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高考数学总复习 10-7二项式定理 理 新人教B版
高考数学总复习 10-7二项式定理 理 新人教B版
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10-7二项式定理(理)基础巩固强化1.若(x2+1)(2x+1)9=a0+a1(x+2)+a2(x+2)2+…+a11(x+2)11,则a0+a1+a2+…+a11的值为( )A.2B.-1C.-2D.1[答案] C[解析] 令x+2=1,则x=-1,∴a0+a1+a2+…+a11=(1+1)×(-2+1)9=-2,故选C.2.(2011·烟台月考)如果(3x-)n的展开式中二项式系数之和为128,则展开式中的系数是( )A.7B.-7C.21D.-21[答案] C[解析] ∵2n=128,∴n=7,∴Tr+1=C(3x)7-r·(-)r=(-1)r·37-r·C·x7-,令7-=-3得r=6,∴的系数为(-1)6·3·C=21.3.(2012·山西联合模拟)设f(x)=(2x+1)6,则f(x)的导函数f′(x)展开式中x3的系数为( )A.960B.480C.240D.160[答案] A[解析] ∵f(x)=(2x+1)6,∴f′(x)=12(2x+1)5,其展开式中含x3的项为T3=12·C(2x)5-2=12×23×10x3=960x3,系数为960.4.若(x+1)2n的展开式中,x的奇次项系数和与(x+1)n展开式的各项系数和的差为480,则(x+1)2n的展开式中第4项是( )A.120x4B.210x4C.120x7D.210x6[答案] C8\n[解析] 由题意得22n-1-2n=480,即22n-2·2n-960=0,(2n-32)(2n+30)=0,∴2n=32.∴n=5,从而(x+1)2n=(x+1)10,它的展开式中第四项为T4=T3+1=Cx10-3·13=120x7.故选C.5.(2012·陕西礼泉一中期末)在(1+x)5+(1+x)6+(1+x)7的展开式中,含x4项的系数是首项为-2,公差为3的等差数列的( )A.第11项B.第13项C.第18项D.第20项[答案] D[解析] (1+x)5+(1+x)6+(1+x)7的展开式中,含x4项的系数为C+C+C=C+C+C=5++=55,以-2为首项,3为公差的等差数列的通项公式an=-2+3(n-1)=3n-5,令an=55,即3n-5=55,n=20,故选D.6.在(+)24的展开式中,x的幂指数为整数的项共有( )A.3项B.4项C.5项D.6项[答案] C[解析] 展开式第r+1项Tr+1=C()24-r·r∵12-为整数,0≤r≤24且r∈N,∴r=0,6,12,18,24,故选C.7.(2011·广东理)x(x-)7的展开式中,x4的系数是________.(用数字作答)[答案] 84[解析] x4的系数,即(x-)7展开式中x3的系数,Tr+1=C·x7-r·(-)r=(-2)r·C·x7-2r,令7-2r=3得,r=2,∴所求系数为(-2)2C=84.8.若(2x2-)n的展开式中含有常数项,则最小的正整数n=________.8\n[答案] 5[解析] Tr+1=C(2x2)n-r·(-)r=(-1)r·2n-r·Cx2n-5r,令2n-5r=0,得r=,∵r∈Z,故最小的正整数n=5.9.若(2x+3)3=a0+a1(x+2)+a2(x+2)2+a3(x+2)3,则a0+a1+2a2+3a3=________.[答案] 5[解析] 法1:令x=-2得a0=-1.令x=0得27=a0+2a1+4a2+8a3.因此a1+2a2+4a3=14.∵C(2x)3·30=a3·x3.∴a3=8.∴a1+2a2+3a3=14-a3=6.∴a0+a1+2a2+3a3=-1+6=5.法2:由于2x+3=2(x+2)-1,故(2x+3)3=[2(x+2)-1]3=8(x+2)3-4C(x+2)2+2C(x+2)-1,故a3=8,a2=-12,a1=6,a0=-1.故a0+a1+2a2+3a3=-1+6-24+24=5.10.在(1+x)3+(1+)3+(1+)3的展开式中,x的系数为________(用数字作答).[答案] 7[解析] C+C+C=23-1=7.能力拓展提升11.(2012·山西六校模拟)若(x+y)9按x的降幂排列的展开式中,第二项不大于第三项,且x+y=1,xy<0,则x的取值范围是( )A.(-∞,)B.[,+∞)C.(-∞,-]D.(1,+∞)[答案] D[解析] 二项式(x+y)9的展开式的通项是Tr+1=C·x9-r·yr.依题意有由此得由此解得x>1,即x的取值范围是(1,+∞),选D.8\n12.(2012·河南豫东、豫北十所名校联考)已知n=∫e61dx,那么(x-)n展开式中含x2项的系数为( )A.125B.135C.-135D.-125[答案] B[解析] n=∫e61dx=lnx|e61=6,(x-)6的展开式的通项Tr+1=Cx6-r(-)r=C(-3)rx6-2r,令6-2r=2得r=2,则x2项的系数为C(-3)2=135.13.已知a、b为常数,b>a>0,且a、-、b成等比数列,(a+bx)6的展开式中所有项的系数和为64,则a等于( )A.-B.C.-1D.[答案] B[解析] 由a、-、b成等比数列得ab=,由(a+bx)6展开式中所有项的系数和为64得(a+b)6=64,∴∴∴a=.14.在(-)n的展开式中,只有第5项的二项式系数最大,则展开式中常数项是________.[答案] 7[解析] 由条件知n=8,∴Tr+1=C()8-r·(-)r令8-=0得,r=6,∴展开式的常数项为(-1)6·26-8·C=7.15.已知(+2x)n.8\n(1)若展开式中第5项、第6项与第7项的二项式系数成等差数列,求展开式中二项式系数最大的项的系数;(2)若展开式前三项的二项式系数和等于79,求展开式中系数最大的项.[解析] (1)∵C+C=2C,∴n2-21n+98=0,∴n=7或n=14.当n=7时,展开式中二项式系数最大的项是T4和T5,∴T4的系数=C()423=,T5的系数=C()324=70.当n=14时,展开式中二项式系数最大的项是T8.∴T8的系数=C()727=3432.(2)由C+C+C=79,可得n=12,设Tk+1项的系数最大.∵(+2x)12=()12(1+4x)12,∴∴9.4<k<10.4,∴k=10,∴展开式中系数最大的项为T11.T11=()12C410x10=16896x10.16.(2012·厦门质检)在杨辉三角形中,每一行除首末两个数之外,其余每个数都等于它肩上的两数之和.(1)试用组合数表示这个一般规律;(2)在数表中试求第n行(含第n行)之前所有数之和;(3)试探究在杨辉三角形的某一行能否出现三个连续的数,使它们的比是345,并证明你的结论.8\n[解析] (1)C=C+C.(2)第n+1行数是(1+1)n的展开式,∴第n行前(包括第n行)各数之和为1+2+22+…+2n=2n+1-1.(3)设CCC=345,由=,得=,即3n-7r+3=0.①由=,得=,即4n-9r-5=0.②解①②联立方程组得,n=62,r=27,即CCC=345.1.(2011·新课标全国理,8)(x+)(2x-)5的展开式中各项系数的和为2,则该展开式中常数项为( )A.-40B.-20C.20D.40[答案] D[解析] ∵(x+)(2x-)5的展开式中各项系数和为2,∴令x=1时,(1+a)(2-1)5=2,∴a=1.∵(2x-)5展开式的通项为Tr+1=C·(2x)5-r·(-)r=(-1)r·25-r·C·x5-2r,当5-2r=-1或1时,r=3或2,此时展开式为常数项,∴展开式的常数项为(-1)3·25-3·C+(-1)2·25-2·C=40.2.(2011·三门峡模拟)若二项式(-)n的展开式中第5项是常数项,则自然数n的值可能为( )A.6B.10C.12D.15[答案] C8\n[解析] ∵T5=C()n-4·(-)4=24·是常数项,∴=0,∴n=12.3.(2012·安徽理,7)(x2+2)(-1)5的展开式的常数项是( )A.-3B.-2C.2D.3[答案] D[分析] 由多项式乘法的运算法则知,展开式中的常数项由两部分构成,前一个因式取x2时,后一个因式必须含,前一个因式取2时,后一个因式必须为常数.[解析] 第一个因式取x2,第二个因式取得:1×C(-1)4=5;第一个因式取2,第二个因式取(-1)5得:2×(-1)5=-2,展开式的常数项是5+(-2)=3.故选D.[点评] 利用展开式的通项公式求二项式中的特定项是高考考查的重点.4.(2011·重庆理,4)(1+3x)n(其中n∈N且n≥6)的展开式中x5与x6的系数相等,则n=( )A.6B.7C.8D.9[答案] B[解析] 展开式通项:Tr+1=C(3x)r=3rCxr,由题意:35C=36C即C=3C,∴=,∴=,∴n=7.选B.5.在(3-2)11的展开式中任取一项,设所取项为有理项的概率为α,则xαdx=( )A.B.C.D.[答案] B[解析] 因为展开式一共12项,8\n6.(2011·河南开封模拟)(ax-)8的展开式中x2的系数为70,则a=________.[答案] ±1[解析] 展开式的通项为Tr+1=C(ax)8-r7.设a为函数y=sinx+cosx(x∈R)的最大值,则二项式(a-)6的展开式中含x2项的系数是________.[答案] -192[解析] y=sinx+cosx=2sin的最大值为a=2,二项式6的展开式中第r+1项Tr+1=C(2)6-r·r=(-1)r·26-r·Cx3-r,令3-r=2,则r=1,∴x2项的系数为(-1)1×25×C=-192.8.(2011·安徽宣城模拟)在(x-2)5(+y)4的展开式中x3y2的系数为________.[答案] 480[解析] (x-2)5的展开式的通项为Tr+1=Cx5-r(-2)r,令5-r=3得r=2,得x3的系数C(-2)2=40;(+y)4的展开式的通项公式为Tr+1=C()4-ryr,令r=2得y2的系数C()2=12,于是展开式中x3y2的系数为40×12=480.8
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高考 - 二轮专题
发布时间:2022-08-25 21:39:44
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文章作者:U-336598
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