2022年中考数学专题复习第四单元三角形课时训练二十三解直角三角形的应用练习

课时训练(二十三)　解直角三角形的应用(限时:30分钟)|夯实基础|1.[2022·温州]如图K23-1,一辆小车沿倾斜角为α的斜坡向上行驶13米,已知cosα=1213,则小车上升的高度是(　　)图K23-1A.5米B.6米C.6.5米D.12米2.[2022·长春]如图K23-2,某地修建高速公路,要从A地向B地修一条隧道(点A,B在同一水平面上).为了测量A,B两地之间的距离,一架直升飞机从A地出发,垂直上升800米到达C处,在C处观察B地的俯角为α,则A,B两地之间的距离为(　　)10\n图K23-2A.800sinα米B.800tanα米C.800sinα米D.800tanα米3.[2022·苏州]如图K23-3,某海监船以20海里/时的速度在某海域执行巡航任务,当海监船由西向东航行至A处时,测得岛屿P恰好在其正北方向,继续向东航行1小时到达B处,测得岛屿P在其北偏西30°方向,保持航向不变又航行2小时到达C处,此时海监船与岛屿P之间的距离(即PC的长)为(　　)图K23-3A.40海里B.60海里C.203海里D.403海里4.[2022·重庆B卷]如图K23-4,已知点C与某建筑物底端B相距306米(点C与点B在同一水平面上),某同学从点C出发,沿同一剖面的斜坡CD行走195米至坡顶D处.斜坡CD的坡度(或坡比)i=1∶2.4,在D处测得该建筑物顶端A的俯角为20°,则建筑物AB的高度约为(　　)(精确到0.1米,参考数据:sin20°≈0.342,cos20°≈0.940,tan20°≈0.364)图K23-4A.29.1米B.31.9米C.45.9米D.95.9米5.如图K23-5,轮船沿正南方向以30海里/时的速度匀速航行,在M处观测到灯塔P在西偏南68°方向上;航行2小时后到达N处,观测到灯塔P10\n在西偏南46°方向上,若该船继续向南航行至离灯塔最近位置,则此时轮船离灯塔的距离约为(由科学计算器得到sin68°=0.9272,sin46°=0.7193,sin22°=0.3746,sin44°=0.6947)(　　)图K23-5A.22.48海里B.41.68海里C.43.16海里D.55.63海里6.[2022·泰州]小明沿着坡度i为1∶3的直路向上走了50m,则小明沿垂直方向升高了　　　　m. 7.如图K23-6,在一次数学课外实践活动中,小聪在距离旗杆10m的A处测得旗杆顶端B的仰角为60°,测角仪高AD为1m,则旗杆高BC为　　　　m(结果保留根号). 图K23-68.[2022·南宁]如图K23-7,从甲楼底部A处测得乙楼顶部C处的仰角是30°,从甲楼顶部B处测得乙楼底部D处的俯角是45°.已知甲楼的高AB是120m,则乙楼的高CD是　　　　m.(结果保留根号) 图K23-79.[2022·宁夏]一艘货轮以182km/h的速度在海面上沿正东方向航行,当行驶至A处时,发现它的东南方向有一灯塔B,货轮继续向东航行30分钟后到达C处,发现灯塔B在它的南偏东15°方向,则此时货轮与灯塔B的距离为　　　　km. 10\n图K23-810.[2022·苏州]如图K23-9,在一笔直的沿湖道路上有A,B两个游船码头,观光岛屿C在码头A北偏东60°的方向,在码头B北偏西45°的方向,AC=4km.游客小张准备从观光岛屿C乘船沿CA回到码头A或沿CB回到码头B,设开往码头A,B的游船速度分别为v1,v2,若回到A,B所用时间相等,则v1v2=　　　　(结果保留根号). 图K23-911.[2022·成都]由我国完全自主设计、自主建造的首艘国产航母于2022年5月成功完成第一次海上试验任务,如图K23-10,航母由西向东航行,到达A处时,测得小岛C位于它的北偏东70°方向,且与航母相距80海里,再航行一段时间后到达B处,测得小岛C位于它的北偏东37°方向,如果航母继续航行至小岛C的正南方向的D处,求还需航行的距离BD的长.(参考数据:sin70°≈0.94,cos70°≈0.34,tan70°≈2.75,sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75)图K23-1010\n12.[2022·河南]如图K23-11所示,我国两艘海监船A,B在南海海域巡航.某一时刻,两船同时收到指令,立即前往救援遇险抛锚的渔船C,此时,B船在A船的正南方向5海里处,A船测得渔船C在其南偏东45°方向,B船测得渔船C在其南偏东53°方向,已知A船的航速为30海里/时,B船的航速为25海里/时,问C船至少要等待多长时间才能得到救援?参考数据:sin53°≈45,cos53°≈35,tan53°≈43,2≈1.41图K23-11|拓展提升|13.[2022·泰州]日照间距系数反映了房屋日照情况,如图K23-12①,当前后房屋都朝向正南时,日照间距系数=L∶(H-H1),其中L为楼间水平距离,H为南侧楼房高度,H1为北侧楼房底层窗台至地面高度.如图②,山坡EF朝北,EF长为15m,坡度为i=1∶0.75,山坡顶部平地EM上有一高为22.5m的楼房AB,底部A到E点的距离为4m.10\n图K23-12(1)求山坡EF的水平宽度FH;(2)欲在AB楼正北侧山脚的平地FN上建一楼房CD,已知该楼底层窗台P处至地面C处的高度为0.9m,要使该楼的日照间距系数不低于1.25,底部C距F处至少多远?10\n参考答案1.A　[解析]小车水平行驶的距离为13×cosα=12(米),由勾股定理得其上升的高度为132-122=5(米).2.D　[解析]由题中条件可知,在Rt△ABC中,∠ABC=α,AC=800米,由题意得tanα=ACAB,可得AB=800tanα米.3.D　[解析]解答本题时要利用直角三角形的边角关系和勾股定理来进行计算.由题意可知AB=20海里,∠APB=30°,∴PA=203海里,∵BC=2×20=40(海里),∴AC=60海里,∴PC=PA2+AC2=(203)2+602=403(海里),故选D.4.A　[解析]过点D作DE⊥BC,垂足为E,解直角三角形CDE得:DE=75米,CE=180米,根据BC=306米可求得BE=126米,过A作AF⊥DE于F,所以AF=BE=126米,∵∠DAF=20°,根据tan20°≈0.364,即DFAF=DF126=0.364,求得DF=45.864米,∴AB=75-DF≈29.1米.5.B　[解析]如图,过点P作PA⊥MN于点A,MN=30×2=60(海里),∵∠MNC=90°,∠CNP=46°,∴∠MNP=∠MNC+∠CNP=136°,∵∠BMP=68°,∴∠PMN=90°-∠BMP=22°,∴∠MPN=180°-∠PMN-∠PNM=22°,∴∠PMN=∠MPN,∴MN=PN=60海里,∵∠CNP=46°,∴∠PNA=44°,10\n∴PA=PN·sin∠PNA=60×0.6947≈41.68(海里).6.25　[解析]如图,过点B作BE⊥AE于点E,∵坡度i=1∶3,∴tanA=1∶3=33,∴∠A=30°,∵AB=50m,∴BE=12AB=25(m).∴他升高了25m.7.(103+1)8.403　[解析]∵俯角是45°,∴∠BDA=45°,∴AB=AD=120m,又∵∠CAD=30°,∴在Rt△ADC中,tan∠CAD=tan30°=CDAD=33,∴CD=403(米).9.18　[解析]如图,过点C作CD⊥AB于点D,则∠CAD=45°,∠ACB=105°,从而∠B=30°,由题意得AC=12×182=92(km).在Rt△ACD中,sin∠CAD=CDAC,从而CD=ACsin∠CAD=92×sin45°=92×22=9(km).在Rt△BCD中,∵∠B=30°,∴BC=2CD=18(km),故填18.10.2　[解析]作CD⊥AB,垂足为D,∵AC=4,∠CAB=30°,∴CD=2.在Rt△BCD中,∠CBD=45°,∴BC=22.∵开往码头A,B的游船回到A,B所用时间相等,∴4v1=22v2,∴v1v2=422=2.10\n11.解:由题意得,∠ACD=70°,∠BCD=37°,AC=80.在Rt△ADC中,cos∠ACD=CDAC,∴CD=AC·cos70°≈80×0.34=27.2(海里).在Rt△BDC中,tan∠BCD=BDCD,∴BD=CD·tan37°≈27.2×0.75=20.4(海里).答:还需航行的距离BD的长为20.4海里.12.解:如图,过点C作CD⊥AB于点D,设BD为x海里,在Rt△ACD中,∠DAC=45°,∴AD=DC=(x+5)海里,在Rt△BCD中,由tan53°=CDBD,得x+5x=43,∴x=15,则BC=152+202=25(海里),AC=202+202=202(海里),∴A到C用时为:20230≈0.94小时,B到C用时为:2525=1小时,∵0.94<1,∴C船至少要等0.94小时才能得到救援.10\n13.解:(1)在Rt△EFH中,EHFH=i=1∶0.75,EH2+FH2=EF2=152,∴FH=9,EH=12,答:山坡EF的水平宽度FH的长度为9m.(2)过点A作AG⊥CF,交CF的延长线于点G,过点P作PK⊥AG于点K,则KG=PC=0.9,AG=EH=12,∴BK=BA+AG-KG=22.5+12-0.9=33.6,∵PKBK≥1.25,∴PK≥1.25BK=1.25×33.6=42,∴CG≥42,∵FH=9,HG=EA=4,∴CF≥29,答:底部C距F处至少29m.10