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2022中考数学压轴题 函数等腰三角形问题精选解析(二)

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2022中考数学压轴题函数相似三角形问题(三)例5已知:如图1,在平面直角坐标系xOy中,矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上,OC在x轴的正半轴上,OA=2,OC=3,过原点O作∠AOC的平分线交AB于点D,连接DC,过点D作DE⊥DC,交OA于点E.(1)求过点E、D、C的抛物线的解析式;(2)将∠EDC绕点D按顺时针方向旋转后,角的一边与y轴的正半轴交于点F,另一边与线段OC交于点G.如果DF与(1)中的抛物线交于另一点M,点M的横坐标为,那么EF=2GO是否成立?若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由;(3)对于(2)中的点G,在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q,使得直线GQ与AB的交点P与点C、G构成的△PCG是等腰三角形?若存在,请求出点Q的坐标;若不存在成立,请说明理由.图1动感体验请打开几何画板文件名“09重庆26”,拖动点G在OC上运动,可以体验到,△DCG与△DEF保持全等,双击按钮“M的横坐标为1.2”,可以看到,EF=2,GO=1.拖动点P在AB上运动的过程中,可以体验到,存在三个时刻,△PCG可以成为等腰三角形.思路点拨1.用待定系数法求抛物线的解析式,这个解析式在第(2)、(3)题的计算中要用到.2.过点M作MN⊥AB,根据对应线段成比例可以求FA的长.3.将∠EDC绕点D旋转的过程中,△DCG与△DEF保持全等.4.第(3)题反客为主,分三种情况讨论△PCG为等腰三角形,根据点P的位置确定点Q的位置,再计算点Q的坐标.满分解答(1)由于OD平分∠AOC,所以点D的坐标为(2,2),因此BC=AD=1.由于△BCD≌△ADE,所以BD=AE=1,因此点E的坐标为(0,1).设过E、D、C三点的抛物线的解析式为,那么解4\n得,.因此过E、D、C三点的抛物线的解析式为.(2)把代入,求得.所以点M的坐标为.如图2,过点M作MN⊥AB,垂足为N,那么,即.解得.图2因为∠EDC绕点D旋转的过程中,△DCG≌△DEF,所以CG=EF=2.因此GO=1,EF=2GO.(3)在第(2)中,GC=2.设点Q的坐标为.①如图3,当CP=CG=2时,点P与点B(3,2)重合,△PCG是等腰直角三角形.此时,因此。由此得到点Q的坐标为.②如图4,当GP=GC=2时,点P的坐标为(1,2).此时点Q的横坐标为1,点Q的坐标为.③如图5,当PG=PC时,点P在GC的垂直平分线上,点P、Q与点D重合.此时点Q的坐标为(2,2).图3图4图5考点伸展在第(2)题情景下,∠EDC绕点D旋转的过程中,FG的长怎样变化?设AF的长为m,那么.4\n点F由E开始沿射线EA运动的过程中,FG先是越来越小,F与A重合时,FG达到最小值;F经过点A以后,FG越来越大,当C与O重合时,FG达到最大值4.例6在平面直角坐标系内,O为原点,点A的坐标为(1,0),点C的坐标为(0,4),直线CM//x轴(如图1所示).点B与点A关于原点对称,直线y=x+b(b为常数)经过点B,且与直线CM相交于点D,联结OD.(1)求b的值和点D的坐标;(2)设点P在x轴的正半轴上,若△POD是等腰三角形,求点P的坐标;(3)在(2)的条件下,如果以PD为半径的圆与圆O外切,求圆O的半径.图1动感体验请打开几何画板文件名“09上海24”,拖动点P在x轴正半轴上运动,可以体验到,△POD的形状可以成为等腰三角形,分别双击按钮“PD=PO”、“OD=OP”和“DO=DP”可以显示三个等腰三角形.在点P运动的过程中,两个圆保持相切,可以体验到,当PD=PO时,圆O不存在.思路点拨1.第(1)题情景简单,内容丰富,考查了对称点的坐标特征、待定系数法、代入求值、数形结合.2.分三种情况讨论等腰三角形POD的存在性,三个等腰三角形的求解各具特殊性.3.圆O与圆P的半径、圆心距都是随点P而改变,但是两圆外切,圆心距等于半径和的性质不变.满分解答(1)因为点A的坐标为(1,0),点B与点A关于原点对称,所以点B的坐标为(-1,0).将B(-1,0)代入y=x+b,得b=1.将y=4代入y=x+1,得x=3.所以点D的坐标为(3,4).(2)因为D(3,4),所以OD=5,.①如图2,当PD=PO时,作PE⊥OD于E.在Rt△OPE中,,,所以.此时点P的坐标为.②如图3,当OP=OD=5时,点P的坐标为.③如图4,当DO=DP时,点D在OP的垂直平分线上,此时点P的坐标为.4\n图2图3图4(3)圆P的半径,两圆的圆心距为OP.当两圆外切时,圆O的半径.①如图2,当PD=PO时,,此时圆O不存在.②如图3,当OP=OD=5时,作DH⊥OP于H.在Rt△DHP中,DH=4,HP=2,所以.此时.③如图4,当DO=DP时,.考点伸展如图5,在本题情景下,如果圆P与圆C外切,那么点P的变化范围是什么?如图6,当圆P经过点C时,点P在CD的垂直平分线上,点P的坐标为.因此当点P在x轴上点的右边时,圆P与圆C外切.图5图64

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发布时间:2022-08-25 21:31:49 页数:4
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文章作者:U-336598

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