2022年中考数学试题分类汇编知识点35与圆的有关计算
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知识点35与圆的有关计算一、选择题1.(2022山东滨州,8,3分)已知半径为5的⊙O是△ABC的外接圆,若∠ABC=25°,则劣弧的长为()A.B.C.D.【答案】C【解析】因为∠ABC=25°,故劣弧所对应的圆心角∠AOC=50°,故劣弧的长为:·2π·5=.【知识点】圆心角与圆周角的关系、弧长公式2.(2022四川绵阳,9,3分)如图,蒙古包可近似看作由圆锥和圆柱组成,若用毛毡搭建一个底面圆面积为25πm2,圆柱高为3m,圆锥高为2m的蒙古包,则需要毛毡的面积是()A.()πm2B.40πm2C.()πm2D.55πm2【答案】A.【解析】解:∵蒙古包底面圆面积为25πm2,∴底面半径为5米,∴圆柱的侧面积为π×2×5×3=30πm2.∵圆锥的高为2m,∴圆锥的母线长为m,∴圆锥的侧面积为π×5×=5πm2,∴需要毛毡的面积为30π+5π=(30+5)πm2.故选A.【知识点】勾股定理,圆面积公式,扇形面积公式,圆柱的侧面积3.(2022四川省成都市,9,3)如图,在£ABCD中,∠B=60°,⊙C的半径为3,则图中阴影部分的面积是()A.πB.2πC.3πD.6π【答案】C【解题过程】解:∵四边形ABCD为平行四边形,AB∥CD,∴∠B+∠C=180°,∵∠B=60°,∴∠C=120°,∴阴影部分的面积==3π.故选择C.【知识点】平行四边形的性质;扇形面积4.(2022四川广安,题号9,分值3)如图,已知⊙O的半径是2,点A,B,C在⊙30\nO上,若四边形OABC为菱形,则图中阴影部分的面积为()A.23π-23B.23π-3C.43π-23D.43π-3第9题图【答案】C.【思路分析】首先连接AC,再结合菱形的性质及圆的知识得△ABO是等边三角形,可知∠AOC=120°,进而根据勾股定理求出AC,然后根据扇形的面积公式和菱形的面积公式计算,最后根据阴影部分的面积=扇形的面积-菱形的面积得出答案即可.【解题过程】如图所示.连接AC,交BD于点D,∵四边形OABC是菱形,∴AC⊥BD,AO=AB,AC=2AD,BO=2DO.∵AO=BO,∴AO=BO=AB,∴△ABO是等边三角形,则∠AOB=60°,同理∠BOC=60°,∴∠AOC=120°.∵AO=2,DO=1,在Rt△ADO中,AD=3.可知BO=2,AC=23,∴S扇形AOC=120π×22360=43π,S菱形OABC=12×2×23=23.则阴影部分的面积=S扇形AOC-S菱形OABC=43π-23.第9题图【知识点】菱形的性质,扇形的面积公式,等边三角形的判定和性质5.(2022山东省淄博市,9,4分)如图,⊙O的直径AB=6,若∠BAC=50°,则劣弧AC的长为(A)2π(B)(C)(D)30\n【答案】D【思路分析】连接OC,通过∠BAC的度数求出∠AOC的度数,进而通过弧长公式求解.【解题过程】连接OC,∵∠BAC=50°,∴∠AOC=80°,∴,故选D.【知识点】弧长公式;圆周角与圆心角关系6.(2022宁波市,9题,4分)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,AB=4,以点B为圆心,BC长为半径画弧,交边AB于点D,则CD的长为A.16πB.13πC.23πD.233π【答案】C【解析】解:∵△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°∴∠B=60°;AD=BD=BC∴lCD=60∙π×2180=23π【知识点】特殊角的三角函数、弧长公式1.(2022湖南益阳,7,4分)如图,正方形ABCD内接于圆O,AB=4,则图中阴影部分的面积是()30\nA.4π-16B.8π-16C.16π-32D.32π-16【答案】B【解析】连接OA,OB.∵四边形ABCD为正方形,∴∠AOB=90°.设OA=OB=r,则r2+r2=42.解得:r=.S阴影=S⊙O-S正方形ABCD==8π-16故选择B.【知识点】与圆有关的计算,正多边形与圆2.(2022四川遂宁,6,4分)已知圆锥的母线长为6,将其侧面沿着一条母线展开后所得扇形的圆心角为120°,则扇形的面积是()A.4πB.8πC.12πD.16π【答案】C.【解析】解:根据题意可得扇形的面积为.故选C.【知识点】扇形的面积计算公式3.(2022甘肃天水,T5,F4)已知圆锥的底面半径2cm,母线长为10cm,则这个圆锥的面积是()A.20πcm2B.20cm2C.40πcm2D.40cm2【答案】A.【解析】S圆锥侧=12Rl=12×10×2×π×2=20π(cm2).【知识点】圆锥侧面积30\n4.(2022甘肃天水,T7,F4)如图所示,点A、B、C在⊙O上.若∠BAC=45°,OB=2,则图中阴影部分的面积为()A.π-4B.23π-1C.π-2D.23π-2【答案】C.【解析】∵∠BAC=45°,∴∠BOC=90°.则S扇形BOC=90×π×22360=π,SRt△BOC=12BO·CO=12×2×2=2.则阴影部分的面积为S扇形BOC-SRt△BOC=π-2.【知识点】扇形面积,圆周角定理5.(2022贵州遵义,8题,3分)若要用一个底面直径为10,高为12的实心圆柱体,制作一个底面半径和高分别与圆柱底面半径和高相同的圆锥,则该圆锥的侧面积为A.60πB.65πC.78πD.120π【答案】B【解析】圆锥的侧面是一个扇形,该扇形面积可以用来求,其中,l为扇形的弧长,即圆柱的地面周长,所以l=10π,r为扇形的半径,即圆柱底面圆心到另一个底面圆周上一点的距离,如图所示,所以,选B1210【知识点】勾股定理,扇形面积6.(2022山东德州,9,3分)如图,从一块直径为的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形,则此扇形的面积为()30\n第9题图A.B.C.D.【答案】A【解析】连接AC,因为∠ABC=90°,所以AC为⊙O的直径,所以AC=2,所以AB=,所以扇形的面积为.故选A.第9题答图【知识点】圆周角定理的推论,扇形面积7.(2022四川自贡,11,4分)已知圆锥的侧面积是,若圆锥底面半径为,母线长为,则关于的函数图象大致是()【答案】A【解析】∵圆锥的侧面积公式为,∴,,故选择A.【知识点】圆锥的侧面积,反比例函数的图象8.(2022四川凉山州,11,4分)如图,AB与⊙O相切于点C,OA=OB,⊙O的直径为6cm,AB=630\ncm,则阴影部分的面积为()A.B.C.D.【答案】C【解析】连接OC,∵AB与⊙O相切于点C,则可得OC垂直于AB,又因为OA=OB,则AC=BC(三线合一),BC=cm,⊙O的直径为6cm,∴BC=3,再根据三角形面积公式,计算则阴影部分的面积为,∵可判定出∠COB=60°,得∠AOB=120°,则阴影部分的面积为:△AOB的面积与圆面积的三分之一的差.故答案为C.(第11题答图)【知识点】切线的性质,等腰三角形的性质,三角形的面积公式,扇形的面积公式.9.(2022广西玉林,11题,3分)圆锥的主视图与左视图都是边长为4的等边三角形,则圆锥的侧面展开图扇形的圆心角是A.90°B.120°C.150°D.180°【答案】【解析】因为圆锥的主视图与左视图都是边长为4的等边三角形,所以圆锥的底面直径为4,底面周长为4π,即侧面展开图扇形的弧长,同时可得出该扇形的半径为4,设圆心角为n,由弧长公式可得,所以n=180,故选D【知识点】三视图,弧长公式二、填空题1.(2022浙江金华丽水,16,4分)如图1是小明制作的一副弓箭,点A,D分别是弓臂BAC与弓弦BC的中点,弓弦BC=60cm.沿AD方向拉弓的过程中,假设弓臂BAC始终保持圆弧形,弓弦不伸长.如图2,当弓箭从自然状态的点D拉到点D1时,有AD1=30cm,∠B1D1C1=120°.(1)图2中,弓臂两端B1,C1的距离为cm.(2)如图3,将弓箭继续拉到点D2,使弓臂B2AC2为半圆,则D1D2的长为cm.30\n第16题图D1图1图2图3B1ACDBC1ACBDBCAD1D2DB1B2C1C2【答案】(1)30;(2)10-10.【解析】(1)连结B1C1交AD1于E,则AD1垂直平分B1C1.在Rt△B1D1E中,∵∠B1D1C1=120°,∴∠B1D1E=60°.∵B1D1=30,∴B1E=15.∴B1C1=30.故答案为30;(2)图2中,∵AD1=30cm,∠B1D1C1=120°,∴弓臂B1AC1的长==20π.图3中,∵弓臂B2AC2为半圆,∴20π=dπ,∴半圆的半径d=20.连结B2C2交AD2于E1,则AD2垂直平分B2C2.在Rt△B2D2E1中,D2E1===10.∴AD2=10+20.∵AD1=30cm,∴D1D2=AD2-AD1=10-10.故答案为10-10.【知识点】勾股定理;特殊角的锐角三角函数值;弧长公式;2.(2022甘肃白银,17,4)如图,分别以等边三角形的每个顶点为圆心,以边长为半径,在另两个顶点间作一段圆弧,三段圆弧围成的曲边三角形称为勒洛三角形。若等边三角形的边长为,则勒洛三角形的周长为:。第17题图【答案】【思路分析】每段圆弧的半径等于,圆心角都等于60°,由弧长公式可求,然后再乘以3即可。【解题过程】如图,∵AB=BC=CA=,∠A=∠B=∠C=60°。弧BC的半径为,圆心解为∠A=60°,由弧长公式得:弧BC==30\n所以勒洛三角形的周长=×3=。故填。【知识点】弧长公式,等边三角形的性质,新概念的理解。第17题答图3.(2022江苏连云港,第13题,3分)一个扇形的圆心角是120°,它的半径是3cm,则扇形的弧长为__________cm.【答案】2π【解析】解:由弧长公式,得:=2π,故答案为:2π.【知识点】弧长公式4.(2022山东聊城,15,3分)用一块圆心角为216°的扇形铁皮,做一个高为40cm的圆锥形工件(接缝忽略不计),那么这个扇形铁皮的半径是cm.【答案】50【解析】设这个扇形铁皮的半径是xcm,则圆锥的底面半径是(cm),由题意得,∴x=50(-50舍去),即这个扇形铁皮的半径是50cm.【知识点】圆的周长公式、扇形的弧长公式、勾股定理5.(2022山东潍坊,17,3分)如图,点A1的坐标为(2,0),过点A1作x轴的垂线交直线l:于点B1,以原点O为圆心,OB1的长为半径画弧交x轴正半轴于点A2;再过点A2作x轴的垂线交直线l于点B2,以原点O为圆心,以OB2的长为半径画弧交x轴正半轴于点A3;….按此作法进行下去,则的长是.30\n【答案】【思路分析】根据直线l的解析式先求出圆心角的度数,结合OA1,OA2,OA3的长度得出OA2022的长度,即扇形的半径,利用弧长公式进行计算即可.【解题过程】把x=2代入可得,,∴∠A1OB1=60°.由OA1=2,得OB1=2OA1=4,故OA2=4,同理可得OA3=8,以此类推,可得OA2022=22022∴的长=【知识点】弧长计算,规律探索,一次函数6.(2022浙江绍兴,13,3分)如图,公园内有一个半径为20米的圆形草坪,,是圆上的点,为圆心,,从到只有路,一部分市民为走“捷径”,踩坏了花草,走出了一条小路.通过计算可知,这些市民其实仅仅少走了步(假设1步为0.5米,结果保留整数).(参考数据:,取3.142)(第13题图)【答案】15【解析】过点O作OC⊥AB于点C,由,可得∠A=30°在△AOB中,∠A=30°OA=20m,可得AC=,即AB=≈34.64m≈69步;=≈41.89m≈84步,-AB=84-69=15步。30\n(第13题答图)【知识点】解直角三角形、弧长公式、弦的垂直平分线的性质7.(2022·重庆B卷,14,4)如图,在边长为4的正方形ABCD中,以点B为圆心,以AB为半径画弧,交对角线BD于点E,则图中阴影部分的面积是(结果保留π).14题图【答案】8-2π.【解析】∵正方形ABCD的边长为4,∴∠BAD=90°,∠ABD=45°,AB=AD=4.∴S阴影=SRt△ABD-S扇形BAE=×4×4-=8-2π.【知识点】圆的有关计算扇形面积正方形8.(2022江苏省盐城市,15,3分)如图,左图是由若干个相同的图形(右图)组成的美丽图案的一部分.右图中,图形的相关数据:半径OA=2cm,∠AOB=120°.则右图的周长为___________cm(结果保留π).【答案】【解析】∵半径OA=2cm,∠AOB=120°∴的长==,的长+的长=,∴右图的周长=+=.【知识点】弧长公式9.(2022山东青岛中考,13,3分)如图,,∠B=90°,∠C=30°,为上一点,,以30\n为圆心,以为半径的圆与相切于点,与相交于点,连接,则图中阴影部分的面积是.【答案】【解析】如图,作OG⊥AB于G,∵∠B=90°,∠C=30°,∴∠A=60°.∵OA=OF,∴△OAF是等边三角形,∴AF=OA=2,AG=1,∠AOF=60°,∴OG=.∵BC是⊙O的切线,∴OE⊥BC,∴四边形OEBG是矩形.∴BG=OE=2,∴AB=3.∵tanC=,即=,∴BC=3.S阴影=×3×3-×2×-=.【知识点】切线的性质;等边三角形的性质与判定;矩形的判定与性质;锐角三角函数;扇形面积公式;阴影部分面积的计算;10.(2022山东烟台,18,3分)如图,点O为正六边形ABCDEF的中心,点M为AF的中点.以点O为圆心,以OM的长为半径画弧得到扇形MON,点N在BC上;以点E为圆心,以DE的长为半径画弧得到扇形DEF.把扇形MON的两条半径OM,ON重合,围成圆锥,将此圆锥的底面半径记为;将扇形DEF以同样的方法围成圆锥的底面半径记为,则=.30\n【答案】【解析】连接AO,OF,由题意,∠MON=∠DEF=120°,△AOF为等边三角形.设AF=2a=DE,∴AM=MF=a,∴OM=.∵2πr1=,2πr2=,∴=.【知识点】正多边形的计算;圆锥的有关计算公式;弧长公式.11.(2022浙江温州,12,5)..已知扇形的弧长为2π,圆心角为60°,则它的半径为.【答案】6【解析】利用扇形的弧长公式所以得,所以r=6【知识点】扇形的弧长公式1.(2022湖北鄂州,13,3分)一圆锥的侧面展开图是一个圆心角为120°的扇形,若该圆锥的底面圆的半径为4cm,则圆锥的母线长为.【答案】24cm.【解析】设母线长为R,由“圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长”得,,解得R=24,即圆锥的母线长为24cm.【知识点】圆锥侧面展开图;弧长公式;圆面积公式2.(2022湖北鄂州,15,3分)在半径为2的⊙O中,弦AB=2,弦AC=2,则由弦AB、AC和∠BAC所对的圆弧围成的封闭图形的面积为.30\n【答案】2+2.【解析】如下图,在△ABC中,AB=2,BC=2,AC=4,则AB2+BC2=AC2,由勾股定理的逆定理得△ABC是直角三角形,且∠ABC=90°,则由圆周角定理的推论可得AC是⊙O的直径,故由弦AB、AC和∠BAC所对的圆弧围成的封闭图形的面积为S△ABC+S⊙O=AB·BC+·R2=×2×2+·22=2+2.【知识点】圆的面积;勾股定理的逆定理;三角形的面积3.(2022湖南郴州,15,3)如图,圆锥的母线长为10,高为8,则该圆锥的侧面展开图(扇形)的弧长为.(结果用表示)【答案】12【解析】首先利用勾股定理求得圆锥的底面半径,然后利用圆周长=π×底面半径×2,把相应数值代入即可求解.∵圆锥的高是8cm,母线长10cm,∴勾股定理得圆锥的底面半径为6cm,∴该圆锥的侧面展开图(扇形)的弧长为:2×6π=12πcm.【知识点】圆锥的侧面开展图的弧长4.(2022·重庆A卷,14,4)如图,在矩形ABCD中,AB=3,AD=2,以点A为圆心,AD长为半径画弧,交AB于点E,图中阴影部分的面积是(结果保留π).14题图【答案】6-π.30\n【解析】∵S阴影=S矩形ABCD-S扇形ADE=3×2-=6-π,∴答案为6-π.【知识点】.圆的有关计算;扇形面积5.(2022·新疆维吾尔、生产建设兵团,12,5如图,△ABC是⊙O的内接正三角形,⊙O的半径为2,则图中阴影部分的面积是.【答案】π.【解析】∵△ABC是⊙O的内接正三角形,∴∠A=60°.∴∠BOC=2∠A=120°.∵⊙O的半径为2,∴S阴影=S扇形OBC==π.故答案为π.【知识点】圆的有关计算;扇形面积;等边三角形;圆周角定理6.(2022贵州安顺,T16,F4)如图,C为半圆内一点,O为圆心,直径AB长为2cm,∠BOC=60°,∠BCO=90°,将△BOC绕圆心O逆时针旋转至△B’OC',点C'在OA上,则边BC扫过区域(图中阴影部分)的面积为______cm2.(结果保留π)第16题图【答案】【解析】∵∠BOC=60°,△B'OC'是△BOC绕圆心O逆时针旋转得到的,∴∠B'OC'=60°,△BOC≌△B'OC'.∵∠BCO=90°,∴∠B'C'O=90°,∠B'OC=60°,∠C'B'O=30°.∴∠B'OB=120°.∵AB=2cm,cos∠BOC=,∴OB=1cm,OC=OC’=.∴cm²,cm².∵阴影部分的面积=+-(+)=-=cm².故答案为.【知识点】旋转的性质,扇形面积的计算,特殊角的三角函数值.30\n7.(2022湖北荆门,15,3分)如图,在平行四边形中,,,,以为直径的交于点,则阴影部分的面积为.【答案】.【解析】解:连接OE,过O点作OF⊥BE,垂足为F.∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD=4,∠D=∠A=30°,∴OB=2.∵OF⊥BE,∴OF=1,BF=,∠BOF=60°,∴∠BOE=120°,BE=2,∴S阴影=S扇形OBE-S△OBE==.故答案为.【知识点】平行四边形的性质,含30°角的直角三角形的性质,扇形面积计算公式,三角形面积计算公式8.(2022湖南省永州市,16,4)如图,在平面直角坐标系中,已知点A(1,1),以点O为旋转中心,将点A逆时针旋转到点B的位置,则弧AB的长为.30\n【答案】π【解析】由点A(1,1),可得OA==,点A在第一象限的角平分线上,那么∠AOB=45°,再根据弧长公式计算,弧AB的长为π=π.因此,本题填:.【知识点】弧长的计算坐标与图形变化图形的旋转9.(2022河南,14,3分)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=2,将△ABC绕AC的中点D逆时针旋转90°得到△,其中点B的运动路径为弧BB′,则图中阴影部分的面积为.(第14题)【答案】【思路分析】本题是计算阴影部分的面积,解题的关键是观察出阴影部分的面积表示.连接和BD,由旋转及勾股定理可得=BC=2,=CD=1,=BD==,也易得四边形是梯形,再根据=+――=―,然后利用扇形及梯形的面积公式列式计算即可得解.【解题过程】解法一:如图所示,连接和BD.∵∠ACB=90°,AC=BC=2,将△ABC绕AC的中点D逆时针旋转90°得到△∴=CD=1,=BC=2,∠=∠=∠=90°,△≌△BCD(第14题)∴=BD==.CD∥∴=+――=―=―=故答案为解法二:如图所示,连接、BD、.∵∠ACB=90°,AC=BC=2,将△ABC绕AC的中点D逆时针旋转90°得到△30\n∴=CD=1,=BC=2,∠=∠=∠=90°,(第14题)∴=BD==.CD∥===∴=―+=―+=故答案为【知识点】旋转的性质,勾股定理,扇形面积的计算,梯形面积的计算10.(2022湖北省孝感市,12,3分)如图是一个几何体的三视图(图中尺寸单位:),根据图中数据计算,这个几何体的表面积为.【答案】16π【解析】由三视图可判断出该几何体是圆锥,该圆锥的母线长为6cm,底面半径为2cm,故该圆锥的表面积=πrl++π=π×2×6+π×=16π.【知识点】由三视图判断几何体;圆锥的表面积.11.(2022江苏省宿迁市,13,3)已知,圆锥的底面半径为3cm,高为4cm,则圆锥的侧面积是cm2.【答案】15π【解析】∵圆锥的底面半径为3cm,高为4cm,∴母线长为5,底面周长是6π.∴侧面积为×5×6π=15π(cm2).故填15π.【知识点】圆锥的侧面积12.(2022江苏省宿迁市,18,3)如图,将含有30°角的直角三角板ABC放入平面直角坐标系中,定点A,B分别落在x,y轴的正半轴上,∠OAB=60°,点A的坐标为(1,0).将三角板ABC沿x轴向右作无滑动的滚动(先绕点A按顺时针方向旋转60°,再绕点C按顺时针方向旋转90°…).当点B第一次落在x轴上时,则点B运动的路径与两坐标轴围成的图形面积是.30\nOxyACB第18题图【答案】【解析】∵∠OAB=60°,OA=1,∴AB=2,BC=.∴扇形ABB1的面积为π×22=π,扇形C1BB2的面积为π×()2=π.△OAB与△ABC的面积之和为,∴点B运动的路径与两坐标轴围成的图形面积是π+π+=.故填.A1C1B2OxyACB第18题答图B1【知识点】图形的旋转,扇形的面积三、解答题1.(2022四川省达州市,22,8分)已知,如图,以等边△ABC的边BC为直径作⊙O,分别交AB、AC于点D、E,过点D作DF⊥AC于点F.(1)求证:DF是⊙O的切线;(2)若等边△ABC的边长为8,求由、DF、EF围成的阴影部分的面积.第22题图【思路分析】(1)先根据等腰三角形的三线合一性质证点D是AB的中点,然后根据三角形中位线定理得OD∥AC,又DF⊥AC,所以OD⊥DF,所以DF是⊙O的切线;(2)根据阴影部分的面积=△DEF的面积-所含的弓形面积列式计算可得.30\n【解题过程】解:(1)连接OD,CD.∵BC是直径,∴∠BDC=90°.∵等边△ABC,∴点D是AB的中点.∵点O是BC的中点,∴根据三角形中位线定理得OD∥AC,∵DF⊥AC,∴OD⊥DF,∴DF是⊙O的切线;(2)连接OD,OE,DE.∵点D是AB的中点,点E是AC的中点,∴DE是△ADE的中位线.∵等边△ABC的边长为8,∴等边△ADE的边长为4.∵DF⊥AC,∴EF=2,DF=2.∴△DEF的面积=·EF·DF=×2×2=2.∴△ADE的面积=△ODE的面积=4.∴扇形ODE的面积==.∴阴影部分的面积=△DEF的面积-所含的弓形面积=2-(-4)=6-.【知识点】三角形中位线定理;切线的判定;扇形面积公式2.(2022湖南衡阳,23,8分)如图,⊙O是△ABC的外接圆,AB为直径,∠ABC的平分线交⊙O于点D,过点D作DE⊥AC分别交AC、AB的延长线于点E、F.(1)求证:EF是⊙O的切线;(2)若,,求的长度.(结果保留)30\n【思路分析】(1)连接OD,交BC于点G,由OA=OD和AD平分∠EAB,可得到∠OAD=∠ODA,进而得出OD∥AE,结合DE⊥AE,得到OD⊥EF,故可证得结论;(2)由题意和(1)中结论,可得到四边形CEDG是矩形,故DG=CE=2,再证得OG是△ABC的中位线,可得出OG=AC=2,故可得到⊙O的半径为4,进而得出∠BOD=60°,再用弧长公式求出的长度即可.【解题过程】解:(1)证明:如图,连接OD,交BC于点G..∵OA=OD,∴∠OAD=∠ODA.∵AD平分∠EAB,∴∠OAD=∠DAE.∴∠OAD=∠ODA.∴OD∥AE.∵DE⊥AE,∴OD⊥EF.∴EF是⊙O的切线.(2)∵AB为⊙O的直径,∴∠ACB=90°.∴BC∥EF.又∵OD∥AE.∴四边形CEDG是平行四边形.∵DE⊥AE,∴∠E=90°.∴四边形CEDG是矩形.∴DG=CE=2.∵OD⊥EF,BC∥EF,∴OG⊥BC.∴CG=BG..∵OA=OB,∴OG=AC=2,∴OB=OD=4,∴∠BOD=60°,∴的长=×4=.30\n【知识点】切线的判定、矩形的判定与性质、平行线的判定与性质、三角形中位线定理、弧长公式3.(2022江苏泰州,22,10分)(本题满分10分)如图,AB为⊙O的直径,C为⊙O上一点,∠ABC的平分线交⊙O于点D,DE⊥BC于点E.(1)试判断DE与⊙O的位置关系,并说明理由;(2)过点D作DF⊥AB于点F,若BE=,DF=3,求图中阴影部分的面积.第22题图【思路分析】(1)DE与⊙O的公共点为D,所以连接DO,证明DE⊥OD即可,(2)显然图中阴影部分的面积等于扇形AOD的面积减去△DOF的面积,然后去为求两个面积而准备条件.【解题过程】解:(1)DE与⊙O相切,理由:连接DO,第22题答图∵AD平分∠ABC,∴∠CBD=∠ABD,∵OD=OB,∴∠ODB=∠ABD,∴∠ODB=∠CBD,∴OD∥BE,∵DE⊥BC,∴DE⊥OD,∵D为半径OD的外端,∴DE与⊙O相切;(2)∵AD平分∠ABC,DE⊥BC,30\nDF⊥AB,∴DE=DF=3,∵BE=,∴,∴∠CBD=30°,∴∠ABC=60°,∵OD∥BE,∴∠AOD=∠ABC=60°,∴,∴,∴==,∴图中阴影部分的面积为.【知识点】直线与圆的位置关系,扇形面积4.(2022山东临沂,23,9分)如图,△ABC为等腰三角形,O是底边BC的中点,腰AB与⊙O相切于点D,OB与⊙O相交于点E.(1)求证:AC是⊙O的切线;(2)若BD=,BE=1,求阴影部分的面积.第23题图【思路分析】(1)过点O作OF⊥AC于点F,证明OF=OD;(2)根据BD和BE的长,由勾股定理推算出⊙O的半径的长,结合三角函数推算出∠BOD、∠AOD和∠AOF的度数,然后根据三角形和扇形的面积公式求解.【解题过程】(1)过点O作OF⊥AC,垂足为点F,连接OD,OA.∵△ABC是等腰三角形,点O是底边BC的中点,∴OA也是△ABC的高线,也是∠BAC的平分线,∵AB是⊙O的切线,∴OD⊥AB,又∵OF⊥AC,∴OF=OD,即OF是⊙O的半径,30\n∴AC是⊙O的切线.(2)在Rt△BOD中,设OD=OE=x,则OB=x+1,由勾股定理,得:(x+1)2=x2+()2,解得:x=1,即OD=OF=1.∵tan∠BOD==,∴∠BOD=60°.∴∠AOD=90°-∠BOD=30°,∴AD=AF=OD×tan∠AOD=.∴S阴影=S四边形ADOF-S扇形DOF=AD×OD×2-π×12=-=.【知识点】切线的判定和性质勾股定理阴影部分面积扇形面积三角函数5.(2022浙江湖州,21,8)如图,已知AB是⊙O的直径,C,D是⊙O上的点,OC∥BD,交AD于点E,连结BC.(1)求证:AE=ED;(2)若AB=10,∠CBD=36°,求AC的长.ACBOED第21题图【思路分析】(1)根据三角形中位线的性质可证;(2)根据平行线和等腰三角形的性质求出∠AOC的度数,然后再根据扇形的弧长公式计算.【解题过程】(1)证明∵AB是⊙O的直径,∴∠ADB=90°.2分∵OC∥BD,∴∠AEO=∠ADB=90°,即OC⊥AD.1分∴AE=ED.1分(2)解由(1)得OC⊥AD,∴AC=CD.∴∠ABC=∠CBD=36°.1分∴∠AOC=2∠ABC=2×36°=72°.1分∴AC=72π×5180=2π.2分【知识点】圆,等腰三角形的性质,三角形的中位线,扇形的弧长1.(2022广东广州,25,14分)如图,在四边形ABCD中,∠B=60°,∠D=30°,AB=BC.(1)求∠A+∠C的度数;(2)连接BD,探究AD,BD,CD三者之间的数量关系,并说明理由;(3)若AB=1,点E在四边形ABCD内部运动,且满足AE2=BE2+CE2,求点E运动路径的长度.30\n【思路分析】(1)根据四边形内角和为360°,结合已知条件即可求出答案;(2)将△BCD绕点B逆时针旋转60°,得到△BAQ,连接DQ(如图),由旋转性质和等边三角形判定得△BDQ是等边三角形,由旋转的性质根据角的计算可得△DAQ是直角三角形,根据勾股定理得AD2+AQ2=DQ2,即AD2+CD2=BD2;(3)将△BCE绕点B逆时针旋转60°,得到△BAF,连接EF(如图),由等边三角形判定得△BEF是等边三角形,结合已知条件和等边三角形性质可得AE2=EF2+AF2,即∠AFE=90°,从而得出∠BFA=∠BEC=150°,从而得出点E是在以O为圆心,OB为半径的圆周上运动,运动轨迹为,根据弧长公式即可得出答案.【解析】(1)∵在四边形ABCD中,∠B=60°,∠D=30°.∴∠A+∠C=360°-∠B-∠D=270°.(2)AD2+CD2=BD2.理由:如图,将△BCD绕点B逆时针旋转60°,得△BAD′,连接DD′.∵BD=BD′,CD=AD′,∠DBD′=60°,∠BAD′=∠C.∴△BDD′是等边三角形.∴DD′=BD.又∠BAD+∠C=270°,∴∠BAD′+∠C=270°.∴∠DAD′=90°.∴AD2+AD′2=DD′2.即AD2+CD2=BD2.(3)如图,将△BEC绕点B逆时针旋转60°得△BE′A,连接EE′.30\n∵BE=BE′=EE′,CE=AE′,∠EBE′=60°,∠BEC=∠BE′A.∴△BEE′是等边三角形.∴∠BE′E=60°.∵AE2=BE2+CE2,BE=EE′,CE=AE′.∴AE2=EE′2+AE′2.∴∠AE′E=90°.∴∠BE′A=150°.∴∠BEC=150°.∴点E在以BC为弦,优弧所对的圆心角为300°的圆上.以BC为边在下方作等边△BCO,则O为圆心,半径BO=1.∴点E运动路径为,==.【知识点】等边三角形的判定与性质;勾股定理的逆定理;全等三角形的性质与判定;多边形的内角和;弧长的计算;旋转的性质;运动路径问题2.(2022山东德州,22,12分)如图,是的直径,直线与相切于点,且与的延长线交于点.点是的中点.第22题图(1)求证:(2)若.的半径为3,一只蚂蚁从点出发,沿着爬回至点,求蚂蚁爬过的路程结果保留一位小数.【思路分析】(1)连接,由“点是的中点”得,结合,可证∥,易得;(2)先求的度数,再解直角三角形和求的长而得解.【解析】(1)证明:连接,第22题答图∵直线是的切线,∴,∴.∵点是的中点,∴.∵,∴,∴,∴∥,30\n∴,∴.(2)解:∵,∴,∴.∵,∴.∴,∴.在中,由勾股定理得:,的长.∴蚁蚂爬过的路程.【知识点】直线与圆的位置关系,圆中计算3.(2022湖北荆州,T23,F10)问题;已知均为锐角,,求的度数.探究:(1)用6个小正方形构造如图所示的网格图(每个小正方形的边长均为1),请借助这个网格图求出的度数;延伸:(2)设经过图中三点的圆弧与交于,求的弧长.【思路分析】①证三角形全等把∠a、∠b集中在一块②证三角形全等得到等腰直角三角形得到∠a+∠b=450【解题过程】(1)解:如图1所示,连接MH、AM,易证DQGA≌DHPM,∴∠a=∠MHP,∴∠a+∠b=∠AHM,易证DADM30\n≌DMCH,∠AMD=∠MHC,又∵∠HMC+∠MHC=900,∴∠HMC+∠AMD=900,又∵∠HMC+∠AMD+∠AMH=1800,∴∠AMH=900,又∵AM=HM,∴∠AHM=450,∴∠a+∠b=450.(2)解:如图2所示,连接OR,∵∠QMN=∠a,又∵tana=,易知O为QN的中点,OM=,由(1)可知∠ROM=900,弧MR=pOM=p.【知识点】三角形全等、弧长公式、等腰直角三角形.4.(2022四川攀枝花,22,8)(本小题满分8分)如图11,在△ABC中,AB=AC。以AB为直径的⊙O分别与BC、AC交于点D、E,过点D作DF⊥AC于点F.(1)若⊙O的半径为3,∠CDF=15°,求阴影部分的面积;(2)求证:DF是⊙O的切线;(3)求证:∠EDF=∠DAC.【思路分析】(1)要求阴影面积,需要先求圆心角的度数,然后套用弓形面积公式即可;(2)要证DF是⊙O的切线,只要证明OF⊥DF即可;(3)作⊙O的直径DG,把转化为,然后再利用切线的性质可证。【解题过程】(1)∵DF⊥AC,,∴,∵AB=AC,∴,,连接OE,∵OA=OE,∴,∴,∴=。(2)连接OD、AD,∵AB是⊙O的直径,∴,∴AD⊥BC,30\n又∵AB=AC,∴BD=DC,OA=OB,∴OD∥AC,∵DF⊥AC,∴DF⊥OD,∴DF是⊙O的切线。(1)作直径DG,连接EG,则,,在,∵DF⊥OD,∴,∴【知识点】弓形的面积,切线的性质和判定,圆周角定理。5.(2022湖北省襄阳市,22,8分)如图,AB是⊙O的直径,AM和BN是⊙O的两条切线,E为⊙O上一点,过点E作直线DC分别交AM、BN于点D、C,且CB=CE,(1)求证:DA=DE;(2)若AB=6,CD=,求图中阴影部分的面积.【思路分析】考查圆的综合性质,包括切线的性质与判定,切线长定理,求阴影部分面积等,对于学生综合能力,有一定要求,构造辅助线的方法比较常规,属于中档题;(1)连接OE,OC,先判定△OEC≌△OBC得出∠OEC=∠OBC=90°,从而判定CD是⊙O的切线,最后用切线长定理即可判定DA=DE;(2)过点D作DF⊥BC于点F,则四边形ABFD是矩形,由切线长定理可知DC=BC+AD=①;由勾股定理计算FC的长为,即可得出BC-AD=②;联立①,②组成方程组即可求出BC的长,在Rt△OBC中,由tan∠BOC=得到∠BOC=60°;由△OEC≌△OBC得到∠BOE=2∠BOC=120°,最后根据S阴影部分=S四边形BCEO-S扇形OBE计算出阴影部分的面积即可.【解题过程】解:(1)证明:连接OE,OC,∵BN且⊙O于点B,∴∠OBN=90°.∵OE=OB,OC=OC,CE=CB,∴△OEC≌△OBC,∴∠OEC=∠OBC=90°,30\n∴CD是⊙O的切线.∵AD切⊙O于点A,∴DA=DE.(2)过点D作DF⊥BC于点F,则四边形ABFD是矩形,∴AD=BF,DF=AB=6。∴DC=BC+AD=.∵FC=.∴BC-AD=,∴BC=.在Rt△OBC中,tan∠BOC=,∴∠BOC=60°.∵△OEC≌△OBC,∴∠BOE=2∠BOC=120°.∴S阴影部分=S四边形BCEO-S扇形OBE==.【知识点】全等三角形的判定、切线的性质和判定、切线长定理、勾股定理、扇形的面积30
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