2022中考数学压轴题 函数等腰三角形问题精选解析（三）

2022中考数学压轴题函数等腰三角形问题精选解析(三)例1.如图，已知一次函数y=-x+7与正比例函数y=x的图象交于点A，且与x轴交于点B.（1）求点A和点B的坐标；（2）过点A作AC⊥y轴于点C，过点B作直线l∥y轴．动点P从点O出发，以每秒1个单位长的速度，沿O—C—A的路线向点A运动；同时直线l从点B出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l交x轴于点R，交线段BA或线段AO于点Q．当点P到达点A时，点P和直线l都停止运动．在运动过程中，设动点P运动的时间为t秒.①当t为何值时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8？②是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．（备用图）解析：（1）根据题意，得，解得，∴A(3，4).令y=-x+7=0，得x=7．∴B（7，0）.（2）①当P在OC上运动时，0≤t＜4.由S△APR=S梯形COBA-S△ACP-S△POR-S△ARB=8，得(3+7)×4-×3×(4-t)-t(7-t)-t×4=8整理,得t2-8t+12=0,解之得t1=2,t2=6（舍）当P在CA上运动，4≤t＜7.由S△APR=×(7-t)×4=8，得t=3（舍）∴当t=2时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8.②当P在OC上运动时，0≤t＜4.∴AP=，AQ=t，PQ=7-t当AP=AQ时，（4-t）2+32=2(4-t)2,整理得，t2-8t+7=0.∴t=1,t=7(舍)当AP=PQ时，（4-t）2+32=(7-t)2,整理得，6t=24.∴t=4(舍去)当AQ=PQ时，2（4-t）2=(7-t)25\n整理得，t2-2t-17=0∴t=1±3(舍)当P在CA上运动时，4≤t＜7.过A作AD⊥OB于D,则AD=BD=4.设直线l交AC于E，则QE⊥AC，AE=RD=t-4，AP=7-t.由cos∠OAC==，得AQ=(t-4)．当AP=AQ时，7-t=(t-4)，解得t=.当AQ=PQ时，AE＝PE，即AE=AP得t-4=(7-t)，解得t=5.当AP=PQ时，过P作PF⊥AQ于FAF=AQ=×(t-4).在Rt△APF中，由cos∠PAF＝＝，得AF＝AP即×(t-4)=×(7-t)，解得t=.∴综上所述，t=1或或5或时，△APQ是等腰三角形.例2已知两直线，分别经过点A(1，0)，点B，并且当两直线同时相交于y正半轴的点C时，恰好有，经过点A、B、C的抛物线的对称轴与直线交于点K，如图所示。(1)求点C的坐标，并求出抛物线的函数解析式；ABC://www.gzsxw.net/CDKEFOyx(2)抛物线的对称轴被直线，抛物线，直线和x轴依次截得三条线段，问这三条线段有何数量关系？请说明理由。(3)当直线绕点C旋转时，与抛物线的另一个交点为M，请找出使△MCK为等腰三角形的点M，简述理由，并写出点M的坐标。解析(1)解法1：由题意易知：△BOC∽△COA∴，即∴∴点C的坐标是(0，)由题意，可设抛物线的函数解析式为5\n把A(1，0)，B(，0)的坐标分别代入，得解这个方程组，得∴抛物线的函数解析式为解法2：由勾股定理，得又∵OB=3，OA=1，AB=4∴∴点C的坐标是(0，)由题意可设抛物线的函数解析式为，把C(0，)代入函数解析式得所以，抛物线的函数解析式为(2)解法1：截得三条线段的数量关系为KD=DE=EF理由如下：可求得直线的解析式为，直线的解析式为抛物线的对称轴为直线由此可求得点K的坐标为(，)，点D的坐标为(，)，点E的坐标为(，)，点F的坐标为(，0)∴KD=，DE=，EF=∴KD=DE=EF解法2：截得三条线段的数量关系为KD=DE=EF理由如下：由题意可知Rt△ABC中，∠ABC=30°，∠CAB=60°，则可得，，由顶点D坐标(，)得　∴KD=DE=EF=(3)解法1：(i)以点K为圆心，线段KC长为半径画圆弧，交抛物线于点，由抛物线对称性可知点为点C关于直线的对称点∴点的坐标为(，)，此时△为等腰三角形(ii)当以点C为圆心，线段CK长为半径画圆弧时，与抛物线交点为点和点A，而三点A、C、K在同一直线上，不能构成三角形(iii)作线段KC的中垂线l，由点D是KE的中点，且，可知l经过点D，∴KD=DC此时，有点即点D坐标为(，)，使△为等腰三角形；综上所述，当点M的坐标分别为(，)，(，)时，△MCK为等腰三角形。解法2：当点M的坐标分别为(，)，(，)时，△MCK为等腰三角形。理由如下：(i)连接BK，交抛物线于点G，易知点G的坐标为(，)又∵点C的坐标为(0，)，则GC∥AB5\n∵可求得AB=BK=4，且∠ABK=60°，即△ABK为正三角形∴△CGK为正三角形∴当与抛物线交于点G，即∥AB时，符合题意，此时点的坐标为(，)(ii)连接CD，由KD=，CK=CG=2，∠CKD=30°，易知△KDC为等腰三角形∴当过抛物线顶点D时，符合题意，此时点坐标为(，)(iii)当点M在抛物线对称轴右边时，只有点M与点A重合时，满足CM=CK，但点A、C、K在同一直线上，不能构成三角形综上所述，当点M的坐标分别为(，)，(，)时，△MCK为等腰三角形。例3已知，以AC为边在外作等腰，其中。(1)如图1，若，，四边形ABCD是平行四边形，则______；(2)如图2，若，是等边三角形，，。求BD的长；(3)如图3，若为锐角，作于H。当时，是否成立？若不成立，请说明你的理由；若成立，证明你的结论。解析：(byiC)：第（1）问没什么好说的，送分。第（2）问，这个如果有这个条件的化，可以转化为共圆来做，可是此题并非如此。同样的如果按常规方法，如作高，求BD，题中条件基本用不上。考虑题中的，在“外”的正，由（数学）图形的对称性，容易想到同里以AB，（BC边）向外也等边三角形，如图：正，此时已经转化成极其常见的“经典基本图形”，连CN，立即有：对于第（2）问，反思一下条件，其实直接将绕点A顺时针旋转即可，想到旋转，就基本搞定了，你懂的。第（3）问：知道第(2)的思路与解法后，直接构造出2AH线段即可，如图：，显然有：，5\n由三边对应相等，有两阴影三角形面积相等，再倒倒角，知成立。5