2022中考数学 压轴题动态几何题型精选解析（三）

2022中考数学压轴题动态几何题型精选解析（三）例题如图1，在直角坐标系中，已知点A（0，2）、点B（﹣2，0），过点B和线段OA的中点C作直线BC，以线段BC为边向上作正方形BCDE．（1）填空：点D的坐标为　　，点E的坐标为　　．（2）若抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过A、D、E三点，求该抛物线的解析式．（3）若正方形和抛物线均以每秒个单位长度的速度沿射线BC同时向上平移，直至正方形的顶点E落在y轴上时，正方形和抛物线均停止运动．①在运动过程中，设正方形落在y轴右侧部分的面积为s，求s关于平移时间t（秒）的函数关系式，并写出相应自变量t的取值范围．②运动停止时，求抛物线的顶点坐标．思路分析：（1）构造全等三角形，由全等三角形对应线段之间的相等关系，求出点D、点E的坐标；（2）利用待定系数法求出抛物线的解析式；（3）本问非常复杂，须小心思考与计算：①为求s的表达式，需要识别正方形（与抛物线）的运动过程．正方形的平移，从开始到结束，总共历时秒，期间可以划分成三个阶段：当0＜t≤时，对应图（3）a；当＜t≤1时，对应图（3）b；当1＜t≤时，对应图（3）c．每个阶段的表达式不同，请对照图形认真思考；②当运动停止时，点E到达y轴，点E（﹣3，2）运动到点E′（0，），可知整条抛物线向右平移了3个单位，向上平移了个单位．由此得到平移之后的抛物线解析式，进而求出其顶点坐标．解：（1）由题意可知：OB=2，OC=1．如图（1）所示，过D点作DH⊥y轴于H，过E点作EG⊥x轴于G．易证△CDH≌△BCO，∴DH=OC=1，CH=OB=2，∴D（﹣1，3）；同理△EBG≌△BCO，∴BG=OC=1，EG=OB=2，∴E（﹣3，2）．∴D（﹣1，3）、E（﹣3，2）．（2）抛物线经过（0，2）、（﹣1，3）、（﹣3，2），4\n则解得∴．（3）①当点D运动到y轴上时，t=．当0＜t≤时，如图（3）a所示．设D′C′交y轴于点F∵tan∠BCO==2，又∵∠BCO=∠FCC′∴tan∠FCC′=2，即=2∵CC′=5t，∴FC′=25t．∴S△CC′F=CC′•FC′=t×t=5t2当点B运动到点C时，t=1．当＜t≤1时，如图（3）b所示．设D′E′交y轴于点G，过G作GH⊥B′C′于H．在Rt△BOC中，BC=∴GH=，∴CH=GH=∵CC′=t，∴HC′=t﹣，∴GD′=t﹣∴S梯形CC′D′G=（t﹣+t）=5t﹣当点E运动到y轴上时，t=．当1＜t≤时，如图（3）c所示设D′E′、E′B′分别交y轴于点M、N∵CC′=t，B′C′=，∴CB′=t﹣，∴B′N=2CB′=t﹣∵B′E′=，∴E′N=B′E′﹣B′N=﹣t4\n∴E′M=E′N=（﹣t）∴S△MNE′=（﹣t）•（﹣t）=5t2﹣15t+∴S五边形B′C′D′MN=S正方形B′C′D′E′﹣S△MNE′=（5t2﹣15t+）=﹣5t2+15t﹣综上所述，S与x的函数关系式为：当0＜t≤时，S=5t2当＜t≤1时，S=5t当1＜t≤时，S=﹣5t2+15t②当点E运动到点E′时，运动停止．如图（3）d所示∵∠CB′E′=∠BOC=90°，∠BCO=∠B′CE′∴△BOC∽△E′B′C∴∵OB=2，B′E′=BC=∴∴CE′=∴OE′=OC+CE′=1+=∴E′（0，）由点E（﹣3，2）运动到点E′（0，），可知整条抛物线向右平移了3个单位，向上平移了个单位．∵=∴原抛物线顶点坐标为（，）∴运动停止时，抛物线的顶点坐标为（，）．4\n点评：本题是非常典型的动面型综合题，全面考查了初中数学代数几何的多个重要知识点，包括：二次函数的图象与性质、待定系数法求解析式、抛物线与几何变换（平移）、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、正方形的性质等．难点在于第（3）问，识别正方形和抛物线平移过程的不同阶段是关键所在．作为中考压轴题，本题涉及考点众多，计算复杂，因而难度很大，对考生综合能力要求很高，具有很好的区分度．4