1,因为0≤θ≤π,所以θ=,故交点的极坐标为.6.-1 解析:由题意,得直线l和曲线C的直角坐标方程分别为:y-x-a=0,(x-1)2+y2=1.又因为(1,0)在直线l上,所以,0-1-a=0,即a=-1.7.+1 解析:把曲线C的参数方程化为普通方程为(x-1)2+y2=1.曲线C上的点到直线x+y+2=0的最大距离是圆心(1,0)到直线的距离加上半径,∵d==,∴最大距离为+1.-5-

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发布时间:2022-08-25 21:52:57 页数:5
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文章作者:U-336598

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