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天津市佳春中学中考数学复习 图形运动过程中的临界问题
天津市佳春中学中考数学复习 图形运动过程中的临界问题
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图形运动过程中的临界问题一、题型特点1.图形位置不确定;2.图形运动具有连续性;3.多以求某一变量的取值范围或最值为主.二、涉及的主要知识点1.几何作图或画函数图象;2.几何计算;3.方程或不等式(组);三、主要解题思路1.通过画图(或示意图)或直观操作把问题直观化;2.确定运动的起始位置、终止位置或某些特殊位置,化动为静;3.计算临界位置的相应结果,得到相应变量的取值范围或最值.四、例题讲解例1在矩形纸片ABCD中,AB=3,AD=5.如图1所示,折叠纸片,使点A落在BC边上的A'处,折痕为PQ,当点A'在BC边上移动时,折痕的端点P、Q也随之移动.若限定点P、Q分别在AB、AD边上移动,则BA'的取值范围是.图3图2图1分析:如图2,解题由画图开始.点A'在BC边上移动,可首先使点A'与点B重合,画出相应的图形,如图2所示;再使点A'与点C重合,画出相应的图形,如图3所示,可知均不满足条件,进而可得出,点P、Q的位置决定BA'的取值范围.当点P与点B重合时,如图4所示,BA'值再大,当点Q与点D重合时,如图5所示,BA'值再小,BA'的取值范围可求.图5图4-11-\n解:如图4,当点P与点B重合时,BA'=3.如图5,当点Q与点D重合时,DA'=5,CA'=5,BA'=1.所以BA'的取值范围是1≤BA'≤3.例2已知二次函数y=x2+2x+c.(1)当c=-3时,求出该二次函数的图象与x轴的交点坐标;图4图3图2(2)若-2<x<1时,该二次函数的图象与x轴有且只有一个交点,求c的取值范围.图1解:(1)略.(2)分析:从已知入手,画出图形.由函数的解析式y=x2+2x+c可以得出二次项系数是1,函数图象的形状确定,因为一次项系数是2,所以函数图象的对称轴确定是直线x=-1,故而可知该函数的图象因常数项的变化而沿直线x=-1上下平移.又因为条件-2<x<1可知,该二次函数的图象如图1所示.确定一种运动方式,不妨确定为从下向上运动.函数图象与x轴的交点情况为0、1、2、1、0五种情况.确定临界位置分别如图2、图3、图4所示.分别把(1,0)、(-2,0)、(-1,0)代入函数的解析式可得出相应的c值,c的取值范围可求.解:(2)由(1,0)得,0=12+2×1+c,c=-3;由(-2,0)得,0=(-2)2+2×(-2)+c,c=0;由(-1,0)得,0=(-1)2+2×(-1)+c,c=1.所以c的取值范围是-3<c≤0或c=1.-11-\n图3例3如图1,在平面直角坐标系中,点A的坐标是(4,3),动圆D经过A、O,分别与两轴的正半轴交于点E、F,求直径EF的范围.图1图2分析:要求直径EF的范围,就是求出EF的最大值与最小值.因为图形位置不确定,找到图形运动的临界位置,画出相应的图形,化动为静.由已知条件“动圆D经过A、O,分别与两轴的正半轴交于点E、F”,可得出点E、F与点O重合是此题的两个临界位置(此时圆心D分别在x、y轴上).画出对应的图形,如图2、图3所示.由已知条件动圆D经过A、O,可以确定圆心D在线段OA的垂直平分线上,以DO为半径依次画出规范的图形,如图4所示,观察EF的变化规律:当点F从图2中的位置向图3中的位置连续变化时,EF的大小变化是先由大变小,再由小变大,直观得出图3时最大,并猜想最小值在运动过程中的某处.进而猜想圆心D在线段OA上时,FE的值最小,如图5.此猜想的证明如图6,连接OD、DA、OA,由EF=OD+DA,当OD+DA最小时,EF的值最小,又OD+DA≥OA,所以EF得最小值等于OA.图6图5图4-11-\n解:如图5,易知OA=5.如图3,求得EF=;如图4,求得EF=.所以5≤EF<.五、练习题1.如图,∠ABC=90°,O为射线BC上一点,以点O为圆心,OB长为半径作⊙O,若射线BA绕点B按顺时针方向旋转至,若与⊙O有公共点,则旋转的角度(0°<<180°)的范围是.2.已知二次函数y=2x2+4x-6.把二次函数y=2x2+4x-6的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折,图象的其余部分保持不变,得到一个新的图象.请你结合这个新的图象回答:当直线(b<k)与此图象有两个公共点时,b的取值范围.3.已知二次函数和一次函数,设二次函数的图象与轴交于点(点在点的左侧),将二次函数的图象在点间的部分(含点和点)向左平移个单位后得到的图象记为,同时将直线向上平移个单位.请结合图象回答:当平移后的直线与图象有公共点时,的取值范围.-11-\nABCDPE4.如图,已知在矩形ABCD中,AB=2,BC=3,P是线段AD边上的任意一点(不含端点A、D),连结PC,过点P作PE⊥PC交AB于E当点P在AD上运动时,对应的点E也随之在AB上运动,求BE的取值范围.5.在矩形ABCD中,点P在AD上,AB=2,AP=1,将三角板的直角顶点放在点P处,三角板的两直角边分别能与AB、BC边相交于点E、F,连接EF.(1)如图,当点E与点B重合时,点F恰好与点C重合,求此时PC的长;(2)将三角板从(1)中的位置开始,绕点P顺时针旋转,当点E与点A重合时停止,在这个过程中,请你观察、探究并解答直接写出从开始到停止,线段EF的中点所经过的路线长.备用图-11-\n练习题参考答案:1.60°≤≤120°2.3.4.≤BE<25.(1)(2)说明:例2是2022年北京市朝阳区九年级综合练习(二)数学试卷第22题;22.已知二次函数.(1)当c=-3时,求出该二次函数的图象与x轴的交点坐标;(2)若-2<x<1时,该二次函数的图象与x轴有且只有一个交点,求c的取值范围.22.解:(1)由题意,得.当时,.解得,.∴该二次函数的图象与x轴的交点坐标为(-3,0),(1,0).(2)抛物线的对称轴为.①若抛物线与x轴只有一个交点,则交点为(-1,0).有,解得.②若抛物线与x轴有两个交点,且满足题意,则有当时,≤0,∴≤0,解得≤0.当时,,∴,解得.-11-\n∴≤0.综上所述,c的取值范围是或≤0.练习2是由2022年北京市中考数学试卷第23题改编原题及答案23.已知关于x的一元二次方程2x2+4x+k-1=0有实数根,k为正整数.(1)求k的值;(2)当此方程有两个非零的整数根时,将关于x的二次函数y=2x2+4x+k-1的图象向下平移8个单位长度,求平移后的图象的解析式;(3)在(2)的条件下,将平移后的二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折,图象的其余部分保持不变,得到一个新的图象.请你结合这个新的图象回答:当直线(b<k)与此图象有两个公共点时,b的取值范围.第23题图23.解:(1)由题意得,Δ=16-8(k-1)≥0.∴k≤3.∵k为正整数,∴k=1,2,3.(2)当k=1时,方程2x2+4x+k-1=0有一个根为零;当k=2时,方程2x2+4x+k-1=0无整数根;当k=3时,方程2x2+4x+k-1=0有两个非零的整数根.综上所述,k=1和k=2不合题意,舍去;k=3符合题意.当k=3时,二次函数为y=2x2+4x+2,把它的图象向下平移8个单位长度得到的图象的解析式为y=2x2+4x-6.-11-\n(3)设二次函数y=2x2+4x-6的图象与x轴交于A、B两点,则A(-3,0),B(1,0).依题意翻折后的图象如图所示.第23题答图当直线经过A点时,可得;当直线经过B点时,可得.由图象可知,符合题意的b(b<3)的取值范围为.练习3是由2022年北京中考数学试卷第23题改编原题及答案23.已知二次函数在和时的函数值相等。(1)求二次函数的解析式;(2)若一次函数的图象与二次函数的图象都经过点,求和的值;(3)设二次函数的图象与轴交于点(点在点的左侧),将二次函数的图象在点间的部分(含点和点)向左平移个单位后得到的图象记为,同时将(2)中得到的直线向上平移个单位。请结合图象回答:当平移后的直线与图象有公共点时,-11-\n的取值范围。23.解:(1)由题意得.解得.二次函数的解析式为.(2)点在二次函数的图象上,.点的坐标为.点在一次函数的图象上,.(3)由题意,可得点的坐标分别为.平移后,点的对应点分别为.将直线平移后得到直线.如图1,当直线经过点时,图象(点除外)在该直线右侧,可得;如图2,当直线经过点时,图象(点除外)在该直线左侧,可得.由图象可知,符合题意的的取值范围是.练习5是2022年北京市朝阳区九年级综合练习(一)数学试卷第25题(有改动),原题及答案如下:25.在矩形ABCD中,点P在AD上,AB=2,AP=1,将三角板的直角顶点放在点P-11-\n处,三角板的两直角边分别能与AB、BC边相交于点E、F,连接EF.(1)如图,当点E与点B重合时,点F恰好与点C重合,求此时PC的长;(2)将三角板从(1)中的位置开始,绕点P顺时针旋转,当点E与点A重合时停止,在这个过程中,请你观察、探究并解答:①∠PEF的大小是否发生变化?请说明理由;②直接写出从开始到停止,线段EF的中点所经过的路线长.备用图25.解:(1)在矩形ABCD中,,AP=1,CD=AB=2,∴PB=,.∵,∴.∴.∴△ABP∽△DPC.∴,即.∴PC=2.(2)①∠PEF的大小不变.理由:过点F作FG⊥AD于点G.∴四边形ABFG是矩形.∴.∴GF=AB=2,.∵,∴.∴.∴△APE∽△GFP.-11-\n∴.∴在Rt△EPF中,tan∠PEF=.即tan∠PEF的值不变.∴∠PEF的大小不变.②.-11-
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中考 - 二轮专题
发布时间:2022-08-25 20:45:54
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