2022年中考数学专题复习第四单元三角形课时训练二十一相似三角形及其应用练习

课时训练(二十一)　相似三角形及其应用(限时:30分钟)|夯实基础|1.[2022·乐山]如图K21-1,DE∥FG∥BC,若DB=4FB,则EG与GC的关系是(　　)图K21-1A.EG=4GCB.EG=3GCC.EG=52GCD.EG=2GC2.[2022·连云港]如图K21-2,已知△ABC∽△DEF,AB∶DE=1∶2,则下列等式一定成立的是(　　)图K21-211\nA.BCDF=12B.∠A的度数∠D的度数=12C.△ABC的面积△DEF的面积=12D.△ABC的周长△DEF的周长=123.[2022·枣庄]如图K21-3,在△ABC中,∠A=78°,AB=4,AC=6.将△ABC沿图示中的虚线剪开,剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是(　　)图K21-3图K21-44.如图K21-5,下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是(　　)图K21-5A.∠ABD=∠ACBB.∠ADB=∠ABCC.AB2=AD·ACD.ADAB=ABBC5.[2022·绍兴]学校门口的栏杆如图K21-6所示,栏杆从水平位置BD绕O点旋转到AC位置,已知AB⊥BD,CD⊥BD11\n,垂足分别为B,D,AO=4m,AB=1.6m,CO=1m,则栏杆C端应下降的垂直距离CD为(　　)A.0.2mB.0.3mC.0.4mD.0.5m图K21-6　6.[2022·毕节]如图K21-7,在平行四边形ABCD中,E是DC上的点,DE∶EC=3∶2,连接AE交BD于点F,则△DEF与△BAF的面积之比为(　　)图K21-7A.2∶5B.3∶5C.9∶25D.4∶257.[2022·永州]如图K21-8,在△ABC中,点D是边AB上的一点,∠ADC=∠ACB,AD=2,BD=6,则边AC的长为(　　)图K21-8A.2B.4C.6D.88.[2022·南充]如图K21-9,在△ABC中,DE∥BC,BF平分∠ABC,交DE的延长线于点F,若AD=1,BD=2,BC=4,则EF=　　　　. 11\n图K21-99.[2022·岳阳]《九章算术》是我国古代数学名著,书中有下列问题:“今有勾五步,股十二步,问勾中容方几何?”其意思为:“今有直角三角形,勾(短直角边)长为5步,股(长直角边)长为12步,问该直角三角形能容纳的正方形边长最大是多少步?”该问题的答案是　　　　步. 图K21-1010.[2022·菏泽]如图K21-11,△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形,相似比为3∶4,∠OCD=90°,∠AOB=60°,若点B的坐标是(6,0),则点C的坐标是　　　　. 图K21-1111.[2022·上海]如图K21-12,已知正方形DEFG的顶点D,E在△ABC的边BC上,顶点G,F分别在边AB,AC上.如果BC=4,△ABC的面积是6,那么这个正方形的边长是　　　　. 图K21-1212.如图K21-13,在△ABC中,AD⊥BC,BE⊥AC,垂足分别为D,E,AD与BE相交于点F.11\n图K21-13(1)求证:△ACD∽△BFD;(2)当tan∠ABD=1,AC=3时,求BF的长.13.如图K21-14,已知EC∥AB,∠EDA=∠ABF.(1)求证:四边形ABCD是平行四边形;(2)求证:OA2=OE·OF.图K21-1411\n|拓展提升|14.如图K21-15,AB是☉O的直径,C为☉O上一点,AE和过点C的切线互相垂直,垂足为E,AE交☉O于点D,直线EC交AB的延长线于点P,连接AC,BC,PB∶PC=1∶2.(1)求证:AC平分∠BAD;(2)探究线段PB,AB之间的数量关系,并说明理由.图K21-1511\n11\n参考答案1.B　[解析]∵DE∥FG∥BC,∴DBBF=ECCG,又∵DB=4FB,∴DBBF=ECCG=41,∴EC=4CG,∴EG=3GC,故选择B.2.D　[解析]根据“相似三角形的周长比等于相似比”可得两个三角形的周长比是1∶2,因此D选项正确.3.C　[解析]A.阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等,故两三角形相似;B.阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等,故两三角形相似;C.两三角形的对应边成比例,但夹角不相等,故两三角形不相似;D.两三角形对应边成比例且夹角相等,故两三角形相似.故选C.4.D　[解析]在△ADB和△ABC中,∠A是它们的公共角,那么当ADAB=ABAC时,才能使△ADB∽△ABC,不是ADAB=ABBC.故选D.5.C　[解析]由题意可知△ABO∽△CDO,根据相似三角形的性质可得AOCO=ABCD,∵AO=4m,AB=1.6m,CO=1m,∴41=1.6CD,CD=1.6×1÷4=0.4(m),故选C.6.C　[解析]∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,且AB=CD,∴∠EDF=∠ABF,∠DEF=∠BAF,∴△DEF∽△BAF,又∵DE∶EC=3∶2,∴DEAB=35,∴S△DEFS△BAF=352=925,故选C.7.B　[解析]∵∠A=∠A,∠ADC=∠ACB,∴△ADC∽△ACB,∴AC∶AB=AD∶AC,∴AC2=AD·AB=2×8=16,∵AC>0,∴AC=4.因此本题选B.8.23　[解析]∵DE∥BC,AD=1,BD=2,BC=4,∴ADAB=DEBC,即13=DE4,解得:DE=43.∵BF平分∠ABC,∴∠ABF=∠FBC,又∵DE∥BC,∴∠FBC=∠F,∴∠ABF=∠F,∴BD=DF=2,∵DF=DE+EF,∴EF=2-43=23.故答案为:23.9.6017　[解析]如图①,∵四边形CDEF是正方形,∴CD=ED=CF.设ED=x,则CD=x,AD=12-x.∵DE∥CF,∴∠ADE=∠C,∠AED=∠B,∴△ADE∽△ACB,11\n∴DEBC=ADAC,∴x5=12-x12,∴x=6017.如图②,四边形DGFE是正方形,过C作CP⊥AB于P,交DG于Q,设ED=y,S△ABC=12AC·BC=12AB·CP,则12×5=13CP,CP=6013,同理得:△CDG∽△CAB,∴DGAB=CQCP,∴y13=6013-y6013,y=780229<6017,∴该直角三角形能容纳的正方形边长最大是6017步,故答案为:6017.10.(2,23)　[解析]如图,作AE⊥x轴于E,∵∠OCD=90°,∠AOB=60°,∴∠ABO=∠OAE=30°.∵点B的坐标是(6,0),∴AO=12OB=3,∴OE=12OA=32,∴AE=OA2-OE2=32-(32) 2=332,∴A32,332.∵△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形,相似比为3∶4,∴点C的坐标为32×43,332×43,即(2,23).11.127　[解析]作AH⊥BC于点H,交GF于点I,设正方形DEFG的边长是x.因为△ABC的面积是6,所以12×BC×AH=6,又因为BC=4,所以AH=3,AI=3-x,在正方形DEFG中,GF∥BC,所以GFBC=AIAH,3-x3=x4,解得x=127,所以正方形的边长是127.12.解:(1)证明:∵AD⊥BC,BE⊥AC,∴∠BDF=∠ADC=∠BEC=90°,11\n∴∠C+∠DBF=90°,∠C+∠DAC=90°,∴∠DBF=∠DAC,∴△ACD∽△BFD.(2)∵tan∠ABD=1,∠ADB=90°,∴ADBD=1,∴AD=BD,∵△ACD∽△BFD,∴ACBF=ADBD=1,∴BF=AC=3.13.证明:(1)∵EC∥AB,∴∠C=∠ABF.∵∠EDA=∠ABF,∴∠C=∠EDA.∴DA∥CF.又∵EC∥AB,∴四边形ABCD是平行四边形.(2)∵DA∥CF,∴OAOF=ODOB.∵EC∥AB,∴OEOA=ODOB.∴OAOF=OEOA,即OA2=OE·OF.14.解:(1)证明:如图,连接OC.11\n∵PE是☉O的切线,∴OC⊥PE,∵AE⊥PE,∴OC∥AE,∴∠DAC=∠OCA,∵OA=OC,∴∠OCA=∠OAC,∴∠DAC=∠OAC,∴AC平分∠BAD.(2)线段PB,AB之间的数量关系为AB=3PB.理由:∵AB是☉O的直径,∴∠ACB=90°,∴∠BAC+∠ABC=90°,∵OB=OC,∴∠OCB=∠ABC,∵∠PCB+∠OCB=90°,∴∠PCB=∠PAC,又∵∠P是公共角,∴△PCB∽△PAC,∴PCPA=PBPC,∴PC2=PB·PA,∵PB∶PC=1∶2,∴PC=2PB,∴PA=4PB,∴AB=3PB.11