2022中考数学压轴题 动态几何题型精选解析（一）

2022中考数学压轴题动态几何题型精选解析（一）例题如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+1分别与两坐标轴交于B，A两点，C为该直线上的一动点，以每秒1个单位长度的速度从点A开始沿直线BA向上移动，作等边△CDE，点D和点E都在x轴上，以点C为顶点的抛物线y=a（x﹣m）2+n经过点E．⊙M与x轴、直线AB都相切，其半径为3（1﹣）a．（1）求点A的坐标和∠ABO的度数；（2）当点C与点A重合时，求a的值；（3）点C移动多少秒时，等边△CDE的边CE第一次与⊙M相切？思路分析：（1）已知直线AB的解析式，令解析式的x=0，能得到A点坐标；令y=0，能得到B点坐标；在Rt△OAB中，知道OA、OB的长，用正切函数即可得到∠ABO的读数．（2）当C、A重合时，就告诉了点C的坐标，然后结合OC的长以及等边三角形的特性求出OD、OE的长，即可得到D、E的坐标，利用待定系数即可确定a的值．（3）此题需要结合图形来解，首先画出第一次相切时的示意图（详见解答图）；已知的条件只有圆的半径，那么先连接圆心与三个切点以及点E，首先能判断出四边形CPMN是正方形，那么CP与⊙M的半径相等，只要再求出PE就能进一步求得C点坐标；那么可以从PE=EQ，即Rt△MEP入手，首先∠CED=60°，而∠MEP=∠MEQ，易求得这两个角的度数，通过解直角三角形不难得到PE的长，即可求出PE及点C、E的坐标．然后利用C、E的坐标确定a的值，进而可求出AC的长，由此得解．解：（1）当x=0时，y=1；当y=0时，x=﹣，∴OA=1，OB=，∴A的坐标是（0，1）∠ABO=30°．（2）∵△CDE为等边△，点A（0，1），∴tan30°=，∴，∴D的坐标是（﹣，0），E的坐标是（，0），把点A（0，1），D（﹣，0），E（，0）代入y=a（x﹣m）2+n，2\n解得：a=﹣3．（3）如图，设切点分别是Q，N，P，连接MQ，MN，MP，ME，过点C作CH⊥x轴，H为垂足，过A作AF⊥CH，F为垂足．∵△CDE是等边三角形，∠ABO=30°∴∠BCE=90°，∠ECN=90°∵CE，AB分别与⊙M相切，∴∠MPC=∠CNM=90°，∴四边形MPCN为矩形，∵MP=MN∴四边形MPCN为正方形…6分∴MP=MN=CP=CN=3（1﹣）a（a＜0）．∵EC和x轴都与⊙M相切，∴EP=EQ．∵∠NBQ+∠NMQ=180°，∴∠PMQ=60°∴∠EMQ，=30°，∴在Rt△MEP中，tan30°=，∴PE=（﹣3）a∴CE=CP+PE=3（1﹣）a+（﹣3）a=﹣2a∴DH=HE=﹣a，CH=﹣3a，BH=﹣3a，∴OH=﹣3a﹣，OE=﹣4a﹣∴E（﹣4a﹣，0）∴C（﹣3a﹣，﹣3a）设二次函数的解析式为：y=a（x+3a+）2﹣3a∵E在该抛物线上∴a（﹣4a﹣+3a+）2﹣3a=0得：a2=1，解之得a1=1，a2=﹣1∵a＜0，∴a=﹣1∴AF=2，CF=2，∴AC=4∴点C移动到4秒时，等边△CDE的边CE第一次与⊙M相切．点评：这道二次函数综合题目涉及的知识点较多，有：待定系数法确定函数解析式、等边三角形的性质、切线长定理等重点知识．难度在于涉及到动点问题，许多数值都不是具体值；（3）题中，正确画出草图、贯彻数形结合的解题思想是关键．2