【火线100天】2022中考数学 第20讲 特殊的平行四边形
资源预览文档简介为自动调取,内容显示的完整度及准确度或有误差,请您下载后查看完整的文档内容。
第20讲特殊的平行四边形考点1矩形矩形的定义有一个角是①的平行四边形叫做矩形.矩形的性质(1)矩形具有平行四边形所有的性质.(2)矩形的四个角都是②,对角线互相平分并且③.(3)矩形既是一个轴对称图形,它有两条对称轴;又是中心对称图形,它的对称中心就是④.矩形的判定(1)定义法.(2)有三个角是直角的四边形是矩形.(3)⑤的平行四边形是矩形.考点2菱形菱形的定义有一组⑥的平行四边形叫做菱形.菱形的性质(1)菱形具有平行四边形所有的性质.(2)菱形的四条边⑦,对角线互相⑧,并且每条对角线平分一组对角.(3)菱形既是一个轴对称图形,两条对角线所在的直线是它的对称轴;又是中心对称图形,它的对称中心就是⑨.(4)菱形的面积等于对角线乘积的⑩.菱形的判定(1)定义法.(2)四条边⑪的四边形是菱形.(3)对角线⑫的平行四边形是菱形.考点3正方形正方形的定义有一组邻边⑬,并且有一个角是⑭的平行四边形叫做正方形.正方形的性质(1)正方形的四条边⑮,四个角都是⑯,对角线互相且,并且每一条对角线平分一组对角,具有矩形和菱形的所有性质.(2)正方形既是轴对称图形也是中心对称图形,对称轴有条,对称中心是对角线的交点.正方形的判定(1)有一组邻边相等的是正方形.(2)有一个角是直角的是正方形.(3)对角线的四边形是正方形.【易错提示】在判定矩形、菱形、正方形时,要注意明确是在“四边形”还是“平行四边形”的基础上.1.牢固掌握矩形、菱形、正方形的定义、性质和判定定理,它们大多是从边、角、对角线三个方面来描述的,分类记忆,便于灵活应用.2.适当进行动手操作训练,从实践中认识特殊平行四边形的轴对称性和中心对称性,再进行相应的证明和计算,也是正确解答综合性问题的有效途径.命题点1矩形的性质与判定例1(2022·12\n巴中)如图,在四边形ABCD中,点H是边BC的中点,作射线AH,在线段AH及其延长线上分别取点E,F,连接BE,CF.(1)请你添加一个条件,使得△BEH≌△CFH,你添加的条件是,并证明;(2)在问题(1)中,当BH与EH满足什么关系时,四边形BFCE是矩形,请说明理由.【思路点拨】(1)根据全等三角形的判定方法,可得出当EH=FH或BE∥CF或∠EBH=∠FCH时,都可以证明△BEH≌△CFH;(2)由(1)可得出四边形BFCE是平行四边形,再根据对角线相等的平行四边形为矩形可得出BH=EH时,四边形BFCE是矩形.【解答】方法归纳:矩形具有平行四边形的所有性质,同时也具有其特殊的性质;判定矩形的方法是多样的,可以先判定这个四边形是平行四边形,然后利用一内角为90°或对角线相等判定矩形.1.(2022·重庆B卷)如图,在矩形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,∠ACB=30°,则∠AOB的大小为()A.30°B.60°C.90°D.120°2.在数学活动课上,老师要同学们判断自己的课桌是不是矩形,经过测量,小明说:“我的课桌是矩形,我测量了对角线相等.”小华说:“我的课桌也是矩形,我测量了一组对角是直角.”小丽说:“那我的课桌更是矩形,我测量了其中三个角都为直角.”请问说法不正确的同学有()A.0位B.1位C.2位D.3位3.(2022·邵阳)如图所示,将△ABC绕AC的中点O顺时针旋转180°得到△CDA,添加一个条件,使四边形ABCD为矩形.4.(2022·泉州)已知:如图,在矩形ABCD中,点E,F分别在AB,CD边上,BE=DF,连接CE,AF.求证:AF=CE.12\n命题点2菱形的性质与判定例2(2022·莱芜)如图,已知△ABC是等腰三角形,顶角∠BAC=α(α<60°),D是BC边上的一点,连接AD,线段AD绕点A顺时针旋转α到AE,过点E作BC的平行线,交AB于点F,连接DE,BE,DF.(1)求证:BE=CD;(2)若AD⊥BC,试判断四边形BDFE的形状,并给出证明.【思路点拨】(1)根据等腰三角形及旋转的性质,利用SAS证△EAB≌△DAC,进而得出结论;(2)先证BE=BD=CD,再证EB=EF,则BE=EF=BD,又EF∥BD,即可得证四边形BDFE为菱形.【解答】方法归纳:菱形的判定一般先判定为平行四边形,然后从内角、邻边或对角线这三个角度分析,也可直接判定四条边相等.1.(2022·宁波)菱形的两条对角线长分别是6和8,则此菱形的边长是()A.10B.8C.6D.52.(2022·重庆A卷)如图,菱形ABCD中,∠A=60°,BD=7,则菱形ABCD的周长为.3.(2022·常州)如图,在△ABC中,AB=AC,∠B=60°,∠FAC、∠ECA是△ABC的两个外角,AD平分∠FAC,CD平分∠ECA.求证:四边形ABCD是菱形.12\n命题点3正方形的性质与判定例3(2022·南京)如图,在四边形ABCD中,AB=BC,对角线BD平分∠ABC,P是BD上一点,过点P作PM⊥AD,PN⊥CD,垂足分别为M、N.(1)求证:∠ADB=∠CDB;(2)若∠ADC=90°,求证:四边形MPND是正方形.【思路点拨】(1)根据角平分线的性质和全等三角形的判定方法证明△ABD≌△CBD,由全等三角形的性质即可得到∠ADB=∠CDB;(2)因为∠ADC=90°,由(1)中的条件可得四边形MPND是矩形,由角平分线的性质可得出PM=PN,再根据邻边相等的矩形是正方形即可证明四边形MPND是正方形.【解答】方法归纳:正方形的性质集矩形和菱形的性质于一体;在判定正方形的过程中,通常是先证明此四边形为矩形,再去证明有一组邻边相等或者对角线互相垂直;或先证明其为菱形,再证有一个角是直角或者对角线相等.1.如图,在平面直角坐标系中,正方形OABC的顶点O、B的坐标分别是(0,0),(2,0),则顶点C的坐标是()A.(1,1)B.(-1,-1)C.(1,-1)D.(-1,1)2.(2022·株洲)已知四边形ABCD是平行四边形,再从①AB=BC,②∠ABC=90°,③AC=BD,④AC⊥BD四个条件中,选两个作为补充条件后,使得四边形ABCD是正方形,现有下列四种选法,其中错误的是()A.选①②B.选②③C.选①③D.选②④3.(2022·泸州)如图,正方形ABCD中,E、F分别为BC、CD上的点,且AE⊥BF,垂足为G,求证:AE=BF.12\n第1课时基础训练1.(2022·珠海)边长为3cm的菱形的周长是()A.6cmB.9cmC.12cmD.15cm2.(2022·成都)如图,将矩形ABCD沿对角线BD折叠,使点C和点C′重合,若AB=2,则C′D的长为()A.1B.2C.3D.43.(2022·福州)如图,在正方形ABCD的外侧,作等边三角形ADE,AC、BE相交于点F,则∠BFC为()A.45°B.55°C.60°D.75°4.(2022·丽水)如图,小红在作线段AB的垂直平分线时,是这样操作的:分别以点A,B为圆心,大于线段AB长度的一半的长为半径画弧,相交于点C,D,则直线CD即为所求.连接AC,BC,AD,BD,根据她的作图方法可知四边形ADBC一定是()A.矩形B.菱形C.正方形D.不能确定5.(2022·玉林)下列命题是假命题的是()A.四个角相等的四边形是矩形B.对角线相等的平行四边形是矩形C.对角线垂直的四边形是菱形D.对角线垂直的平行四边形是菱形6.(2022·菏泽)如图,把一个长方形的纸片按图示对折两次,然后剪下一部分,为了得到一个钝角为120°12\n的菱形,剪口与第二次折痕所成角的度数应为()A.15°或30°B.30°或45°C.45°或60°D.30°或60°7.如图,已知菱形ABCD,其顶点A,B在数轴上对应的数分别为-4和1,则BC=.8.(2022·衡阳)如图,在矩形ABCD中,∠BOC=120°,AB=5,则BD的长为.9.(2022·淄博)已知□ABCD,对角线AC,BD相交于点O,请你添加一个适当的条件,使□ABCD成为一个菱形.你添加的条件是.10.如图,在四边形ABCD中,已知AB∥DC,AB=DC.在不添加任何辅助线的前提下,要想该四边形成为矩形,只需再加上一个条件是.(填上你认为正确的一个答案即可)11.(2022·苏州)已知正方形ABCD的对角线AC=,则正方形ABCD的周长为.12.(2022·临沂)如图,菱形ABCD中,AB=4,∠B=60°,AE⊥BC,AF⊥CD,垂足分别为E,F,连接EF,则△AEF的面积是.13.(2022·广州)如图,四边形ABCD是菱形,对角线AC与BD相交于O,AB=5,AO=4,求BD的长.14.(2022·牡丹江一模)如图,正方形ABCD的边长为4,点E是正方形边上的点,AE=5,BF⊥AE,垂足为点F,求BF的长.12\n15.(2022·宜昌)如图,点E,F分别是锐角∠A两边上的点,AE=AF;分别以点E,F为圆心,以AE的长为半径画弧,两弧相交于点D,连接DE,DF.(1)请你判断所画四边形的形状,并说明理由;(2)连接EF,若AE=8厘米,∠A=60°,求线段EF的长.16.(2022·枣庄)如图,四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O,已知O是AC的中点,AE=CF,DF∥BE.(1)求证:△BOE≌△DOF;(2)若OD=AC,则四边形ABCD是什么特殊四边形?请证明你的结论.第2课时能力训练1.(2022·毕节)如图所示,菱形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,H为AD边的中点,菱形ABCD的周长为28,则OH的长等于()A.3.5B.4C.7D.142.如图,在△ABC中,AC=BC,点D、E分别是边AB、AC的中点,将△ADE绕点E旋转180°得△CFE,则四边形ADCF一定是()A.矩形B.菱形C.正方形D.平行四边形12\n3.(2022·聊城)如图,在矩形ABCD中,边AB的长为3,点E,F分别在AD,BC上,连接BE,DF,EF,BD,若四边形BEDF是菱形,且EF=AE+FC,则边BC的长为()A.2B.3C.6D.4.(2022·南京)如图,在矩形AOBC中,点A的坐标是(-2,1),点C的纵坐标是4,则B、C两点的坐标分别是()A.(,3)、(-,4)B.(,3)、(-,4)C.(,)、(-,4)D.(,)、(-,4)5.(2022·资阳)如图,在边长为4的正方形ABCD中,E是AB边上的一点,且AE=3,点Q为对角线AC上的动点,则△BEQ周长的最小值为.6.(2022·十堰)如图,在△ABC中,点D是BC的中点,点E、F分别在线段AD及其延长线上,且DE=DF,给出下列条件:①BE⊥EC;②BF∥CE;③AB=AC;从中选择一个条件使四边形BECF是菱形,你认为这个条件是(只填写序号).7.(2022·上海)如图,已知在矩形ABCD中,点E在边BC上,BE=2CE,将矩形沿着过点E的直线翻折后,点C、D分别落在边BC下方的点C′、D′处,且点C′、D′、B在同一条直线上,折痕与边AD交于点F,D′F与BE交于点G.设AB=t,那么△EFG的周长为(用含t的代数式表示).12\n8.(2022·聊城)如图,在四边形ABCD中,∠A=∠BCD=90°,BC=CD,CE⊥AD,垂足为E.求证:AE=CE.参考答案考点解读①直角②直角③相等④对角线的交点⑤对角线相等⑥邻边相等⑦相等⑧垂直平分⑨对角线的交点⑩一半⑪相等⑫互相垂直⑬相等⑭直角⑮相等⑯直角垂直平分相等四矩形菱形互相垂直平分且相等各个击破例1(1)添加条件:BE∥CF(答案不唯一).证明:∵BE∥CF,∴∠EBH=∠HCF.∵点H是边BC的中点,∴BH=CH.又∵∠BHE=∠CHF,∴△BEH≌△CFH(ASA).(2)当BH=EH时,四边形BFCE是矩形.理由如下:∵△BEH≌△CFH,∴BH=CH,EH=FH,∴四边形BFCE是平行四边形.又∵BH=EH,∴EF=BC,∴四边形BFCE是矩形.题组训练1.B2.C3.∠B=90°或∠BAC+∠BCA=90°4.证明:∵四边形ABCD是矩形,∴DC∥AB,DC=AB,∴CF∥AE.∵DF=BE,∴CF=AE,∴四边形AFCE是平行四边形,∴AF=CE.例2(1)证明:由题知AE=AD,AB=AC,∠BAC=∠EAD=α.∵∠BAC=∠BAD+∠DAC,∠EAD=∠BAD+∠EAB,∴∠EAB=∠DAC,∴△EAB≌△DAC(SAS),∴BE=CD.(2)四边形BDFE是菱形.∵AB=AC,AD⊥BC,∴BD=CD,∠C=∠DBF,∴BE=BD=CD.12\n由△EAB≌△DAC,得∠EBF=∠C,∴∠EBF=∠DBF.∵EF∥BC,∴∠DBF=∠EFB,∴∠EBF=∠EFB,∴EB=EF,∴EF=BD,∴四边形BDFE是平行四边形.又∵BE=BD,∴四边形BDFE是菱形.题组训练1.D2.283.证明:∵∠B=60°,AB=AC,∴△ABC为等边三角形,∴AB=BC,∠BAC=∠ACB=60°,∠FAC=∠ACE=120°.又∵AD平分∠FAC,CD平分∠ECA,∴∠FAD=∠ECD=60°,∴AD∥BC,CD∥AB,∴四边形ABCD是平行四边形.∵AB=BC,∴四边形ABCD是菱形.例3证明:(1)∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠CBD.又∵BA=BC,BD=BD,∴△ABD≌△CBD,∴∠ADB=∠CDB.(2)∵PM⊥AD,PN⊥CD,∴∠PMD=∠PND=90°.又∵∠ADC=90°,∴四边形MPND是矩形.∵∠ADB=∠CDB,PM⊥AD,PN⊥CD,∴PM=PN,∴四边形MPND是正方形.题组训练1.C2.B3.证明:∵四边形ABCD是正方形,∴AB=BC,∠ABC=∠BCF=90°,∴∠BAE+∠AEB=90°.又∵AE⊥BF,垂足为G,∴∠CBF+∠AEB=90°,∴∠BAE=∠CBF.在△ABE与△BCF中,∴△ABE≌△BCF(ASA),∴AE=BF.整合集训第1课时基础训练1.C2.B3.C4.B5.C6.D7.58.109.AB=BC或AC⊥BD等10.∠A=90°11.412.13.∵四边形ABCD是菱形,∴OA⊥OB.∵AB=5,AO=4,∴OB=3,∴BD=6.12\n14.由勾股定理得,BE===3,∵BF⊥AE,∴S△ABE=AE·BF=AB·BE,即×5·BF=×4×3,解得BF=.15.(1)四边形AEDF为菱形.理由如下:∵AE=AF=ED=DF,∴四边形AEDF为菱形.(2)∵AE=AF,∠A=60°,∴△EAF为等边三角形,∴EF=AE=8厘米.16.(1)证明:∵O是AC的中点,∴OA=OC.∵AE=CF,∴OE=OF.∵DF∥BE,∴∠OEB=∠OFD.∵∠EOB=∠FOD,∴△BOE≌△DOF(ASA).(2)四边形ABCD是矩形.证明如下:∵△BOE≌△DOF,∴OD=OB.∵OA=OC,∴四边形ABCD是平行四边形.∵OD=AC,OD=BD,∴AC=BD,∴四边形ABCD是矩形.第2课时能力训练1.A2.A3.B4.B提示:首先过点A作AD⊥x轴于点D,过点B作BE⊥x轴于点E,过点C作CF∥y轴,过点A作AF∥x轴,交点为F,易得△CAF≌△BOE,△AOD∽△OBE,然后由相似三角形的对应边成比例,求得答案.5.66.③7.8.证明:作BF⊥CE于F.12\n∵∠BCF+∠DCE=90°,∠D+∠DCE=90°,∴∠BCF=∠D.又BC=CD,∴Rt△BCF≌Rt△CDE,∴BF=CE.又∠BFE=∠AEF=∠A=90°,∴四边形ABFE是矩形,∴BF=AE,∴AE=CE.12
版权提示
- 温馨提示:
- 1.
部分包含数学公式或PPT动画的文件,查看预览时可能会显示错乱或异常,文件下载后无此问题,请放心下载。
- 2.
本文档由用户上传,版权归属用户,莲山负责整理代发布。如果您对本文档版权有争议请及时联系客服。
- 3.
下载前请仔细阅读文档内容,确认文档内容符合您的需求后进行下载,若出现内容与标题不符可向本站投诉处理。
- 4.
下载文档时可能由于网络波动等原因无法下载或下载错误,付费完成后未能成功下载的用户请联系客服vx:lianshan857处理。客服热线:13123380146(工作日9:00-18:00)