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2022年中考数学专题复习讲座 相似三角形(学生版)

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相似三角形第一部分讲解部分(一)课标要求1.理解相似三角形的概念,总结相似三角形的对应角相等、对应边成比例等性质,掌握它们的基本运用。2.经历三角形相似与全等的类比过程,进一步体验类比思想、特殊与一般的辩证思想。掌握判定两个三角形相似的基本方法;掌握两个相似三角形的周长比、面积比以及对应的角平分线比、对应的中线比、对应的高的比的性质;知道三角形的重心。会用相似三角形的判定与性质解决简单的几何问题和实际问题。(二)知识要点1.相似三角形的定义:对应角相等,对应边的比相等的两个三角形。对应边的比叫做相似比。三条平行线截两条直线所得的对应线段的比相等。2.相似三角形的判定:①平行法②三组对应边的比相等(类似于三角形全等判定“SSS”)③两组对应边的比相等,且夹角相等(类似于三角形全等判定“SAS”)④两角对应相等(AA)直角三角形中斜边、直角边对应比相等(类似于直角三角形全等判定“HL”)。相似三角形的基本图形:判断三角形相似,若已知一角对应相等,可先考虑另一角对应相等,注意公共角或对顶角或同角(等角)的余角(或补角)相等,若找不到第二对角相等,就考虑夹这个角的两对应边的比相等;若无法得到角相等,就考虑三组对应边的比相等。abcABCDEFmn3.相似三角形的性质:①对应角相等②对应边的比相等③对应的高、中线、角平分线、周长之比等于相似比④对应的面积之比等于相似比的平方。4.相似三角形的应用:求物体的长或宽或高;求有关面积等。(三)考点精讲考点一:平行线分线段成比例例1、(2022广东肇庆)如图,已知直线a∥b∥c,直线m、n与a、b、c分别交于点A、C、E、B、D、F,AC=4,CE=6,BD=3,则BF=()A.7B.7.5C.8D.8.5例2(2022•福州) 如图,已知△ABC,AB=AC=1,∠A=36°,∠ABC的平分线BD交AC于点D,则AD的长是,cosA的值是.(结果保留根号)21\n练习:1.(2022湖南怀化,6,3)如图所示:△ABC中,DE∥BC,AD=5,BD=10,AE=3,则CE的值为()A.9B.6C.3D.42.(2022山东泰安,15,3分)如图,点F是□ABCD的边CD上一点,直线BF交AD的延长线于点E,则下列结论错误的是()A.B.C.D.3.(2022•孝感)如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD平分∠ABC交AC于点D,若AC=2,则AD的长是(  )A.B.C.D.考点二:相似三角形的判定例3、(2022湖北荆州)如图,P为线段AB上一点,AD与BC交于E,∠CPD=∠A=∠B,BC交PD于F,AD交PC于G,则图中相似三角形有()A.1对  B.2对   C.3对    D.4对 例4、(2022江苏泰州)一个铝质三角形框架三条边长分别为24cm、30cm、36cm,要做一个与它相似的铝质三角形框架,现有长为27cm、45cm的两根铝材,要求以其中的一根为一边,从另一根上截下两段(允许有余料)作为另外两边.截法有()A.0种B.1种C.2种D.3种例5(2022•徐州)如图,在正方形ABCD中,E是CD的中点,点F在BC上,且FC=BC.图中相似三角形共有(  )A.1对B.2对C.3对D.4对21\n例6(2022•资阳)(1)如图(1),正方形AEGH的顶点E、H在正方形ABCD的边上,直接写出HD:GC:EB的结果(不必写计算过程);(2)将图(1)中的正方形AEGH绕点A旋转一定角度,如图(2),求HD:GC:EB;(3)把图(2)中的正方形都换成矩形,如图(3),且已知DA:AB=HA:AE=m:n,此时HD:GC:EB的值与(2)小题的结果相比有变化吗?如果有变化,直接写出变化后的结果(不必写计算过程).练习:1.(2022江苏无锡,7,3分)如图,四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O,且将这个四边形分成①、②、③、④四个三角形.若OA∶OC=OB∶OD,则下列结论中一定正确的是()A.①和②相似B.①和③相似C.①和④相似D.②和④相似ABCDO①②⊙o⊙③⊙o⊙④⊙o⊙(第7题)2.(2022新疆乌鲁木齐,10,4分)如图,等边三角形的边长为3,点为边上一点,且,点为边上一点若,则的长为A.B.C.D.13.(2022•攀枝花)如图,△ABC≌△ADE且∠ABC=∠ADE,∠ACB=∠AED,BC、DE交于点O.则下列四个结论中,①∠1=∠2;②BC=DE;③△ABD∽△ACE;④A、O、C、E四点在同一个圆上,一定成立的有(  )A.1个B.2个C.3个D.4个21\n4.(2022•义乌市)在锐角△ABC中,AB=4,BC=5,∠ACB=45°,将△ABC绕点B按逆时针方向旋转,得到△A1BC1.(1)如图1,当点C1在线段CA的延长线上时,求∠CC1A1的度数;(2)如图2,连接AA1,CC1.若△ABA1的面积为4,求△CBC1的面积;(3)如图3,点E为线段AB中点,点P是线段AC上的动点,在△ABC绕点B按逆时针方向旋转过程中,点P的对应点是点P1,求线段EP1长度的最大值与最小值.ABDC考点三:相似三角形的性质例7、(2022山东烟台)如图,△ABC中,点D在线段BC上,且△ABC∽△DBA,则下列结论一定正确的是()A.AB2=BC·BDB.AB2=AC·BDC.AB·AD=BD·BCD.AB·AD=AD·CD(例5)例8、(2022浙江嘉兴)如图,边长为4的等边△ABC中,DE为中位线,则四边形BCED的面积为(  )(A)(B)(C)(D)例9(2022•重庆)已知△ABC∽△DEF,△ABC的周长为3,△DEF的周长为1,则ABC与△DEF的面积之比为9:121\n.练习1.(2022青海西宁,10,3分)如图6,在等边△ABC中,D为BC边上一点,E为AC边上一点,且∠ADB+∠EDC=120°,BD=3,CE=2,则△ABC的边长为A.9B.12C.16D.18ABCDEGFO2.(2022四川雅安,9,3分)如图,D、E、F分别为△ABC三边的中点,则下列说法中不正确的为()A.△ADE∽△ABCB.C.D.DF=EF3.(2022四川内江,加试2,6分)如图,在△ABC中,点D、E分别是边AB、AC的中点,DF过EC的中点G并与BC的延长线交于点F,BE与DF交于点O.若△ADE的面积为S,则四边形BOGC的面积=.4.(2022辽宁丹东,16,3分)已知:如图,DE是△ABC的中位线,点P是DE的中点,CP的延长线交AB于点Q,那么______________.考点四位似例10(2022•玉林)如图,正方形ABCD的两边BC,AB分别在平面直角坐标系的x轴、y轴的正半轴上,正方形A′B′C′D′与正方形ABCD是以AC的中点O′为中心的位似图形,已知AC=3,若点A′的坐标为(1,2),则正方形A′B′C′D′与正方形ABCD的相似比是(  )A.B.C.D.21\n对应训练(2022•咸宁)如图,正方形OABC与正方形ODEF是位似图形,O为位似中心,相似比为1:,点A的坐标为(1,0),则E点的坐标为(  )A.(,0)B.(C.D.考点五:相似三角形的应用例6、(2022安徽芜湖)如图,光源P在横杆AB的正上方,AB在灯光下的影子为CD,AB∥CD,AB=2m,CD=6m,点P到CD的距离是2.7m,则_______m.例7、(2022青海)如图,△ABC是一块锐角三角形的材料,边BC=120mm,高AD=80mm,要把它加工成正方形零件,使正方形的一边在BC上,其余两个顶点分别在AB、AC上,这个正方形零件的边长是  mm.练习:1.(2022湖北黄石,13,3分)有甲乙两张纸条,甲纸条的宽是乙纸条宽的2倍,如图(4).将这两张纸条交叉重叠地放在一起,重合部分为四边形ABCD,则AB与BC的数量关系为。(五)真题演练21\n2、(2022重庆江津)已知如图(1)、(2)中各有两个三角形,其边长和角的度数已在图上标注,图(2)中AB、CD交于O点,对于各图中的两个的两个三角形而言,下列说法正确的是()35°75°75°70°(1)ABCDO4368(2)A.都相似B.都不相似C.只有(1)相似D.只有(2)相似3、(2022黑龙江鸡西)如图,A、B、C、D是⊙O上的四个点,AB=AC,AD交BC于点E,AE=3,ED=4,则AB的长为()A.3B.2C.D.3(第3题)(第5题)5、(2022山东滨州)如图,直线PM切⊙O于点M,直线PO交⊙O于A、B两点,弦AC∥PM,连接OM、BC.求证:(1)△ABC∽△POM;(2)2OA2=OP·BC.【聚焦山东中考】1.(2022•潍坊)已知矩形ABCD中,AB=1,在BC上取一点E,沿AE将△ABE向上折叠,使B点落在AD上的F点,若四边形EFDC与矩形ABCD相似,则AD=(  )A.B.C.D.22.21\n(2022•东营)如图,在直角坐标系中,矩形OABC的顶点O在坐标原点,边OA在x轴上,OC在y轴上,如果矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似,且矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的,那么点B′的坐标是(  )A.(-2,3)B.(2,-3)C.(3,-2)或(-2,3)D.(-2,3)或(2,-3)3.(2022•日照)在菱形ABCD中,E是BC边上的点,连接AE交BD于点F,若EC=2BE,则的值是(  )A.B.C.D.4.(2022•德州)为了测量被池塘隔开的A,B两点之间的距离,根据实际情况,作出如图图形,其中AB⊥BE,EF⊥BE,AF交BE于D,C在BD上.有四位同学分别测量出以下四组数据:①BC,∠ACB; ②CD,∠ACB,∠ADB;③EF,DE,BD;④DE,DC,BC.能根据所测数据,求出A,B间距离的有(  )A.1组B.2组C.3组D.4组F5.(2022•威海)如图,在平面直角坐标系中,△ABC的顶点坐标分别为(4,0),(8,2),(6,4).已知△A1B1C1的两个顶点的坐标为(1,3),(2,5),若△ABC与△A1B1C1位似,则△A1B1C1的第三个顶点的坐标为(3,4)或(0,4).6.(2022•菏泽)如图,在边长为1的小正方形组成的网格中,△ABC和△DEF的顶点都在格点上,P1,P2,P3,P4,P5是△DEF边上的5个格点,请按要求完成下列各题:(1)试证明三角形△ABC为直角三角形;(2)判断△ABC和△DEF是否相似,并说明理由;(3)画一个三角形,使它的三个顶点为P1,P2,P3,P4,P5中的3个格点并且与△ABC相似(要求:用尺规作图,保留痕迹,不写作法与证明).21\n聚焦全国1.(2022•天门)如图,△ABC为等边三角形,点E在BA的延长线上,点D在BC边上,且ED=EC.若△ABC的边长为4,AE=2,则BD的长为(  )A.2B.3C.D.2.(2022•宁德)如图,在矩形ABCD中,AB=2,BC=3,点E、F、G、H分别在矩形ABCD的各边上,EF∥AC∥HG,EH∥BD∥FG,则四边形EFGH的周长是(  )A.B.C.D.3.(2022•柳州)小张用手机拍摄得到甲图,经放大后得到乙图,甲图中的线段AB在乙图中的对应线段是(  )A.FGB.FHC.EHD.EF4.(2022•铜仁地区)如图,六边形ABCDEF∽六边形GHIJKL,相似比为2:1,则下列结论正确的是(  )A.∠E=2∠KB.BC=2HIC.六边形ABCDEF的周长=六边形GHIJKL的周长21\nD.S六边形ABCDEF=2S六边形GHIJKL5.(2022•荆州)下列4×4的正方形网格中,小正方形的边长均为1,三角形的顶点都在格点上,则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是(  )A.B.C.D.6.(2022•海南)如图,点D在△ABC的边AC上,要判定△ADB与△ABC相似,添加一个条件,不正确的是(  )A.∠ABD=∠CB.∠ADB=∠ABCC.D.7.(2022•遵义)如图,在△ABC中,EF∥BC,,S四边形BCFE=8,则S△ABC=(  )A.9B.10C.12D.138.(2022•宜宾)如图,在四边形ABCD中,DC∥AB,CB⊥AB,AB=AD,CD=AB,点E、F分别为AB、AD的中点,则△AEF与多边形BCDFE的面积之比为(  )A.B.C.D.21\n9.(2022•钦州)图中两个四边形是位似图形,它们的位似中心是(  )A.点MB.点NC.点OD.点P10.(2022•毕节地区)如图,在平面直角坐标系中,以原点O为位中心,将△ABO扩大到原来的2倍,得到△A′B′O.若点A的坐标是(1,2),则点A′的坐标是(  )A.(2,4)B.(-1,-2)C.(-2,-4)D.(-2,-1)二、填空题11.(2022•宿迁)如图,已知P是线段AB的黄金分割点,且PA>PB,若S1表示PA为一边的正方形的面积,S2表示长是AB,宽是PB的矩形的面积,则S1=S2.(填“>”“=”或“<”)12.(2022•自贡)正方形ABCD的边长为1cm,M、N分别是BC、CD上两个动点,且始终保持AM⊥MN,当BM=cm时,四边形ABCN的面积最大,最大面积为cm2.21\n13.(2022•资阳)如图,O为矩形ABCD的中心,M为BC边上一点,N为DC边上一点,ON⊥OM,若AB=6,AD=4,设OM=x,ON=y,则y与x的函数关系式为。14.(2022•镇江)如图,E是▱ABCD的边CD上一点,连接AE并延长交BC的延长线于点F,且AD=4,,则CF的长为2.15.(2022•泰州)如图,在边长相同的小正方形组成的网格中,点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上,AB、CD相交于点P,则tan∠APD的值是2.16.(2022•青海)如图,利用标杆BE测量建筑物的高度,标杆BE高1.5m,测得AB=2m,BC=14cm,则楼高CD为12m.17.(2022•娄底)如图,在一场羽毛球比赛中,站在场内M处的运动员林丹把球从N点击到了对方内的B点,已知网高OA=1.52米,OB=4米,OM=5米,则林丹起跳后击球点N离地面的距离NM=3.42米.21\n18.(2022•北京)如图,小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB,他调整自己的位置,设法使斜边DF保持水平,并且边DE与点B在同一直线上.已知纸板的两条直角边DE=40cm,EF=20cm,测得边DF离地面的高度AC=1.5m,CD=8m,则树高AB=5.5m.19.(2022•阜新) 如图,△ABC与△A1B1C1为位似图形,点O是它们的位似中心,位似比是1:2,已知△ABC的面积为3,那么△A1B1C1的面积是12.三、解答题20.(2022•上海)己知:如图,在菱形ABCD中,点E、F分别在边BC、CD,∠BAF=∠DAE,AE与BD交于点G.(1)求证:BE=DF;(2)当时,求证:四边形BEFG是平行四边形.21\n21.(2022•云南)如图,在△ABC中,∠C=90°,点D是AB边上的一点,DM⊥AB,且DM=AC,过点M作ME∥BC交AB于点E.求证:△ABC∽△MED.22.(2022•株洲)如图,在矩形ABCD中,AB=6,BC=8,沿直线MN对折,使A、C重合,直线MN交AC于O.(1)求证:△COM∽△CBA;     (2)求线段OM的长度.23.(2022•株洲)如图,在△ABC中,∠C=90°,BC=5米,AC=12米.M点在线段CA上,从C向A运动,速度为1米/秒;同时N点在线段AB上,从A向B运动,速度为2米/秒.运动时间为t秒.(1)当t为何值时,∠AMN=∠ANM?(2)当t为何值时,△AMN的面积最大?并求出这个最大值.21\n24.(2022•江西)如图1,小红家阳台上放置了一个晒衣架.如图2是晒衣架的侧面示意图,立杆AB、CD相交于点O,B、D两点立于地面,经测量:AB=CD=136cm,OA=OC=51cm,OE=OF=34cm,现将晒衣架完全稳固张开,扣链EF成一条直线,且EF=32cm.(1)求证:AC∥BD;(2)求扣链EF与立杆AB的夹角∠OEF的度数(精确到0.1°);(3)小红的连衣裙穿在衣架后的总长度达到122cm,垂挂在晒衣架上是否会拖落到地面?请通过计算说明理由.(参考数据:sin61.9°≈0.882,cos61.9°≈0.471,tan61.9°≈0.553;可使用科学记算器)25.(2022•陕西)如图,正三角形ABC的边长为3+.(1)如图①,正方形EFPN的顶点E、F在边AB上,顶点N在边AC上,在正三角形ABC及其内部,以点A为位似中心,作正方形EFPN的位似正方形E′F′P′N′,且使正方形E′F′P′N′的面积最大(不要求写作法);(2)求(1)中作出的正方形E′F′P′N′的边长;(3)如图②,在正三角形ABC中放入正方形DEMN和正方形EFPH,使得DE、EF在边AB上,点P、N分别在边CB、CA上,求这两个正方形面积和的最大值和最小值,并说明理由.26.(2022•河北)如图,点E是线段BC的中点,分别BC以为直角顶点的△EAB和△EDC均是等腰三角形,且在BC同侧.(1)AE和ED的数量关系为AE=ED21\n;AE和ED的位置关系为AE⊥ED;(2)在图1中,以点E为位似中心,作△EGF与△EAB位似,点H是BC所在直线上的一点,连接GH,HD.分别得到图2和图3.①在图2中,点F在BE上,△EGF与△EAB的相似比1:2,H是EC的中点.求证:GH=HD,GH⊥HD.②在图3中,点F在的BE延长线上,△EGF与△EAB的相似比是k:1,若BC=2,请直接写CH的长为多少时,恰好使GH=HD且GH⊥HD(用含k的代数式表示).第二部分专题21\n21\n21\n21\n21\n21

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发布时间:2022-08-25 21:26:16 页数:21
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文章作者:U-336598

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