【火线100天】2022中考数学专题复习 阅读理解问题
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阅读理解问题阅读理解型问题一般都是先提供一个解题思路,或介绍一种解题方法,或展示一个数学结论的推导过程等文字或图表材料,然后要求大家自主探索,理解其内容、思想方法,把握本质,解答试题中提出的问题.对于这类题求解步骤是“阅读——分析——理解——创新应用”,其中最关键的是理解材料的作用和用意,一般是启发你如何解决问题或为了解决问题为你提供工具及素材.因此这种试题是考查大家随机应变能力和知识的迁移能力.题型之一新定义、新概念阅读型例1(2022·安徽)若两个二次函数图象的顶点,开口方向都相同,则称这两个二次函数为“同簇二次函数”.(1)请写出两个为“同簇二次函数”的函数;(2)已知关于x的二次函数y1=2x2-4mx+2m2+1和y2=ax2+bx+5,其中y1的图象经过点A(1,1),若y1+y2与y1为“同簇二次函数”,求函数y2的表达式,并求当0≤x≤3时,y2的最大值.【思路点拨】(1)根据“同簇二次函数”先选择所写函数的顶点坐标,使二次项系数同号但数值不同即可;(2)根据其中y1的图象经过点A(1,1),把点A的坐标代入函数解析式中即可求出m的值,得y1解析式.利用y1+y2的顶点与y1的顶点相同求a,b.最后利用二次函数的性质确定当0≤x≤3时y2的最大值.【解答】(1)答案不唯一,如顶点是原点,开口向上的二次函数,y=x2和y=2x2;(2)把点A(1,1)坐标代入到y1=2x2-4mx+2m2+1中,得2×12-4m×1+2m2+1=1,解得m=1.∴y1=2x2-4x+3.∵y1+y2=2x2-4x+3+ax2+bx+5=(a+2)x2+(b-4)x+8,又∵y1=2x2-4x+3=2(x-1)2+1,其顶点为(1,1),且y1+y2与y1为“同簇二次函数”,∴解得∴y2=5x2-10x+5=5(x-1)2.∵当0≤x<1时,y随x的增大而减小,当x=0时,y2=5.当1≤x≤3时,y随x的增大而增大,当x=3时,y2=20.∴在0≤x≤3中,当x=3时,y2有最大值,最大值y2=5×(3-1)2=20.故当0≤x≤3时,y2的最大值是20.方法归纳:这类题首先要读懂题目中的新概念,然后将新概念的问题与原有的知识结合,利用原有的知识解决问题,其实就是“披了一件新外衣”,解决方法还是用原来的知识点.1.(2022·成都)在边长为1的小正方形组成的方格纸中,称小正方形的顶点为“格点”,顶点全在格点上的多边形为“格点多边形”.格点多边形的面积记为S,其内部的格点数记为N,边界上的格点数记为L,例如,图中的三角形ABC是格点三角形,其中S=2,N=0,L=6;图中格点多边形DEFGHI所对应的S,N,L分别是.经探究发现,任意格点多边形的面积S可表示为S=aN+bL+c,其中a,b,c为常数,则当N=5,L=14时,S=.(用数值作答)2.(2022·白银)阅读理解:12\n我们把称作二阶行列式,其运算法则为=ad-bc.如:=2×5-3×4=-2.如果有>0,求x的解集.3.(2022·巴中)定义新运算:对于任意实数a、b都有a△b=ab-a-b+1,等式右边是通常的加法、减法及乘法运算,例如:2△4=2×4-2-4+1=8-6+1=3,请根据上述知识解决问题:若3△x的值大于5而小于9,求x的取值范围.4.(2022·长沙改编)在平面直角坐标系中,我们不妨把横坐标与纵坐标相等的点称为“梦之点”.例如点(-1,-1),(0,0),(,),…都是“梦之点”,显然,这样的“梦之点”有无数个.(1)若点P(2,m)是反比例函数y=(n为常数,n≠0)的图象上的“梦之点”,求这个反比例函数的解析式;(2)函数y=3kx+s-1(k,s是常数)的图象上存在“梦之点”吗?若存在,请求出“梦之点”的坐标;若不存在,请说明理由.5.(2022·咸宁)阅读理解:如图1,在四边形ABCD的边AB上任取一点E(点E不与点A,B重合),分别连接ED,EC,可以把四边形ABCD分成三个三角形,如果其中有两个三角形相似,我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的相似点;如果这三个三角形都相似,我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的强相似点.解决问题:(1)如图1,∠A=∠B=∠DEC=55°,试判断点E是不是四边形ABCD的边AB上的相似点,并说明理由;(2)如图2,在矩形ABCD中,AB=5,BC=2,且A,B,C,D四点均在正方形网格(网格中每个小正方形的边长为1)的格点(即每个小正方形的顶点)上,试在图2中画出矩形ABCD的边AB上的一个强相似点E;拓展探究:(3)如图3,将矩形ABCD沿CM折叠,使点D落在AB边上的点E处.若点E恰好是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点,试探究AB和BC的数量关系.12\n题型之二学习应用型例2(2022·济宁)阅读材料:已知,如图1,在面积为S的△ABC中,BC=a,AC=b,AB=c,内切圆O的半径为r.连接OA,OB,OC,△ABC被划分为三个小三角形.∵S=S△OBC+S△OAC+S△OAB=BC·r+AC·r+AB·r=(a+b+c)r,∴r=.(1)类比推理:若面积为S的四边形ABCD存在内切圆(与各边都相切的圆),如图2,各边长分别为AB=a,BC=b,CD=c,AD=d,求四边形的内切圆半径r;(2)理解应用:如图3,在等腰梯形ABCD中,AB∥DC,AB=21,CD=11,AD=13,⊙O1与⊙O2分别为△ABD与△BCD的内切圆,设它们的半径分别为r1和r2,求的值.【思路点拨】(1)连接OA,OB,OC,OD,仿照例题易得r.(2)过上底顶点作下底垂线,从而求出BD的长以及梯形的高,从而利用(1)的结论用含有r1和r2的式子表示出两三角形的面积.根据等高的三角形面积比等于底的比,建立等量关系,得到两半径之比.【解答】(1)连接OA,OB,OC,OD.作出对应四个三角形的高OE,OF,OG,OH.∵S=S△AOB+S△BOC+S△COD+S△AOD=ar+br+cr+dr=(a+b+c+d)r,∴r=.12\n(2)过点D作DE⊥AB于点E,则AE=(AB-DC)=×(21-11)=5.DE===12.BE=AB-AE=21-5=16.BD===20.∵AB∥DC,∴==.又∵===,∴=.即=.方法归纳:本题从人教版九年级上册课本P100练习2入手,将知识层层推进.解决这类题一定要弄懂给出学习的例题得出解题思路,然后类比例题的思路解决第(2)问的内容.1.(2022·兰州)为了求1+2+22+23+…+2100的值,可令S=1+2+22+23+…+2100,则2S=2+22+23+24+…+2101,因此2S-S=2101-1,所以S=2101-1,即1+2+22+23+…+2100=2101-1,仿照以上推理计算1+3+32+33+…+32014的值是.2.(2022·湛江)阅读下面的材料,先完成阅读填空,再按要求答题:sin30°=,cos30°=,则sin230°+cos230°=;①sin45°=,cos45°=,则sin245°+cos245°=;②sin60°=,cos60°=,则sin260°+cos260°=;③…,观察上述等式,猜想:对任意锐角A,都有sin2A+cos2A=.④(1)如图,在锐角三角形ABC中,利用三角函数的定义及勾股定理对∠A证明你的猜想;12\n(2)已知:∠A为锐角(cosA>0)且sinA=,求cosA.3.(2022·黔西南)阅读材料:小明在学习二次根式后,发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方,如3+2=(1+)2.善于思考的小明进行了以下探索:设a+b=(m+n)2(其中a,b,m,n均为整数),则有a+b=m2+2n2+2mn.∴a=m2+2n2,b=2mn.这样小明就找到了一种把类似a+b的式子化为平方式的方法.请你仿照小明的方法探索并解决下列问题:(1)当a,b,m,n均为正整数时,若a+b=(m+n)2,用含m,n的式子分别表示a,b,得a=,b=;(2)利用所探索的结论,找一组正整数a,b,m,n填空:=;(3)若a+4=(m+n)2,且a,m,n均为正整数,求a的值.4.(2022·黔西南)已知点P(x0,y0)和直线y=kx+b,则点P到直线y=kx+b的距离d可用公式d=计算.例如:求点P(-2,1)到直线y=x+1的距离.解:因为直线y=x+1可变形为x-y+1=0,其中k=1,b=1,所以点P(-2,1)到直线y=x+1的距离为:d====.根据以上材料,求:(1)点P(1,1)到直线y=3x-2的距离,并说明点P与直线的位置关系;(2)点P(2,-1)到直线y=2x-1的距离;(3)已知直线y=-x+1与y=-x+3平行,求这两条直线的距离.题型之三纠错补全型12\n例3(2022·温州)八(1)班五位同学参加学校举办的数学素养竞赛.试卷中共有20道题,规定每题答对得5分,答错扣2分,未答得0分.赛后A,B,C,D,E五位同学对照评分标准回忆并记录了自己的答题情况(E同学只记得有7道题未答),具体如下表:参赛同学答对题数答错题数未答题数A1901B1721C1523D1712E//7(1)根据以上信息,求A,B,C,D四位同学成绩的平均分;(2)最后获知A,B,C,D,E五位同学的成绩分别是95分,81分,64分,83分,58分.①求E同学的答对题数和答错题数;②经计算,A,B,C,D四位同学实际成绩的平均分是80.75分,与(1)中算得的平均分不相符,发现是其中一位同学记错了自己的答题情况.请指出哪位同学记错了,并写出他的实际答题情况(直接写出答案即可).【思路点拨】(1)5×答对题数-2×答错题数=个人的得分,然后算出4人平均分;(2)①设E同学答对题数为x,得到答错题数,然后利用(1)的关系式列出方程,求解即可;②对比(1)、(2)中每人成绩,得出C同学出错,然后利用二元一次方程的特解找到C同学答题情况.【解答】(1)A同学的成绩为:5×19-2×0+0×1=95,B同学的成绩为:5×17-2×2+0×1=81,C同学的成绩为:5×15-2×2+0×3=71,D同学的成绩为:5×17-2×1+0×2=83.A,B,C,D四位同学成绩的平均分为=82.5.答:A,B,C,D四位同学成绩的平均分为82.5分.(2)①设E同学答对x道题,则答错题数为(13-x)道.由题意可得5x-2(13-x)+0×7=58,解得x=12.答:E同学答对题数为12,答错题数为1.②C同学的成绩记错了.设C同学答对a道题,答错b道题.则5a-2b=64,即有a=.又∵a+b≤20,且a、b为整数,∴可行解只有20-a-b=3.答:C同学答对14道题,答错3道题,未答3道题.方法归纳:解决这类问题的关键是分清题目中哪些信息是没有失误的,哪些信息是有误的.在正确信息下得到的结论仍是正确的,利用正确信息去找失误点,然后解决问题.1.(2022·河北)嘉淇同学用配方法推导一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式时,对于b2-4ac>0的情况,她是这样做的:由于a≠0,方程ax2+bx+c=0变形为:x2+x=-,……第一步12\nx2+x+()2=-+()2,……第二步(x+)2=,……第三步x+=(b2-4ac>0),……第四步x=.……第五步(1)嘉淇的解法从第步开始出现错误;事实上,当b2-4ac>0时,方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式是.(2)用配方法解方程x2-2x-24=0.2.阅读下题及其证明过程:已知:如图,D是△ABC中BC边上一点,EB=EC,∠ABE=∠ACE.求证:∠BAE=∠CAE.证明:在△AEB和△AEC中,∴△AEB≌△AEC(第一步).∴∠BAE=∠CAE(第二步).问:上面证明过程是否正确?若正确,请写出每一步推理根据;若不正确,请指出错在哪一步?并写出你认为正确的推理过程.3.“?”的思考下框中是小明对一道题目的解答以及老师的批语.12\n题目:某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室,要求长与宽的比为2∶1,在温室前内侧保留3米宽的空地,其他三内侧各保留1米宽的道路,当温室的长与宽各是多少时,矩形蔬菜种植区的面积为288m2?解:设矩形蔬菜种植区域的宽为xm,则长为2xm?根据题意,得2x·x=288.解这个方程,得x1=-12(不合题意,舍去),x2=12.所以温室的长为2×12+3+1=28(m),宽为12+1+1=14(m).答:当温室的长为28米,宽为14米时,矩形蔬菜种植区域的面积是288米2.我的结果也正确!小明发现他解答的结果是正确的,但是老师却在他的解答中画了一条横线,并打了一个“?”.结果为何不正确呢?(1)请你指出小明解答过程中存在的问题,并补充缺少的过程;变化一下会怎样…(2)如图,矩形A′B′C′D′在矩形ABCD内部.AB∥A′B′,AD∥A′D′,且AD∶AB=2∶1,设AB与A′B′、BC与B′C′、CD与C′D′、DA与D′A′之间的距离分别为a、b、c、d,要使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD,a、b、c、d满足什么条件?请说明理由.12\n4.(2022·河北)某校260名学生参加植树活动,要求每人植4~7棵,活动结束后随机抽查了20名学生每人的植树量,并分为四种类型,A:4棵;B:5棵;C:6棵;D:7棵.将各类的人数绘制成扇形图(如图1)和条形图(如图2),经确认扇形图是正确的,而条形图尚有一处错误.回答下列问题:(1)写出条形图中存在的错误,并说明理由;(2)写出这20名学生每人植树量的众数、中位数;(3)在求这20名学生每人植树量的平均数时,小宇是这样分析的:第一步:求平均数的公式是;第二步:在该问题中,n=4,x1=4,x2=5,x3=6,x4=7;第三步:=4+5+6+74=5.5(棵).①小宇的分析是从哪一步开始出现错误的?②请你帮他计算出正确的平均数,并估计这260名学生共植树多少棵.参考答案题型之一新定义、新概念阅读型1.7,3,1011提示:不妨设某个格点四边形由四个小正方形组成,此时,S=4,N=1,L=8.由题意,可联立方程组解得∴S=N+L-1.∴当N=5,L=14时,S=11.2.由题意得2x-(3-x)>0,∴2x-3+x>0.∴x>1.3.∵3△x=3x-3-x+1=2x-2,12\n∴解得<x<.4.(1)∵点P(2,m)是“梦之点”,∴m=2,P(2,2).将点P(2,2)代入y=中,得n=4,∴y=.(2)设函数y=3kx+s-1的图象上存在“梦之点”,∴设该“梦之点”为(a,a),代入得a=3ka+s-1.∴(3k-1)a=1-s.①3k-1=0,1-s=0,即k=,s=1时,y=x,此时直线上所有点都是“梦之点”;②当3k-1=0,1-s≠0时,此方程无解,不存在“梦之点”;③当3k-1≠0时,即k≠,解得a=,“梦之点”为(,).综上所述,当k≠时,“梦之点”为(,);当k=,s=1时,“梦之点”有无数个;当k=,s≠1时,不存在“梦之点”.5.(1)点E是四边形ABCD的边AB上的相似点.理由:∵∠A=55°,∴∠ADE+∠DEA=125°.∵∠DEC=55°,∴∠BEC+∠DEA=125°.∴∠ADE=∠BEC.∵∠A=∠B,∴△ADE∽△BEC.即点E是四边形ABCD的AB边上的相似点.(2)作图如图2所示.(3)∵点E是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点,∴△AEM∽△BCE∽△ECM,∴∠BCE=∠ECM=∠AEM.由折叠可知:∠ECM=∠DCM=∠BCE,CE=CD,∴∠BCE=∠BCD=30°.∴2BE=CE=AB.在Rt△BCE中,tan∠BCE==tan30°=,∴BE=BC.即AB=BC.题型之二学习应用型1.2.1;1;1;1.12\n(1)证明:如图,过点B作BH⊥AC于点H,则BH2+AH2=AB2.在Rt△ABH中,sinA=,cosA=,∴sin2A+cos2A=+==1.(2)∵sin2A+cos2A=1,sinA=,∴cos2A=1-()2=.又∵cosA>0,∴cosA=.3.(1)∵a+b=(m+n)2,∴a+b=m2+3n2+2mn,∴a=m2+3n2,b=2mn.故答案为m2+3n2,2mn.(2)答案不唯一,如:设m=1,n=1,∴a=m2+3n2=4,b=2mn=2.故答案为4+2,(1+)2.(3)由题意,得a=m2+3n2,b=2mn=4,则mn=2.∵m,n为正整数,∴m=2,n=1或m=1,n=2.∴a=22+3×12=7,或a=12+3×22=13.即a的值为7或13.4.(1)∵点P(1,1)在直线y=3x-2的图象上,∴d=0.(2)因为直线y=2x-1可变形为2x-y-1=0,其中k=2,b=-1,所以点P(2,-1)到直线y=2x-1的距离为:d===.(3)∵直线y=-x+1、y=-x+3平行,∴任取直线y=-x+1上的一点到直线y=-x+3的距离即为两直线之间的距离.∴取y=-x+1上的一点P(0,1)到直线y=-x+3的距离.d====.即两直线之间的距离为.题型之三纠错补全型12\n1.(1)四;.(2)方程x2-2x-24=0变形,得x2-2x=24,x2-2x+1=24+1,(x-1)2=25,x-1=±5,x=1±5,∴x=-4或x=6.2.不正确,错在第一步.正确的推理是:∵EB=EC,∴∠EBC=∠ECB.又∠ABE=∠ACE,∴∠ABC=∠ACB.∴AB=AC.又∵AE=AE,EB=EC,∴△ABE≌△ACE(SSS).∴∠BAE=∠CAE.3.(1)这里的长与宽的比为2∶1,是蔬菜大棚的长与宽,而不是蔬菜种植区域.设蔬菜大棚的宽为xm,则其长为2xm,蔬菜种植区域的长为(2x-3-1)=(2x-4)m,宽为(x-1-1)=(x-2)m.依题意,得(2x-4)(x-2)=288.解这个方程,得x1=-10(不合题意,舍去),x2=14.∴x=14,2x=28.答:当温室的长为28米,宽为14米时,矩形蔬菜种植区域的面积是288米2.(2)设AB=x,则AD=2x,那么A′D′=2x-a-c,A′B′=x-b-d.∵矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD,∴AD∶AB=A′D′∶A′B′=2∶1.∴A′D′=2A′B′,∴2x-a-c=2(x-b-d),∴a+c=2b+2d.4.(1)D有错.理由:D组人数为10%×20=2≠3;(2)众数为5,中位数为5;(3)①第二步,②==5.3.估计这260名学生共植树:5.3×260=1378(棵).12
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