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天津市佳春中学中考数学复习 二次函数的应用(几何问题)

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二次函数的应用(几何问题)一、选择题1.(2022甘肃兰州4分)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,若|ax2+bx+c|=k(k≠0)有两个不相等的实数根,则k的取值范围是【】A.k<-3B.k>-3C.k<3D.k>3【答案】D。【考点】二次函数的图象和性质。【分析】根据题意得:y=|ax2+bx+c|的图象如右图,∵|ax2+bx+c|=k(k≠0)有两个不相等的实数根,∴k>3。故选D。二、填空题三、解答题1.(2022天津市10分)已知抛物线y=ax2+bx+c(0<2a<b)的顶点为P(x0,y0),点A(1,yA)、B(0,yB)、C(-1,yC)在该抛物线上.(Ⅰ)当a=1,b=4,c=10时,①求顶点P的坐标;②求的值;(Ⅱ)当y0≥0恒成立时,求的最小值.【答案】解:(Ⅰ)若a=1,b=4,c=10,此时抛物线的解析式为y=x2+4x+10。①∵y=x2+4x+10=(x+2)2+6,∴抛物线的顶点坐标为P(-2,6)。②∵点A(1,yA)、B(0,yB)、C(-1,yC)在抛物线y=x2+4x+10上,∴yA=15,yB=10,yC=7。∴。(Ⅱ)由0<2a<b,得。72\n由题意,如图过点A作AA1⊥x轴于点A1,则AA1=yA,OA1=1。连接BC,过点C作CD⊥y轴于点D,则BD=yB-yC,CD=1。过点A作AF∥BC,交抛物线于点E(x1,yE),交x轴于点F(x2,0)。则∠FAA1=∠CBD。∴Rt△AFA1∽Rt△BCD。∴,即。过点E作EG⊥AA1于点G,易得△AEG∽△BCD。∴,即。∵点A(1,yA)、B(0,yB)、C(-1,yC)、E(x1,yE)在抛物线y=ax2+bx+c上,∴yA=a+b+c,yB=c,yC=a-b+c,yE=ax12+bx1+c,∴,化简,得x12+x1-2=0,解得x1=-2(x1=1舍去)。∵y0≥0恒成立,根据题意,有x2≤x1<-1。则1-x2≥1-x1,即1-x2≥3。∴的最小值为3。【考点】二次函数综合题,二次函数的性质,曲线上点的坐标与方程的关系,相似三角形的判定和性质。【分析】(Ⅰ)将a=1,b=4,c=10代入解析式,即可得到二次函数解析式。①将二次函数化为顶点式,即可得到得到抛物线顶点坐标。②将A(1,yA)、B(0,yB)、C(-1,yC)分别代入解析式,即可求出yA、yB、yC的值,然后计算的值即可。(Ⅱ)根据0<2a<b,求出72\n,作出图中辅助线:点A作AA1⊥x轴于点A1,则AA1=yA,OA1=1.连接BC,过点C作CD⊥y轴于点D,则BD=yB-yC,CD=1.过点A作AF∥BC,交抛物线于点E(x1,yE),交x轴于点F(x2,0)。证出Rt△AFA1∽Rt△BCD,得到,,再根据△AEG∽△BCD得到,然后求出yA、yB、yC、yE的表达式,然后y0≥0恒成立,得到x2≤x1<-1,从而利用不等式求出的最小值。2.(2022上海市12分)如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+6x+c的图象经过点A(4,0)、B(﹣1,0),与y轴交于点C,点D在线段OC上,OD=t,点E在第二象限,∠ADE=90°,tan∠DAE=,EF⊥OD,垂足为F.(1)求这个二次函数的解析式;(2)求线段EF、OF的长(用含t的代数式表示);(3)当∠ECA=∠OAC时,求t的值.【答案】解:(1)二次函数y=ax2+6x+c的图象经过点A(4,0)、B(﹣1,0),∴,解得。∴这个二次函数的解析式为:y=﹣2x2+6x+8。(2)∵∠EFD=∠EDA=90°,∴∠DEF+∠EDF=90°,∠EDF+∠ODA=90°。∴∠DEF=∠ODA。∴△EDF∽△DAO。∴。∵,∴。∵OD=t,∴,∴EF=。72\n同理,∴DF=2,∴OF=t﹣2。(3)∵抛物线的解析式为:y=﹣2x2+6x+8,∴C(0,8),OC=8。如图,连接EC、AC,过A作EC的垂线交CE于G点.∵∠ECA=∠OAC,∴∠OAC=∠GCA(等角的余角相等)。在△CAG与△OCA中,∵∠OAC=∠GCA,AC=CA,∠ECA=∠OAC,∴△CAG≌△OCA(ASA)。∴CG=AO=4,AG=OC=8。如图,过E点作EM⊥x轴于点M,则在Rt△AEM中,EM=OF=t﹣2,AM=OA+AM=OA+EF=4+,由勾股定理得:。在Rt△AEG中,由勾股定理得:。在Rt△ECF中,EF=,CF=OC﹣OF=10﹣t,CE=CG+EG=4+由勾股定理得:EF2+CF2=CE2,即。解得t1=10(不合题意,舍去),t2=6。∴t=6。【考点】二次函数综合题,曲线上点的坐标与方程的关系,相似三角形的判定和性质,锐角三角函数定义,全等三角形的判定和性质,勾股定理。【分析】(1)已知点A、B坐标,用待定系数法求抛物线解析式即可。(2)先证明△EDF∽△DAO,然后利用相似三角形对应边的比例关系以及三角形函数的定义求解。(3)通过作辅助线构造一对全等三角形:△CAG≌△OCA,得到CG、AG的长度;然后利用勾股定理求得AE、EG的长度(用含t的代数式表示);最后在Rt△ECF中,利用勾股定理,得到关于t的无理方程,解方程求出t的值。72\n3.(2022广东广州14分)如图,抛物线与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C.(1)求点A、B的坐标;(2)设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点,当△ACD的面积等于△ACB的面积时,求点D的坐标;(3)若直线l过点E(4,0),M为直线l上的动点,当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时,求直线l的解析式.【答案】解:(1)在中,令y=0,即,解得x1=﹣4,x2=2。∵点A在点B的左侧,∴A、B点的坐标为A(﹣4,0)、B(2,0)。(2)由得,对称轴为x=﹣1。在中,令x=0,得y=3。∴OC=3,AB=6,。在Rt△AOC中,。设△ACD中AC边上的高为h,则有AC•h=9,解得h=。如图1,在坐标平面内作直线平行于AC,且到AC的距离=h=,这样的直线有2条,分别是L1和L2,则直线与对称轴x=﹣1的两个交点即为所求的点D。设L1交y轴于E,过C作CF⊥L1于F,则CF=h=,∴。72\n设直线AC的解析式为y=kx+b,将A(﹣4,0),B(0,3)坐标代入,得,解得。∴直线AC解析式为。直线L1可以看做直线AC向下平移CE长度单位(个长度单位)而形成的,∴直线L1的解析式为。则D1的纵坐标为。∴D1(﹣4,)。同理,直线AC向上平移个长度单位得到L2,可求得D2(﹣1,)。综上所述,D点坐标为:D1(﹣4,),D2(﹣1,)。(3)如图2,以AB为直径作⊙F,圆心为F.过E点作⊙F的切线,这样的切线有2条.连接FM,过M作MN⊥x轴于点N。∵A(﹣4,0),B(2,0),∴F(﹣1,0),⊙F半径FM=FB=3。又FE=5,则在Rt△MEF中,-ME=,sin∠MFE=,cos∠MFE=。在Rt△FMN中,MN=MN•sin∠MFE=3×,FN=MN•cos∠MFE=3×。则ON=。∴M点坐标为(,)。直线l过M(,),E(4,0),设直线l的解析式为y=k1x+b1,则有,解得。72\n∴直线l的解析式为y=x+3。同理,可以求得另一条切线的解析式为y=x﹣3。综上所述,直线l的解析式为y=x+3或y=x﹣3。【考点】二次函数综合题,待定系数法,曲线上点的坐标与方程的关系,二次函数的性质,勾股定理,直线平行和平移的性质,直线与圆的位置关系,直线与圆相切的性质,圆周角定理,锐角三角函数定义。【分析】(1)A、B点为抛物线与x轴交点,令y=0,解一元二次方程即可求解。(2)根据题意求出△ACD中AC边上的高,设为h.在坐标平面内,作AC的平行线,平行线之间的距离等于h.根据等底等高面积相等的原理,则平行线与坐标轴的交点即为所求的D点.从一次函数的观点来看,这样的平行线可以看做是直线AC向上或向下平移而形成.因此先求出直线AC的解析式,再求出平移距离,即可求得所作平行线的解析式,从而求得D点坐标。这样的平行线有两条。(3)本问关键是理解“以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个”的含义.因为过A、B点作x轴的垂线,其与直线l的两个交点均可以与A、B点构成直角三角形,这样已经有符合题意的两个直角三角形;第三个直角三角形从直线与圆的位置关系方面考虑,以AB为直径作圆,当直线与圆相切时,根据圆周角定理,切点与A、B点构成直角三角形.从而问题得解。这样的切线有两条。4.(2022广东肇庆10分)已知二次函数图象的顶点横坐标是2,与x轴交于A(x1,0)、B(x2,0),x1﹤0﹤x2,与y轴交于点C,O为坐标原点,.(1)求证:;(2)求m、n的值;(3)当p﹥0且二次函数图象与直线仅有一个交点时,求二次函数的最大值.【答案】(1)证明:∵二次函数图象的顶点横坐标是2,∴抛物线的对称轴为x=2,即,化简得:n+4m=0。(2)解:∵二次函数与x轴交于A(x1,0)、B(x2,0),x1<0<x2,72\n∴OA=-x1,OB=x2;。令x=0,得y=p,∴C(0,p),∴OC=|p|。由三角函数定义得:。∵tan∠CAO-tan∠CBO=1,即,化简得:。将代入得:,化简得:。由(1)知n+4m=0,∴当n=1时,;当n=-1时,。∴m、n的值为:,n=-1(此时抛物线开口向上)或,n=1(此时抛物线开口向下)。(3)解:由(2)知,当p>0时,n=1,,∴抛物线解析式为:。联立抛物线与直线y=x+3解析式得到:,化简得:*。∵二次函数图象与直线y=x+3仅有一个交点,∴一元二次方程*根的判别式等于0,即△=02+16(p-3)=0,解得p=3。∴抛物线解析式为:。当x=2时,二次函数有最大值,最大值为4。∴当p>0且二次函数图象与直线y=x+3仅有一个交点时,二次函数的最大值为4。72\n【考点】二次函数综合题,曲线上点的坐标与方程的关系,一元二次方程根的判别式和根与系数的关系,锐角三角函数定义,二次函数的性质。【分析】(1)由题意可知抛物线的对称轴为x=2,利用对称轴公式,化简即得n+4m=0。(2)利用三角函数定义和抛物线与x轴交点坐标性质求解.特别需要注意的是抛物线的开口方向未定,所以所求m、n的值将有两组。(3)利用一元二次方程的判别式等于0求解.当p>0时,m、n的值随之确定;将抛物线的解析式与直线的解析式联立,得到一个一元二次方程;由交点唯一可知,此一元二次方程的判别式等于0,据此求出p的值,从而确定了抛物线的解析式;最后由抛物线的解析式确定其最大值。5.(2022广东珠海7分)如图,二次函数y=(x﹣2)2+m的图象与y轴交于点C,点B是点C关于该二次函数图象的对称轴对称的点.已知一次函数y=kx+b的图象经过该二次函数图象上点A(1,0)及点B.(1)求二次函数与一次函数的解析式;(2)根据图象,写出满足kx+b≥(x﹣2)2+m的x的取值范围.72\n6.(2022浙江杭州12分)在平面直角坐标系内,反比例函数和二次函数y=k(x2+x﹣1)的图象交于点A(1,k)和点B(﹣1,﹣k).(1)当k=﹣2时,求反比例函数的解析式;(2)要使反比例函数和二次函数都是y随着x的增大而增大,求k应满足的条件以及x的取值范围;(3)设二次函数的图象的顶点为Q,当△ABQ是以AB为斜边的直角三角形时,求k的值.【答案】解:(1)当k=﹣2时,A(1,﹣2),∵A在反比例函数图象上,∴设反比例函数的解析式为:。将A(1,﹣2)代入得:,解得:m=﹣2。∴反比例函数的解析式为:。(2)∵要使反比例函数和二次函数都是y随着x的增大而增大,∴k<0。72\n∵二次函数y=k(x2+x﹣1)=,∴它的对称轴为:直线x=﹣。要使二次函数y=k(x2+x﹣1)满足上述条件,在k<0的情况下,x必须在对称轴的左边,即x<﹣时,才能使得y随着x的增大而增大。∴综上所述,k<0且x<﹣。(3)由(2)可得:Q。∵△ABQ是以AB为斜边的直角三角形,A点与B点关于原点对称,(如图是其中的一种情况)∴原点O平分AB,∴OQ=OA=OB。作AD⊥OC,QC⊥OC,垂足分别为点C,D。∴。∵,∴,解得:k=±。【考点】二次函数综合题,待定系数法,曲线上点的坐标与方程的关系,反比例函数和二次函数的性质。【分析】(1)当k=﹣2时,即可求得点A的坐标,然后设反比例函数的解析式为:,利用待定系数法即可求得答案;(2)由反比例函数和二次函数都是y随着x的增大而增大,可得k<0。又由二次函数y=k(x2+x﹣1)的对称轴为x=﹣,可得x<﹣时,才能使得y随着x的增大而增大。(3)由△ABQ是以AB为斜边的直角三角形,A点与B点关于原点对称,利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,即可得OQ=OA=OB,又由Q72\n,A(1,k),即可得,从而求得答案。7.(2022浙江宁波12分)如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A(﹣1,0),B(2,0),交y轴于C(0,﹣2),过A,C画直线.(1)求二次函数的解析式;(2)点P在x轴正半轴上,且PA=PC,求OP的长;(3)点M在二次函数图象上,以M为圆心的圆与直线AC相切,切点为H.①若M在y轴右侧,且△CHM∽△AOC(点C与点A对应),求点M的坐标;②若⊙M的半径为,求点M的坐标.【答案】解:(1)∵二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A(﹣1,0),B(2,0)∴设该二次函数的解析式为:y=a(x+1)(x﹣2),将x=0,y=﹣2代入,得﹣2=a(0+1)(0﹣2),解得a=1。∴抛物线的解析式为y=(x+1)(x﹣2),即y=x2﹣x﹣2。(2)设OP=x,则PC=PA=x+1,在Rt△POC中,由勾股定理,得x2+22=(x+1)2,解得,x=,即OP=。(3)①∵△CHM∽△AOC,∴∠MCH=∠CAO。(i)如图1,当H在点C下方时,∵∠MCH=∠CAO,∴CM∥x轴,∴yM=﹣2。∴x2﹣x﹣2=﹣2,解得x1=0(舍去),x2=1。∴M(1,﹣2)。(ii)如图2,当H在点C上方时,∵∠M′CH=∠CAO,∴PA=PC。72\n由(2)得,M′为直线CP与抛物线的另一交点,设直线CM′的解析式为y=kx﹣2,把P(,0)的坐标代入,得k﹣2=0,解得k=。∴y=x﹣2。由x﹣2=x2﹣x﹣2,解得x1=0(舍去),x2=。此时y=×。∴M′()。②在x轴上取一点D,如图3,过点D作DE⊥AC于点E,使DE=,在Rt△AOC中,AC=。∵∠COA=∠DEA=90°,∠OAC=∠EAD,∴△AED∽△AOC,∴,即,解得AD=2。∴D(1,0)或D(﹣3,0)。过点D作DM∥AC,交抛物线于M,如图则直线DM的解析式为:y=﹣2x+2或y=﹣2x﹣6。当﹣2x﹣6=x2﹣x﹣2时,即x2+x+4=0,方程无实数根,当﹣2x+2=x2﹣x﹣2时,即x2+x﹣4=0,解得。∴点M的坐标为()或()。【考点】二次函数综合题,待定系数法,曲线上点的坐标与方程的关系,勾股定理,平行的判定和性质,相似三角形的判定和性质,解一元二次方程。【分析】(1)根据与x轴的两个交点A、B的坐标,故设出交点式解析式,然后把点C的坐标代入计算求出a的值,即可得到二次函数解析式。(2)设OP=x,然后表示出PC、PA的长度,在Rt△POC中,利用勾股定理列式,然后解方程即可。72\n(3)①根据相似三角形对应角相等可得∠MCH=∠CAO,然后分(i)点H在点C下方时,利用同位角相等,两直线平行判定CM∥x轴,从而得到点M的纵坐标与点C的纵坐标相同,是-2,代入抛物线解析式计算即可;(ii)点H在点C上方时,根据(2)的结论,点M为直线PC与抛物线的另一交点,求出直线PC的解析式,与抛物线的解析式联立求解即可得到点M的坐标。②在x轴上取一点D,过点D作DE⊥AC于点E,可以证明△AED和△AOC相似,根据相似三角形对应边成比例列式求解即可得到AD的长度,然后分点D在点A的左边与右边两种情况求出OD的长度,从而得到点D的坐标,再作直线DM∥AC,然后求出直线DM的解析式,与抛物线解析式联立求解即可得到点M的坐标。8.(2022浙江温州14分)如图,经过原点的抛物线与x轴的另一个交点为A.过点作直线轴于点M,交抛物线于点B.记点B关于抛物线对称轴的对称点为C(B、C不重合).连结CB,CP。(1)当时,求点A的坐标及BC的长;(2)当时,连结CA,问为何值时CA⊥CP?(3)过点P作PE⊥PC且PE=PC,问是否存在,使得点E落在坐标轴上?若存在,求出所有满足要求的的值,并写出相对应的点E坐标;若不存在,请说明理由。【答案】解:(1)当m=3时,y=-x2+6x。令y=0得-x2+6x=0,解得,x1=0,x2=6。∴A(6,0)。当x=1时,y=5。∴B(1,5)。∵抛物线y=-x2+6x的对称轴为直线x=3,且B,C关于对称轴对称,∴BC=4。(2)过点C作CH⊥x轴于点H(如图1)由已知得,∠ACP=∠BCH=90°,∴∠ACH=∠PCB。又∵∠AHC=∠PBC=90°,∴△AGH∽△PCB。72\n∴。∵抛物线y=-x2+2mx的对称轴为直线x=m,其中m>1,且B,C关于对称轴对称,∴BC=2(m-1)。∵B(1,2m-1),P(1,m),∴BP=m-1。又∵A(2m,0),C(2m-1,2m-1),∴H(2m-1,0)。∴AH=1,CH=2m-1,∴,解得m=。(3)存在。∵B,C不重合,∴m≠1。(I)当m>1时,BC=2(m-1),PM=m,BP=m-1,(i)若点E在x轴上(如图1),∵∠CPE=90°,∴∠MPE+∠BPC=∠MPE+∠MEP=90°,PC=EP。∴△BPC≌△MEP,∴BC=PM,即2(m-1)=m,解得m=2。此时点E的坐标是(2,0)。(ii)若点E在y轴上(如图2),过点P作PN⊥y轴于点N,易证△BPC≌△NPE,∴BP=NP=OM=1,即m-1=1,解得,m=2。此时点E的坐标是(0,4)。(II)当0<m<1时,BC=2(1-m),PM=m,BP=1-m,(i)若点E在x轴上(如图3),易证△BPC≌△MEP,∴BC=PM,即2(1-m)=m,解得,m=。此时点E的坐标是(,0)。(ii)若点E在y轴上(如图4),过点P作PN⊥y轴于点N,易证△BPC≌△NPE,∴BP=NP=OM=1,即1-m=1,∴m=0(舍去)。综上所述,当m=2时,点E的坐标是(0,2)或(0,4),72\n当m=时,点E的坐标是(,0)。【考点】二次函数综合题,曲线上点的坐标与方程的关系,二次函数的性质,相似三角形的判定和性质,全等三角形的判定和性质。【分析】(1)把m=3,代入抛物线的解析式,令y=0解方程,得到的非0解即为和x轴交点的横坐标,再求出抛物线的对称轴方程,从而求出BC的长。(2)过点C作CH⊥x轴于点H(如图1)由已知得∠ACP=∠BCH=90°,利用已知条件证明△AGH∽△PCB,根据相似的性质得到:,再用含有m的代数式表示出BC,CH,BP,代入比例式即可求出m的值。(3)存在。本题要分当m>1时,BC=2(m-1),PM=m,BP=m-1和当0<m<1时,BC=2(1-m),PM=m,BP=1-m,两种情况分别讨论,再求出满足题意的m值和相对应的点E坐标。9.(2022江苏连云港12分)如图,抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,点O为坐标原点,点D为抛物线的顶点,点E在抛物线上,点F在x轴上,四边形OCEF为矩形,且OF=2,EF=3,(1)求抛物线所对应的函数解析式;(2)求△ABD的面积;(3)将△AOC绕点C逆时针旋转90°,点A对应点为点G,问点G是否在该抛物线上?请说明理由.【答案】解:(1)∵四边形OCEF为矩形,OF=2,EF=3,∴点C的坐标为(0,3),点E的坐标为(2,3).把x=0,y=3;x=2,y=3分别代入y=-x2+bx+c,得,解得。∴抛物线所对应的函数解析式为y=-x2+2x+3。72\n(2)∵y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,∴抛物线的顶点坐标为D(1,4)。∴△ABD中AB边的高为4。令y=0,得-x2+2x+3=0,解得x1=-1,x2=3。∴AB=3-(-1)=4。∴△ABD的面积=×4×4=8。(3)如图,△AOC绕点C逆时针旋转90°,CO落在CE所在的直线上,由(1)(2)可知OA=1,OC=3,∵点A对应点G的坐标为(3,2)。∵当x=3时,y=-32+2×3+3=0≠2,∴点G不在该抛物线上。【考点】二次函数综合题,矩形的性质,曲线图上点的坐标与方程的关系,解一元二次方程,二次函数的性质,旋转的性质。【分析】(1)在矩形OCEF中,已知OF、EF的长,先表示出C、E的坐标,然后利用待定系数法确定该函数的解析式。(2)根据(1)的函数解析式求出A、B、D三点的坐标,以AB为底、D点纵坐标的绝对值为高,可求出△ABD的面积。(3)根据旋转条件求出点A对应点G的坐标,然后将点G的坐标代入抛物线的解析式中直接进行判定即可。10.(2022江苏南通14分)如图,经过点A(0,-4)的抛物线y=x2+bx+c与x轴相交于点B(-0,0)和C,O为坐标原点.(1)求抛物线的解析式;(2)将抛物线y=x2+bx+c向上平移个单位长度、再向左平移m(m>0)个单位长度,得到新抛物线.若新抛物线的顶点P在△ABC内,求m的取值范围;(3)设点M在y轴上,∠OMB+∠OAB=∠ACB,求AM的长.72\n【答案】解:(1)将A(0,-4)、B(-2,0)代入抛物线y=x2+bx+c中,得:,解得,。∴抛物线的解析式:y=x2-x-4。(2)由题意,新抛物线的解析式可表示为:,即:。它的顶点坐标P(1-m,-1)。由(1)的抛物线解析式可得:C(4,0)。∴直线AB:y=-2x-4;直线AC:y=x-4。当点P在直线AB上时,-2(1-m)-4=-1,解得:m=;当点P在直线AC上时,(1-m)+4=-1,解得:m=-2;又∵m>0,∴当点P在△ABC内时,0<m<。(3)由A(0,-4)、B(4,0)得:OA=OC=4,且△OAC是等腰直角三角形。如图,在OA上取ON=OB=2,则∠ONB=∠ACB=45°。∴∠ONB=∠NBA+OAB=∠ACB=∠OMB+∠OAB,即∠ONB=∠OMB。如图,在△ABN、△AM1B中,∠BAN=∠M1AB,∠ABN=∠AM1B,∴△ABN∽△AM1B,得:AB2=AN•AM1;由勾股定理,得AB2=(-2)2+42=20,又AN=OA-ON=4-2=2,72\n∴AM1=20÷2=10,OM1=AM1-OA=10-4=6。而∠BM1A=∠BM2A=∠ABN,∴OM1=OM2=6,AM2=OM2-OA=6-4=2。综上,AM的长为6或2。【考点】二次函数综合题,曲线上点的坐标与方程的关系,平移的性质,二次函数的性质,等腰直角三角形的判定和性质,勾股定理。【分析】(1)该抛物线的解析式中只有两个待定系数,只需将A、B两点坐标代入即可得解。(2)首先根据平移条件表示出移动后的函数解析式,从而用m表示出该函数的顶点坐标,将其代入直线AB、AC的解析式中,即可确定P在△ABC内时m的取值范围。(3)先在OA上取点N,使得∠ONB=∠ACB,那么只需令∠NBA=∠OMB即可,显然在y轴的正负半轴上都有一个符合条件的M点;以y轴正半轴上的点M为例,先证△ABN、△AMB相似,然后通过相关比例线段求出AM的长。11.(2022江苏泰州10分)如图,在平面直角坐标系xOy中,边长为2的正方形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上,二次函数的图象经过B、C两点.(1)求该二次函数的解析式;(2)结合函数的图象探索:当y>0时x的取值范围.72\n12.(2022湖北黄石10分)已知抛物线C1的函数解析式为,若抛物线C1经过点,方程的两根为,,且。(1)求抛物线C1的顶点坐标.(2)已知实数,请证明:≥,并说明为何值时才会有.(3)若抛物线先向上平移4个单位,再向左平移1个单位后得到抛物线C2,设,是C2上的两个不同点,且满足:,,.请你用含有的表达式表示出△AOB的面积S,并求出S的最小值及S取最小值时一次函数OA的函数解析式。(参考公式:在平面直角坐标系中,若,,则P,Q两点间的距离)72\n【答案】解:(1)∵抛物线过(0,-3)点,∴-3a=-3。∴a=1。 ∴y=x2+bx-3     ∵x2+bx-3=0的两根为x1,x2且,∴=4且b<0。∴b=-2。∴。∴抛物线C1的顶点坐标为(1,-4)。(2)∵x>0,∴∴。当时,即当x=1时,有。(3)由平移的性质,得C2的解析式为:y=x2。∴A(m,m2),B(n,n2)。∵ΔAOB为直角三角形,∴OA2+OB2=AB2。∴m2+m4+n2+n4=(m-n)2+(m2-n2)2,化简得:mn=-1。∵SΔAOB=,mn=-1,∴SΔAOB==。∴SΔAOB的最小值为1,此时m=1,A(1,1)。∴直线OA的一次函数解析式为y=x。【考点】二次函数综合题,曲线上点的坐标与方程的关系,一元二次方程根与系数的关系,二次函数的性质,不等式的知识。【分析】(1)求抛物线的顶点坐标,即要先求出抛物线的解析式,即确定待定系数a、b的值.已知抛物线图象与y轴交点,可确定解析式中的常数项(由此得到a的值);然后从方程入手求b的值,题目给出了两根差的绝对值,将其进行适当变形(转化为两根和、两根积的形式),结合根与系数的关系即可求出b的值。72\n(2)将配成完全平方式,然后根据平方的非负性即可得证。(3)结合(1)的抛物线的解析式以及函数的平移规律,可得出抛物线C2的解析式;在Rt△OAB中,由勾股定理可确定m、n的关系式,然后用m列出△AOB的面积表达式,结合不等式的相关知识可确定△OAB的最小面积值以及此时m的值,从而由待定系数法确定一次函数OA的解析式。别解:由题意可求抛物线C2的解析式为:y=x2。∴A(m,m2),B(n,n2)。过点A、B作x轴的垂线,垂足分别为C、D,则由∽得,即。∴。∴。∴SΔAOB的最小值为1,此时m=1,A(1,1)。∴直线OA的一次函数解析式为y=x。13.(2022湖北武汉12分)如图1,点A为抛物线C1:的顶点,点B的坐标为(1,0),直线AB交抛物线C1于另一点C.(1)求点C的坐标;(2)如图1,平行于y轴的直线x=3交直线AB于点D,交抛物线C1于点E,平行于y轴的直线x=a交直线AB于F,交抛物线C1于G,若FG:DE=4∶3,求a的值;(3)如图2,将抛物线C1向下平移m(m>0)个单位得到抛物线C2,且抛物线C2的顶点为点P,交x轴于点M,交射线BC于点N,NQ⊥x轴于点Q,当NP平分∠MNQ时,求m的值.72\n图1图2【答案】解:(1)∵当x=0时,y=-2。∴A(0,-2)。设直线AB的解析式为,则,解得。∴直线AB的解析式为。∵点C是直线AB与抛物线C1的交点,∴,解得(舍去)。∴C(4,6)。(2)∵直线x=3交直线AB于点D,交抛物线C1于点E,∴,∴DE=。∵FG:DE=4∶3,∴FG=2。∵直线x=a交直线AB于点F,交抛物线C1于点G,∴。∴FG=。解得。(3)设直线MN交y轴于点T,过点N作NH⊥y轴于点H。设点M的坐标为(t,0),抛物线C2的解析式为72\n。∴。∴。∴。∴P(0,)。∵点N是直线AB与抛物线C2的交点,∴,解得(舍去)。∴N()。∴NQ=,MQ=。∴NQ=MQ。∴∠NMQ=450。∴△MOT,△NHT都是等腰直角三角形。∴MO=TO,HT=HN。∴OT=-t,。∵PN平分∠MNQ,∴PT=NT。∴,解得(舍去)。∴。∴。【考点】二次函数综合题,待定系数法,曲线上点的坐标与方程的关系,解二元二次方程组,平移的性质,等腰直角三角形的判定和性质,勾股定理,角平分线的性质,平行的性质。【分析】(1)由点A在抛物线C1上求得点A的坐标,用待定系数法求得直线AB的解析式;联立直线AB和抛物线C1即可求得点C的坐标。(2)由FG:DE=4∶3求得FG=2。把点F和点G的纵坐标用含a的代数式表示,即可得等式FG=,解之即可得a的值。(3)设点M的坐标为(t,0)和抛物线C2的解析式,求得t和m的关系。求出点P和点N的坐标(用t的代数式表示),得出△MOT,△NHT都是等腰直角三角形的结论。从而由角平分线和平行的性质得到PT=NT,列式求解即可求得t,从而根据t和m的关系式求出m的值。14.(2022湖北荆门10分)已知:y关于x的函数y=(k﹣1)x2﹣2kx+k+2的图象与x轴有交点.72\n(1)求k的取值范围;(2)若x1,x2是函数图象与x轴两个交点的横坐标,且满足(k﹣1)x12+2kx2+k+2=4x1x2.①求k的值;②当k≤x≤k+2时,请结合函数图象确定y的最大值和最大值.【答案】解:(1)当k=1时,函数为一次函数y=﹣2x+3,其图象与x轴有一个交点。当k≠1时,函数为二次函数,其图象与x轴有一个或两个交点,令y=0得(k﹣1)x2﹣2kx+k+2=0.△=(﹣2k)2﹣4(k﹣1)(k+2)≥0,解得k≤2.即k≤2且k≠1。综上所述,k的取值范围是k≤2。(2)①∵x1≠x2,由(1)知k<2且k≠1。由题意得(k﹣1)x12+(k+2)=2kx1(*),将(*)代入(k﹣1)x12+2kx2+k+2=4x1x2中得:2k(x1+x2)=4x1x2。又∵x1+x2=,x1x2=,∴2k•=4•,解得:k1=﹣1,k2=2(不合题意,舍去)。∴所求k值为﹣1。②如图,∵k1=﹣1,y=﹣2x2+2x+1=﹣2(x﹣)2+,且﹣1≤x≤1,由图象知:当x=﹣1时,y最小=﹣3;当x=时,y最大=。∴y的最大值为,最小值为﹣3。【考点】抛物线与x轴的交点,一次函数的定义,一元二次方程根的判别式和根与系数物关系,二次函数的最值。【分析】(1)分两种情况讨论,当k=1时,可求出函数为一次函数,必与x轴有一交点;当k≠1时,函数为二次函数,若与x轴有交点,则△≥0。(2)①根据(k﹣1)x12+2kx2+k+2=4x1x2及根与系数的关系,建立关于k的方程,求出k的值。②充分利用图象,直接得出y的最大值和最小值。15.(2022湖北恩施8分)如图,已知抛物线y=﹣x2+bx+c与一直线相交于A(﹣1,0),C(2,3)两点,与y轴交于点N.其顶点为D.72\n(1)抛物线及直线AC的函数关系式;(2)设点M(3,m),求使MN+MD的值最小时m的值;(3)若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B,E为直线AC上的任意一点,过点E作EF∥BD交抛物线于点F,以B,D,E,F为顶点的四边形能否为平行四边形?若能,求点E的坐标;若不能,请说明理由;(4)若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点,求△APC的面积的最大值.【答案】解:(1)由抛物线y=﹣x2+bx+c过点A(﹣1,0)及C(2,3)得,,解得。∴抛物线的函数关系式为。设直线AC的函数关系式为y=kx+n,由直线AC过点A(﹣1,0)及C(2,3)得,解得。∴直线AC的函数关系式为y=x+1。(2)作N点关于直线x=3的对称点N′,令x=0,得y=3,即N(0,3)。∴N′(6,3)由得D(1,4)。设直线DN′的函数关系式为y=sx+t,则72\n,解得。∴故直线DN′的函数关系式为。根据轴对称的性质和三角形三边关系,知当M(3,m)在直线DN′上时,MN+MD的值最小,∴。∴使MN+MD的值最小时m的值为。(3)由(1)、(2)得D(1,4),B(1,2),①当BD为平行四边形对角线时,由B、C、D、N的坐标知,四边形BCDN是平行四边形,此时,点E与点C重合,即E(2,3)。②当BD为平行四边形边时,∵点E在直线AC上,∴设E(x,x+1),则F(x,)。又∵BD=2∴若四边形BDEF或BDFE是平行四边形时,BD=EF。∴,即。若,解得,x=0或x=1(舍去),∴E(0,1)。若,解得,,∴E或E。综上,满足条件的点E为(2,3)、(0,1)、、。(4)如图,过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q;过点C作CG⊥x轴于点G,设Q(x,x+1),则P(x,﹣x2+2x+3)。72\n∴。∴。∵,∴当时,△APC的面积取得最大值,最大值为。【考点】二次函数综合题,待定系数法,曲线上点的坐标与方程的关系,轴对称的性质,三角形三边关系,平行四边形的判定和性质,二次函数的最值。【分析】(1)利用待定系数法求二次函数解析式、一次函数解析式。(2)根据轴对称的性质和三角形三边关系作N点关于直线x=3的对称点N′,当M(3,m)在直线DN′上时,MN+MD的值最小。(3)分BD为平行四边形对角线和BD为平行四边形边两种情况讨论。(4)如图,过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q;过点C作CG⊥x轴于点G,设Q(x,x+1),则P(x,﹣x2+2x+3),求得线段PQ=﹣x2+x+2。由图示以及三角形的面积公式知,由二次函数的最值的求法可知△APC的面积的最大值。16.(2022湖北黄冈14分)如图,已知抛物线的方程C1:与x轴相交于点B、C,与y轴相交于点E,且点B在点C的左侧.(1)若抛物线C1过点M(2,2),求实数m的值.(2)在(1)的条件下,求△BCE的面积.(3)在(1)的条件下,在抛物线的对称轴上找一点H,使BH+EH最小,并求出点H的坐标.(4)在第四象限内,抛物线C1上是否存在点F,使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似?若存在,求m的值;若不存在,请说明理由.【答案】解:(1)∵抛物线C1过点M(2,2),∴,解得m=4。72\n(2)由(1)得。令x=0,得。∴E(0,2),OE=2。令y=0,得,解得x1=-2,x=4。∴B(-2,,0),C(4,0),BC=6。∴△BCE的面积=。(3)由(2)可得的对称轴为x=1。连接CE,交对称轴于点H,由轴对称的性质和两点之间线段最短的性质,知此时BH+EH最小。设直线CE的解析式为,则,解得。∴直线CE的解析式为。当x=1时,。∴H(1,)。(4)存在。分两种情形讨论:①当△BEC∽△BCF时,如图所示。则,∴BC2=BE•BF。由(2)知B(-2,0),E(0,2),即OB=OE,∴∠EBC=45°,∴∠CBF=45°。作FT⊥x轴于点F,则BT=TF。∴令F(x,-x-2)(x>0),又点F在抛物线上,∴-x-2=,∵x+2>0(∵x>0),∴x=2m,F(2m,-2m-2)。此时,又BC2=BE•BF,∴(m+2)2=•,解得m=2±。72\n∵m>0,∴m=+2。②当△BEC∽△FCB时,如图所示。则,∴BC2=EC•BF。同①,∵∠EBC=∠CFB,△BTF∽△COE,∴。∴令F(x,-(x+2))(x>0),又点F在抛物线上,∴-(x+2)=。∵x+2>0(∵x>0),∴x=m+2。∴F(m+2,-(m+4)),,BC=m+2。又BC2=EC•BF,∴(m+2)2=.整理得:0=16,显然不成立。综合①②得,在第四象限内,抛物线上存在点F,使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似,m=+2。【考点】二次函数综合题,曲线上点的坐标与方程的关系,二次函数的性质,轴对称的性质,两点之间线段最短的性质,相似三角形的判定和性质。【分析】(1)将点(2,2)的坐标代入抛物线解析式,即可求得m的值。(2)求出B、C、E点的坐标,从而求得△BCE的面积。(3)根据轴对称以及两点之间线段最短的性质,可知点B、C关于对称轴x=1对称,连接EC与对称轴的交点即为所求的H点。(4)分两种情况进行讨论:①当△BEC∽△BCF时,如图所示,此时可求得+2。②当△BEC∽△FCB时,如图所示,此时得到矛盾的等式,故此种情形不存在。17.(2022湖南常德10分)如图,已知二次函数的图像过点A(-4,3),B(4,4).(1)求二次函数的解析式:(2)求证:△ACB是直角三角形;72\n(3)若点P在第二象限,且是抛物线上的一动点,过点P作PH垂直x轴于点H,是否存在以P、H、D、为顶点的三角形与△ABC相似?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由。【答案】解:(1)将A(-4,3),B(4,4)代人中,,整理得:解得∴二次函数的解析式为:,即:。(2)由整理得,解得。∴C(-2,0),D。∴AC2=4+9,BC2=36+16,AC2+BC2=13+52=65,AB2=64+1=65,∴AC2+BC2=AB2。∴△ACB是直角三角形。(3)设(x<0),则PH=,HD=。又∵AC=,BC=,①当△PHD∽△ACB时有:,即:,整理得,解得(舍去),此时,。72\n∴。②当△DHP∽△ACB时有:,即:,整理,解得(舍去),此时,。∴。综上所述,满足条件的点有两个即,。【考点】二次函数综合题,曲线上点的坐标与方程的关系,勾股定理和逆定理的应用,相似三角形的判定性质,坐标系中点的坐标的特征,抛物线与x轴的交点,解一元二次方程和二元一次方程组。【分析】(1)求二次函数的解析式,也就是要求中a、b的值,只要把A(-4,3),B(4,4)代人即可。(2)求证△ACB是直角三角形,只要求出AC,BC,AB的长度,然后用勾股定理及其逆定理去考察。(3)分两种情况进行讨论,①△DHP∽△BCA,②△PHD∽△BCA,然后分别利用相似三角形对应边成比例的性质求出点P的坐标。18.(2022湖南怀化10分)]如图,抛物线m:与x轴的交点为A、B,与y轴的交点为C,顶点为,将抛物线m绕点B旋转,得到新的抛物线n,它的顶点为D.(1)求抛物线n的解析式;(2)设抛物线n与x轴的另一个交点为E,点P是线段ED上一个动点(P不与E、D重合),过点P作y轴的垂线,垂足为F,连接EF.如果P点的坐标为,△PEF的面积为S,求S与x的函数关系式,写出自变量x的取值范围,并求出S的最大值;(3)设抛物线m的对称轴与x轴的交点为G,以G为圆心,A、B两点间的距离为直径作⊙G,试判断直线CM与⊙G的位置关系,并说明理由.72\n【答案】解:(1)∵抛物线m的顶点为,∴m的解析式为=。∴。∵抛物线n是由抛物线m绕点B旋转得到,∴D的坐标为。∴抛物线n的解析式为:,即。(2)∵点E与点A关于点B中心对称,∴E。设直线ED的解析式为,则,解得。∴直线ED的解析式为。又点P的坐标为,∴S==。∴当时,S有最大值。但,∴△PEF的面积S没有最大值。(3)直线CM与⊙G相切。理由如下:∵抛物线m的解析式为,令得。∴72\n。∵抛物线m的对称轴与轴的交点为G,∴OC=4,OG=3,。∴由勾股定理得CG=5。又∵AB=10,∴⊙G的半径为5,∴点C在⊙G上。过M点作y轴的垂线,垂足为N,则。又,∴。∴根据勾股定理逆定理,得∠GCM=900。∴。∴直线CM与⊙G相切。【考点】二次函数综合题,二次函数的性质,旋转的性质,待定系数法,曲线上点的坐标与方程的关系,直线与圆的位置关系,勾股定理和逆定理。【分析】(1)由抛物线m的顶点坐标写出抛物线m的顶点式方程,化为交点式方程即可求出A、B两点的坐标,根据旋转的性质即可求出抛物线n的解析式。(2)求出直线ED的解析式,由点P在直线ED,可知P,从而求出△PEF的面积S的函数关系式,由点P在线段ED上得。从而根据二次函数最值的求法得出结果。(3)要判断直线CM与⊙G的位置关系首先要判断CG与⊙G半径的关系,由AB=10,得⊙G的半径为5。求出CG,知点C在⊙G上。由勾股定理和逆定理,得出。从而得出,得出直线CM与⊙G相切的结论。19.(2022湖南郴州10分)如图,已知抛物线经过A(4,0),B(2,3),C(0,3)三点.(1)求抛物线的解析式及对称轴.(2)在抛物线的对称轴上找一点M,使得MA+MB的值最小,并求出点M的坐标.(3)在抛物线上是否存在一点P,使得以点A、B、C、P四点为顶点所构成的四边形为梯形?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.72\n【答案】解:(1)∵抛物线经过A(4,0),B(2,3),C(0,3)三点,∴,解得。∴抛物线的解析式为:,其对称轴为:。(2)由B(2,3),C(0,3),且对称轴为x=1,可知点B、C是关于对称轴x=1的对称点。如图1所示,连接AC,交对称轴x=1于点M,连接MB,则MA+MB=MA+MC=AC,根据两点之间线段最短可知此时MA+MB的值最小。设直线AC的解析式为y=kx+b,∵A(4,0),C(0,3),∴,解得。∴直线AC的解析式为:y=x+3。令x=1,得y=。∴M点坐标为(1,)。(3)结论:存在。如图2所示,在抛物线上有两个点P满足题意:①若BC∥AP1,此时梯形为ABCP1。由B(2,3),C(0,3),可知BC∥x轴,则x轴与抛物线的另一个交点P1即为所求。72\n在中令y=0,解得x1=-2,x2=4。∴P1(-2,0)。∵P1A=6,BC=2,∴P1A≠BC。∴四边形ABCP1为梯形。②若AB∥CP2,此时梯形为ABCP2。设CP2与x轴交于点N,∵BC∥x轴,AB∥CP2,∴四边形ABCN为平行四边形。∴AN=BC=2。∴N(2,0)。设直线CN的解析式为y=k1x+b1,则有:,解得。∴直线CN的解析式为:y=x+3。∵点P2既在直线CN:y=x+3上,又在抛物线:上,∴x+3=,化简得:x2-6x=0,解得x1=0(舍去),x2=6。∴点P2横坐标为6,代入直线CN解析式求得纵坐标为-6。∴P2(6,-6)。∵ABCN,∴AB=CN,而CP2≠CN,∴CP2≠AB。∴四边形ABCP2为梯形。综上所述,在抛物线上存在点P,使得以点A、B、C、P四点为顶点所构成的四边形为梯形,点P的坐标为(-2,0)或(6,-6)。【考点】二次函数综合题,待定系数法,曲线上点的坐标与方程的关系,二次函数的性质,轴对称的性质,线段最短的性质,梯形的判定。【分析】(1)已知抛物线上三点A、B、C的坐标,利用待定系数法即可求出抛物线的解析式,再由对称轴公式求出对称轴。(2)如图1所示,连接AC,则AC与对称轴的交点即为所求之M点;已知点A、C的坐标,利用待定系数法求出直线AC的解析式,从而求出点M的坐标。(3)根据梯形定义确定点P,如图2所示:①若BC∥AP1,确定梯形ABCP1.此时P172\n为抛物线与x轴的另一个交点,解一元二次方程即可求得点P1的坐标;②若AB∥CP2,确定梯形ABCP2.此时P2位于第四象限,先确定CP2与x轴交点N的坐标,然后求出直线CN的解析式,再联立抛物线与直线解析式求出点P2的坐标。20.(2022湖南株洲10分)如图,一次函数分别交y轴、x轴于A、B两点,抛物线y=﹣x2+bx+c过A、B两点.(1)求这个抛物线的解析式;(2)作垂直x轴的直线x=t,在第一象限交直线AB于M,交这个抛物线于N.求当t取何值时,MN有最大值?最大值是多少?(3)在(2)的情况下,以A、M、N、D为顶点作平行四边形,求第四个顶点D的坐标.【答案】解:(1)∵分别交y轴、x轴于A、B两点,∴A、B点的坐标为:A(0,2),B(4,0)。将x=0,y=2代入y=﹣x2+bx+c得c=2;将x=4,y=0代入y=﹣x2+bx+c得0=﹣16+4b+2,解得b=。∴抛物线解析式为:y=﹣x2+x+2。(2)如图1,设MN交x轴于点E,则E(t,0),BE=4﹣t。∵,∴ME=BE•tan∠ABO=(4﹣t)×=2﹣t。又∵N点在抛物线上,且xN=t,∴yN=﹣t2+t+2。72\n∴。∴当t=2时,MN有最大值4。(3)由(2)可知,A(0,2),M(2,1),N(2,5).如图2,以A、M、N、D为顶点作平行四边形,D点的可能位置有三种情形。(i)当D在y轴上时,设D的坐标为(0,a),由AD=MN,得|a﹣2|=4,解得a1=6,a2=﹣2,从而D为(0,6)或D(0,﹣2)。(ii)当D不在y轴上时,由图可知D为D1N与D2M的交点,由D1(0,6),N(2,5)易得D1N的方程为y=x+6;由D2(0,﹣2),M(2,1)D2M的方程为y=x﹣2。由两方程联立解得D为(4,4)。综上所述,所求的D点坐标为(0,6),(0,﹣2)或(4,4)。【考点】二次函数综合题,待定系数法,曲线上点的坐标与方程的关系,二次函数的性质,锐角三角函数定义,平行四边形的判定和性质。【分析】(1)首先求得A、B点的坐标,然后利用待定系数法求抛物线的解析式。(2)求得线段MN的表达式,这个表达式是关于t的二次函数,利用二次函数的极值求线段MN的最大值。(3)明确D点的可能位置有三种情形,如图2所示,不要遗漏.其中D1、D2在y轴上,利用线段数量关系容易求得坐标;D3点在第一象限,是直线D1N和D2M的交点,利用直线解析式求得交点坐标。21.(2022湖南湘潭10分)如图,抛物线的图象与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,已知B点坐标为(4,0).(1)求抛物线的解析式;(2)试探究△ABC的外接圆的圆心位置,并求出圆心坐标;(3)若点M是线段BC下方的抛物线上一点,求△MBC的面积的最大值,并求出此时M点的坐标.72\n【答案】解:(1)∵B(4,0)在抛物线的图象上∴,即:。∴抛物线的解析式为:。(2)由(1)的函数解析式可求得:A(﹣1,0)、C(0,﹣2)。∴OA=1,OC=2,OB=4。∴。又∵OC⊥AB,∴△OAC∽△OCB。∴∠OCA=∠OBC。∴∠ACB=∠OCA+∠OCB=∠OBC+∠OCB=90°。∴△ABC为直角三角形,AB为△ABC外接圆的直径。∴该外接圆的圆心为AB的中点,且坐标为:(,0)。(3)已求得:B(4,0)、C(0,﹣2),可得直线BC的解析式为:y=x﹣2。设直线l∥BC,则该直线的解析式可表示为:y=x+b,当直线l与抛物线只有一个交点时,可列方程:x+b=,即:x2﹣4x﹣4﹣2b=0,且△=0。∴16﹣4×(﹣4﹣2b)=0,解得b=4。∴直线l:y=x﹣4。∵,当h最大(即点M到直线BC的距离最远)时,△ABC的面积最大。∴点M是直线l和抛物线的唯一交点,有:,解得:。∴M(2,﹣3)。【考点】二次函数综合题,待定系数法,曲线上点的坐标与方程的关系,相似三角形的判定和性质,圆周角定理,一元二次方程根的判别式,解方程和方程组。【分析】(1)该函数解析式只有一个待定系数,只需将B点坐标代入解析式中即可。72\n(2)根据抛物线的解析式确定A点坐标,然后通过证明△ABC是直角三角形来推导出直径AB和圆心的位置,由此确定圆心坐标。(3)△MBC的面积可由表示,若要它的面积最大,需要使h取最大值,即点M到直线BC的距离最大,若设一条平行于BC的直线,那么当该直线与抛物线有且只有一个交点时,该交点就是点M。22.(2022四川资阳9分)抛物线的顶点在直线上,过点F(-2,2)的直线交该抛物线于点M、N两点(点M在点N的左边),MA⊥x轴于点A,NB⊥x轴于点B.(1)(3分)先通过配方求抛物线的顶点坐标(坐标可用含m的代数式表示),再求m的值;(2)(3分)设点N的横坐标为a,试用含a的代数式表示点N的纵坐标,并说明NF=NB;(3)(3分)若射线NM交x轴于点P,且PA×PB=,求点M的坐标.【答案】解:(1)∵,∴顶点坐标为(-2,)。∵顶点在直线上,∴-2+3=,解得。(2)∵点N在抛物线上,且点N的横坐标为a,∴点N的纵坐标为,即点N(a,)。过点F作FC⊥NB于点C,在Rt△FCN中,FC=a+2,NC=NB-CB=,∴。72\n而,∴NF2=NB2,NF=NB。(3)连接AF、BF,由NF=NB,得∠NFB=∠NBF,由(2)的结论知,MF=MA,∴∠MAF=∠MFA。∵MA⊥x轴,NB⊥x轴,∴MA∥NB。∴∠AMF+∠BNF=180°。∵△MAF和△NFB的内角总和为360°,∴2∠MAF+2∠NBF=180°,∠MAF+∠NBF=90°。∵∠MAB+∠NBA=180°,∴∠FBA+∠FAB=90°。又∵∠FAB+∠MAF=90°,∴∠FBA=∠MAF=∠MFA。又∵∠FPA=∠BPF,∴△PFA∽△PBF。∴,∴PF2=PA×PB=。过点F作FG⊥x轴于点G。在Rt△PFG中,,∴PO=PG+GO=。∴P(-,0)。设直线PF:,把点F(-2,2)、点P(-,0)代入得,解得。∴直线PF:。解方程,得x=-3或x=2(不合题意,舍去)。当x=-3时,,∴M(-3,)。【考点】二次函数综合题,二次函的性质,待定系数法,曲线上点的坐标与方程的关系,勾股定理,相似三角形的判定和性质。72\n【分析】(1)利用配方法将二次函数整理成顶点式即可,再利用点在直线上的性质得出答案即可。(2)首先利用点N在抛物线上,得出N点坐标,再利用勾股定理得出NF2=NC2+FC2,从而得出NF2=NB2,即可得出答案。(3)求点M的坐标,需要先求出直线PF的解析式.首先由(2)的思路得出MF=MA,然后连接AF、FB,通过证明△PFA∽△PBF,利用相关的比例线段将PA•PB的值转化为PF的值,从而求出点F的坐标和直线PF的解析式,即可得解。23.(2022四川泸州11分)如图,二次函数的图象与x轴相交于点A、B(点在点的左侧),与y轴相交于点C,顶点D在第一象限.过点D作x轴的垂线,垂足为H。(1)当时,求tan∠ADH的值;(2)当60°≤∠ADB≤90°时,求m的变化范围;(3)设△BCD和△ABC的面积分别为S1、S2,且满足S1=S2,求点D到直线BC的距离。【答案】解:(1))当时,。∴D。∴DH=。在中令,即,解得。∴A(-1,0)。∴AH=。∴tan∠ADH=。72\n(2)∵,∴D。∴DH=。在中令,即,解得。∵顶点D在第一象限,∴。∴∴A(-1,0)。∴AH=。当∠ADB=600时,∠ADH=300,tan∠ADH=。∴,解得(增根,舍去)。当∠ADB=900时,∠ADH=450,AH=DH,即,解得(不符合,舍去)。∴当60°≤∠ADB≤90°时,。(3)设DH与BC交于点M,则点M的横坐标为m,设过点B(,0),C(0,)的直线为,则,解得。∴直线BC为。当时,。∴M(m,)。∴DM=,AB=。∵S△BCD=DM·OB,S△ABC=AB·OC,S△BCD=S△ABC,72\n∴。又∵顶点D在第一象限,∴,解得。当时,A(-1,0),B(5,0),C(0,)。∴BC=,S△ABC=。设点D到BC的距离为d,∵S△DBC=,∴,解得。答:点D到直线BC的距离为。【考点】二次函数综合题,二次函数的性质,曲线上点的坐标与方程的关系,待定系数法,锐角三角函数定义,点到直线的距离,解二元一次方程组和一元二次方程。【分析】(1)求出顶点D和A的坐标,根据锐角三角函数定义即可求出tan∠ADH的值。(2)求出∠ADB=600和∠ADB=900时的m的值即可得出m的变化范围。(3)设点D到BC的距离为d,根据S△DBC=和S△BCD=S△ABC,求出BC和S△ABC即可求得点D到直线BC的距离d。24.(2022辽宁鞍山14分)如图,直线AB交x轴于点B(4,0),交y轴于点A(0,4),直线DM⊥x轴正半轴于点M,交线段AB于点C,DM=6,连接DA,∠DAC=90°.(1)直接写出直线AB的解析式;(2)求点D的坐标;(3)若点P是线段MB上的动点,过点P作x轴的垂线,交AB于点F,交过O、D、B三点的抛物线于点E,连接CE.是否存在点P,使△BPF与△FCE相似?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.72\n【答案】解:(1)设直线AB的解析式为y=kx+b,将A(0,4),B(4,0)两点坐标代入,得,解得。∴直线AB的解析式为y=﹣x+4。(2)过D点作DG⊥y轴,垂足为G,∵OA=OB=4,∴△OAB为等腰直角三角形。又∵AD⊥AB,∴∠DAG=90°﹣∠OAB=45°。∴△ADG为等腰直角三角形。∴DG=AG=OG﹣OA=DM﹣OA=5﹣4=2。∴D(2,6)。(3)存在。由抛物线过O(0,0),B(4,0)两点,设抛物线解析式为y=ax(x﹣4),将D(2,6)代入,得a=。∴抛物线解析式为y=x(x﹣4)。由(2)可知,∠B=45°,则∠CFE=∠BFP=45°,C(2,2)。设P(x,0),则MP=x﹣2,PB=4﹣x,①当∠ECF=∠BPF=90°时(如图1),△BPF与△FCE相似,过C点作CH⊥EF,此时,△CHE、△CHF、△PBF为等腰直角三角形。则PE=PF+FH+EH=PB+2MP=4﹣x+2(x﹣2)=x,将E(x,x)代入抛物线y=x(x﹣4)中,72\n得x=x(x﹣4),解得x=0或,∴P(,0)。②当∠CEF=∠BPF=90°时(如图2),此时,△CEF、△BPF为等腰直角三角形。则PE=MC=2,将E(x,2)代入抛物线y=x(x﹣4)中,得2=x(x﹣4),解得x=或。∴P(,0)。综上所述,点P的坐标为(,0)或(,0)。【考点】二次函数综合题,待定系数法,曲线上点的坐标与方程的关系,等腰直角三角形的判定和性质,相似三角形的判定和性质。1367104【分析】(1)根据A(0,4),B(4,0)两点坐标,可求直线AB的解析式。(2)作DG⊥y轴,垂足为G,由已知得OA=OB=4,△OAB为等腰直角三角形,而AD⊥AB,利用互余关系可知,△ADG为等腰直角三角形,则DG=AG=OG﹣OA=DM﹣OA=5﹣4=2,可求D点坐标。(3)存在。已知O(0,0),B(4,0),设抛物线的交点式,将D点坐标代入求抛物线解析式,由于对顶角∠CFE=∠BFP=45°,故当△BPF与△FCE相似时,分为:∠ECF=∠BPF=90°,∠CEF=∠BPF=90°两种情况,根据等腰直角三角形的性质求P点坐标。25.(2022辽宁朝阳14分)已知,如图,在平面直角坐标系中,Rt△ABC的斜边BC在x轴上,直角顶点A在y轴的正半轴上,A(0,2),B(-1,0)。(1)求点C的坐标;(2)求过A、B、C三点的抛物线的解析式和对称轴;(3)设点P(m,n)是抛物线在第一象限部分上的点,△PAC的面积为S,求S关于m的函数关系式,并求使S最大时点P的坐标;(4)在抛物线对称轴上,是否存在这样的点M,使得△MPC(P为上述(3)问中使S最大时点)为等腰三角形?若存在,请直接写出点M的坐标;若不存在,请说明理由。72\n【答案】解:(1)∵A(0,2),B(-1,0),∴OA=2,OB=1。由Rt△ABC知Rt△ABO∽Rt△CAO,∴,即,解得OC=4。∴点C的坐标为(4,0)。(2)设过A、B、C三点的抛物线的解析式为,将A(0,2)代入,得,解得。∴过A、B、C三点的抛物线的解析式为,即。∵,∴抛物线的对称轴为。(3)过点P作x轴的垂线,垂足为点H。∵点P(m,n)在上,∴P。∴,,。∴。∵,∴当时,S最大。72\n当时,。∴点P的坐标为(2,3)。(4)存在。点M的坐标为()或()或()或()或()。【考点】二次函数综合题,相似三角形的判定和性质,待定系数法,曲线上点的坐标与方程的关系,二次函数的性质,等腰三角形的判定和性质。【分析】(1)由Rt△ABO∽Rt△CAO可得,从而求出点C的坐标。(2)设抛物线的交点式,用待定系数法求出抛物线的解析式;化为顶点式可得抛物线的对称轴。(3)过点P作x轴的垂线于点H,则由可得S关于m的函数关系式;化为顶点式可得S最大时点P的坐标。  另解:点A、C的坐标可求AC的解析式:,设过点P与AC平行的直线为。  由点P在和可得。  ∴,整理,得。  要使△PAC的面积最大,即要点P到AC的距离最大,即与只有一个交点,即的△=0,即,解得。  将代入得,将代入得。  ∴当S最大时点P的坐标为(2,3)。(4)设点M(),∵C(4,0),P(2,3),∴PC=,72\nPM=,CM=。分三种情况讨论:  ①当点M是顶点时,PM=CM,即,解得,。∴M1()。     ②当点C是顶点时,PC=CM,即,解得,。∴M2(),M2()。③当点P是顶点时,PC=PM,即,解得,。∴M4(),M5()。 综上所述,当点M的坐标为()或()或()或()或()时,△MPC为等腰三角形。26.(2022辽宁锦州14分)如图,抛物线交轴于点C,直线l为抛物线的对称轴,点P在第三象限且为抛物线的顶点.P到轴的距离为,到轴的距离为1.点C关于直线l的对称点为A,连接AC交直线l于B.(1)求抛物线的表达式;(2)直线与抛物线在第一象限内交于点D,与轴交于点F,连接BD交轴于点E,且DE:BE=4:1.求直线的表达式;(3)若N为平面直角坐标系内的点,在直线上是否存在点M,使得以点O、F、M、N为72\n顶点的四边形是菱形?若存在,直接写出点M的坐标;若不存在,请说明理由.【答案】解:(1)∵抛物线交轴于点C,∴C(0,-3)则OC=3。∵P到轴的距离为,P到轴的距离是1,且在第三象限,∴P(-1,-)。∵C关于直线l的对称点为A,∴A(-2,-3)。将点A(-2,-3),P(-1,-)代入得,,解得。∴抛物线的表达式为。(2)过点D做DG⊥轴于G,则∠DGE=∠BCE=90°。∵∠DEG=∠BEC,∴△DEG∽△BEC。∴。∵DE:BE=4:1,BC=1,∴,则DG=4。将=4代入,得=5。∴D(4,5)。∵过点D(4,5),∴,则=2。∴所求直线的表达式为。72\n(3)存在。M1,M2,M3,M4。【考点】二次函数综合题,待定系数法,曲线上点的坐标与方程的关系,二次函数的性质,轴对称的性质,相似三角形的判定和性质,菱形的判定。【分析】(1)求出点A、P的坐标,用待定系数法即可求得抛物线的表达式。    (2)过点D做DG⊥轴于G,由△DEG∽△BEC求出点D的坐标,代入即可求得直线的表达式。    (3)存在。分三种情况讨论:       ①当OF和FM都为菱形的边时,       ∵点F在上,∴F(0,2),OF=2。设M,则FM=,由OF=FM解得。当时,,∴M1。当时,,∴M2。②当OF为菱形的对角线时,MN垂直平分OF,∴在中令,即,解得。∴M3。③当FM为菱形的对角线时,设M,则OM=,由OF=OM得解得(舍去)。,∴M4。综上所述,M1,M2,M3,M4。27.(2022山东东营11分)已知抛物线经过A(2,0).设顶点为点P,与x轴的另一交点为点B.(1)求b的值,求出点P、点B的坐标;(2)如图,在直线72\n上是否存在点D,使四边形OPBD为平行四边形?若存在,求出点D的坐标;若不存在,请说明理由;(3)在x轴下方的抛物线上是否存在点M,使△AMP≌△AMB?如果存在,试举例验证你的猜想;如果不存在,试说明理由.【答案】解:(1)∵抛物线经过A(2,0),∴,解得。∴抛物线的解析式为。∵,∴顶点P的坐标为(4,)。令y=0,得,解得。∴点B的坐标是(6,0)。(2)在直线上存在点D,使四边形OPBD为平行四边形。理由如下:设直线PB的解析式为,把B(6,0),P(4,)分别代入,得,解得。∴直线PB的解析式为。又∵直线OD的解析式为∴直线PB∥OD。设直线OP的解析式为,把P(4,)代入,得72\n,解得。如果OP∥BD,那么四边形OPBD为平行四边形。设直线BD的解析式为,将B(6,0)代入,得,解得。∴直线BD的解析式为。联立方程组,解得。∴D点的坐标为(2,)。(3)符合条件的点M存在。验证如下:过点P作x轴的垂线,垂足为为C,则PC=,AC=2,由勾股定理,可得AP=4,PB=4。又∵AB=4,∴△APB是等边三角形。作∠PAB的平分线交抛物线于M点,连接PM,BM。∵AM=AM,∠PAM=∠BAM,AB=AP,∴△AMP≌△AMB.(SAS)。因此即存在这样的点M,使△AMP≌△AMB.。【考点】二次函数综合题,待定系数法,曲线上点的坐标与方程的关系,平行四边形的判定,勾股定理,等边三角形的判定和性质,全等三角形的判定。【分析】(1)由抛物线经过A(2,0),代入即可求出b的值;从而得出抛物线的解析式,化为顶点式即可求出顶点P的坐标;令y=0,即可求出点B的坐标。(2)用待定系数法,求出直线PB、BD的解析式,联立和,解之即得点D的坐标。(3)由勾股定理求出AP、BP和AB的长,证出△APB是等边三角形,即可作BP的中垂线AM交BP于点M,点M即为所求。28.(2022山东莱芜12分)如图,顶点坐标为(2,-1)的抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与y轴交于点C(0,3),72\n与x轴交于A、B两点.(1)求抛物线的表达式;(2)设抛物线的对称轴与直线BC交于点D,连接AC、AD,求△ACD的面积;(3)点E为直线BC上一动点,过点E作y轴的平行线EF,与抛物线交于点F.问是否存在点E,使得以D、E、F为顶点的三角形与△BCO相似?若存在,求点E的坐标;若不存在,请说明理由.=16(1+k2)2。∴MN=4(1+k2)。延长NP交于点Q,过点M作MS⊥交于点S,则MS+NQ=y1+2+y2+2=∴MS+NQ=MN,即M、N两点到距离之和等于线段MN的长。【考点】二次函数综合题,待定系数法,曲线上点的坐标与方程的关系,中点坐标的求法,直线与圆相切的条件,一元二次方程根与系数的关系,勾股定理。【分析】(1)根据点在曲线上,点的坐标满足方程的关系,用待定系数法即可求出抛物线对应二次函数的解析式。(2)要证以ON为直径的圆与直线相切,只要证ON的中点到直线的距离等于ON长的一半即可。(3)运用一元二次方程根与系数的关系,求出MN和M、N两点到直线的距离之和,相比较即可。32.(2022山东枣庄10分)在平面直角坐标系中,现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限,斜靠在两坐标轴上,点C为(-1,0).如图所示,B点在抛物线y=x2+x-2图象上,过点B作BD⊥x轴,垂足为D,且B点横坐标为-3.(1)求证:△BDC≌△COA;(2)求BC所在直线的函数关系式;(3)抛物线的对称轴上是否存在点P,使△ACP是以AC为直角边的直角三角形?若存在,求出所72\n有点P的坐标;若不存在,请说明理由.【答案】解:(1)证明:∵∠BCD+∠ACO=90°,∠ACO+∠OAC=90°,∴∠BCD=∠OAC。∵△ABC为等腰直角三角形,∴BC=AC。在△BDC和△COA中,∠BDC=∠COA=90°,∠BCD=∠OAC,BC=AC,∴△BDC≌△COA(AAS)。(2)∵C点坐标为(-1,0),∴BD=CO=1。∵B点横坐标为-3,∴B点坐标为(-3,1)。设BC所在直线的函数关系式为y=kx+b,∴,解得。∴BC所在直线的函数关系式为y=-x-。(3)存在。∵y=x2+x-2=(x+)2x-,∴对称轴为直线x=-。若以AC为直角边,点C为直角顶点,对称轴上有一点P1,使CP1⊥AC,∵BC⊥AC,∴点P1为直线BC与对轴称直线x=-的交点。由题意可得:,解得,。∴P1(-,-)。若以AC为直角边,点A为直角顶点,对称轴上有一点P2,使AP2⊥AC,则过点A作AP2∥BC,交对轴称直线x=-于点P2,∵CD=OA,∴A(0,2)。72\n设直线AP2的解析式为:y=-x+m,把A(0,2)代入得m=2。∴直线AP2的解析式为:y=-x+2。由题意可得:,解得,。∴P2(-,-)。∴P点坐标分别为P1(-,-)、P2(-,-)。【考点】二次函数综合题,平角定义,直角三角形两锐角的关系,等腰直角三角形的性质,全等三角形的判定和性质,待定系数法,曲线上点的坐标与方程的关系,抛物线的对称轴,直角三角形的判定。【分析】(1)由等腰直角三角形的性质,平角定义,直角三角形两锐角的关系,可由AAS证得。(2)求出点B的坐标,由点B、C的坐标,用待定系数法可求BC所在直线的函数关系式。(3)分点C为直角顶点和点A为直角顶点两种情况讨论即可。33.(2022云南省9分)如图,在平面直角坐标系中,直线交x轴于点P,交y轴于点A.抛物线的图象过点E(-1,0),并与直线相交于A、B两点.(1)求抛物线的解析式(关系式);(2)过点A作AC⊥AB交x轴于点C,求点C的坐标;(3)除点C外,在坐标轴上是否存在点M,使得△MAB是直角三角形?若存在,请求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.72\n【答案】解:(1)∵一次函数交y轴于点A,∴令x=0,得y=2。∴A(0,2)。∵A(0,2)、E(-1,0)是抛物线的图象上的点,∴,解得。∴抛物线的解析式是:。(2)∵一次函数交x轴于点P,∴令y=0,得x=6。∴P(6,0)。∵AC⊥AB,OA⊥OP,∴△AOC∽△POA。∴。∵AO=2,PO=6,∴。∴。∴点C的坐标为。(3)存在。设除点C外,在坐标轴上还存在点M,使得△MAB是直角三角形,即∠AMB=900或∠ABM=900。∵点B是直线和抛物线的交点,∴,解得。∴。①若∠AMB=900,那么点M是以AB为直径的圆与坐标轴的交点,这时点M会在x轴的正半轴上和y轴的正半轴上。72\n若交点在y轴的正半轴上(如图),则点M的纵坐标与点B的纵坐标相等,即。若交点在x轴的正半轴上(如图),设,过点B作BD⊥x轴于点D,则有△AOM∽△MDA。∴。∵AO=2,MD=,OM=m,DB=,∴,解得。∴或。⑵若∠ABM=900,即过B作BM⊥AP,这时M在x轴的正半轴上和y轴的负半轴上。若交点在x轴的正半轴上(如图),设,过点B作BD⊥x轴于点D,则有△BDM∽△PDB。∴。∵BD=,MD=,PD=,∴,解得。∴。若交点在y轴的负半轴上(如图),设,过B作BF垂直y轴于点F,则有△ABF∽△BMF。∴。∵BF=,AF=,MF=,∴,解得。∴。72\n34.(2022吉林长春10分)如图,在平面直角坐标系中,直线y=-2x+42交x轴与点A,交直线y=x于点B,抛物线分别交线段AB、OB于点C、D,点C和点D的横坐标分别为16和4,点P在这条抛物线上.(1)求点C、D的纵坐标.(2)求a、c的值.(3)若Q为线段OB上一点,且P、Q两点的纵坐标都为5,求线段PQ的长.(4)若Q为线段OB或线段AB上的一点,PQ⊥x轴,设P、Q两点之间的距离为d(d>0),点Q的横坐标为m,直接写出d随m的增大而减小时m的取值范围.(参考公式:二次函数图像的顶点坐标为)72\n【考点】二次函数综合题,曲线上点的坐标与方程的关系,解二元一次方程组和一元二次方程,二次函数的性质。【分析】(1)点C在直线AB:y=-2x+42上,将C点的横坐标,代入即可求出C点的纵坐标,同理可知:D点在直线OB:y=x上,将D点的横坐标,代入解析式即可求出D点的纵坐标。(2)抛物线经过C、D两点,列出关于a和c二元二次方程组,解出a和c即可。(3)根据Q为线段OB上一点,P、Q两点的纵坐标都为5,则可以求出Q点的坐标,又知P点在抛物线上,求出P点的坐标即可,P、Q两点的横坐标的差的绝对值即为线段PQ的长。(4)根据PQ⊥x轴,可知P和Q两点的横坐标相同,求出抛物线的顶点坐标和B点的坐标,①当Q是线段OB上的一点时,结合图形写出m的范围,②当Q是线段AB上的一点时,结合图形写出m的范围即可:根据题干条件:PQ⊥x轴,可知P、Q两点的横坐标相同,72\n∵抛物线y=,∴顶点坐标为(8,2)。联立,解得点B的坐标为(14,14)。①当点Q为线段OB上时,如图所示,当0≤m<4或12≤m≤14时,d随m的增大而减小;②当点Q为线段AB上时,如图所示,当14≤m<16时,d随m的增大而减小。综上所述,当0≤m<4或12≤m<16时,d随m的增大而减小。35.(2022江西省10分)如图,已知二次函数L1:y=x2﹣4x+3与x轴交于A.B两点(点A在点B左边),与y轴交于点C.(1)写出二次函数L1的开口方向、对称轴和顶点坐标;(2)研究二次函数L2:y=kx2﹣4kx+3k(k≠0).①写出二次函数L2与二次函数L1有关图象的两条相同的性质;②是否存在实数k,使△ABP为等边三角形?如果存在,请求出k的值;如不存在,请说明理由;③若直线y=8k与抛物线L2交于E、F两点,问线段EF的长度是否发生变化?如果不会,请求出EF的长度;如果会,请说明理由.【答案】解:(1)∵抛物线,∴二次函数L1的开口向上,对称轴是直线x=2,顶点坐标(2,﹣1)。(2)①二次函数L2与L1有关图象的两条相同的性质:对称轴为x=2;都经过A(1,0),B(3,0)两点。②存在实数k,使△ABP为等边三角形.72\n∵,∴顶点P(2,-k).∵A(1,0),B(3,0),∴AB=2要使△ABP为等边三角形,必满足|-k|=,∴k=±。③线段EF的长度不会发生变化。∵直线y=8k与抛物线L2交于E、F两点,∴kx2﹣4kx+3k=8k,∵k≠0,∴x2﹣4x+3=8。解得:x1=﹣1,x2=5。∴EF=x2﹣x1=6。∴线段EF的长度不会发生变化。【考点】二次函数综合题,二次函数的性质,等边三角形的性质,解直角三角形。【分析】(1)抛物线y=ax2+bx+c中:a的值决定了抛物线的开口方向,a>0时,抛物线的开口向上;a<0时,抛物线的开口向下。抛物线的对称轴方程和顶点坐标,可化为顶点式或用公式求解。(2)①新函数是由原函数的各项系数同时乘以k所得,因此从二次函数的图象与解析式的系数的关系入手进行分析。②当△ABP为等边三角形时,P点必为函数的顶点,首先表示出P点纵坐标,它的绝对值正好是等边三角形边长的倍,由此确定k的值。③联立直线和抛物线L2的解析式,先求出点E、F的坐标,从而可表示出EF的长,若该长度为定值,则线段EF的长不会发生变化。36.(2022青海省12分)如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点,A点在原点的左侧,B点的坐标为(3,0),与y轴交于C(0,﹣3)点,点P是直线BC下方的抛物线上一动点.(1)求这个二次函数的表达式.(2)连接PO、PC,并把△POC沿CO翻折,得到四边形POP′C,那么是否存在点P,使四边形POP′C为菱形?若存在,请求出此时点P的坐标;若不存在,请说明理由.(3)当点P运动到什么位置时,四边形ABPC的面积最大并求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积.72\n【答案】解:(1)将B、C两点的坐标代入y=x2+bx+c得,解得。∴二次函数的表达式为:y=x2﹣2x﹣3。(2)存在点P,使四边形POP′C为菱形。设P点坐标为(x,x2﹣2x﹣3),PP′交CO于E,若四边形POP′C是菱形,则有PC=PO。连接PP′,则PE⊥CO于E。∴OE=EC=。∴x2﹣2x﹣3=,解得(不合题意,舍去)。∴P点的坐标为()。(3)过点P作y轴的平行线与BC交于点Q,与OB交于点F,设P(x,x2﹣2x﹣3),设直线BC的解析式为y=kx+b,则,解得。∴直线BC的解析式为y=x﹣3。则Q点的坐标为(x,x﹣3)。∴72\n∴当时,四边形ABPC的面积最大,此时P点的坐标为,四边形ABPC的面积的最大值为。【考点】二次函数综合题,曲线上点的坐标与方程的关系,翻折的性质,菱形的判定和性质,二次函数最值。190187【分析】(1)将B、C的坐标代入抛物线的解析式中即可求得待定系数的值。(2)由于菱形的对角线互相垂直平分,若四边形POP′C为菱形,那么P点必在OC的垂直平分线上,据此可求出P点的纵坐标,代入抛物线的解析式中即可求出P点的坐标。(3)由于△ABC的面积为定值,当四边形ABPC的面积最大时,△BPC的面积最大;过P作y轴的平行线,交直线BC于Q,交x轴于F,易求得直线BC的解析式,可设出P点的横坐标,然后根据抛物线和直线BC的解析式求出Q、P的纵坐标,即可得到PQ的长,以PQ为底,B点横坐标的绝对值为高即可求得△BPC的面积,由此可得到关于四边形ACPB的面积与P点横坐标的函数关系式,根据函数的性质即可求出四边形ABPC的最大面积及对应的P点坐标。37.(2022内蒙古呼和浩特12分)如图,抛物线y=ax2+bx+c(a<0)与双曲线相交于点A,B,且抛物线经过坐标原点,点A的坐标为(﹣2,2),点B在第四象限内,过点B作直线BC∥x轴,点C为直线BC与抛物线的另一交点,已知直线BC与x轴之间的距离是点B到y轴的距离的4倍,记抛物线顶点为E.(1)求双曲线和抛物线的解析式;(2)计算△ABC与△ABE的面积;(3)在抛物线上是否存在点D,使△ABD的面积等于△ABE的面积的8倍?若存在,请求出点D的坐标;若不存在,请说明理由.【答案】解:(1)∵点A(﹣2,2)在双曲线上,72\n∴k=﹣4。∴双曲线的解析式为。∵BC与x轴之间的距离是点B到y轴距离的4倍,∴设B点坐标为(m,﹣4m)(m>0)代入双曲线解析式得m=1。∴抛物线y=ax2+bx+c(a<0)过点A(﹣2,2)、B(1,﹣4)、O(0,0)。∴,解得:。∴抛物线的解析式为。(2)∵抛物线的解析式为,∴顶点E(),对称轴为x=。∵B(1,﹣4),∴﹣x2﹣3x=﹣4,解得:x1=1,x2=﹣4。∴C(﹣4,﹣4)。∴S△ABC=×5×6=15,由A、B两点坐标为(﹣2,2),(1,﹣4)可求得直线AB的解析式为:y=﹣2x﹣2。设抛物线的对称轴与AB交于点F,则F点的坐标为(,1)。∴EF=。∴S△ABE=S△AEF+S△BEF=××3=。(3)S△ABE=,∴8S△ABE=15。∴当点D与点C重合时,显然满足条件,当点D与点C不重合时,过点C作AB的平行线CD,其直线解析式为y=﹣2x﹣12。令﹣2x﹣12=﹣x2﹣3x,解得x1=3,x2=﹣4(舍去)。当x=3时,y=﹣18,故存在另一点D(3,﹣18)满足条件。综上所述,可得点D的坐标为(3,﹣18)或(﹣4,﹣4)。72\n【考点】二次函数综合题,曲线上点的坐标与方程的关系,二次函数的性质,三角形的面积,平行的性质。【分析】(1)将点A的坐标代入双曲线方程即可得出k的值,设B点坐标为(m,﹣4m)(m>0),根据双曲线方程可得出m的值,然后分别得出了A、B、O的坐标,利用待定系数法求解二次函数解析式即可。(2)根据点B的坐标,结合抛物线方程可求出点C的坐标,从而可得出△ABC的面积。先求出AB的解析式,然后求出点F的坐标,及EF的长,从而根据S△ABE=S△AEF+S△BEF可得△ABE的面积。(3)先确定符合题意的△ABD的面积,从而可得出当点D与点C重合时,满足条件;当点D与点C不重合时,过点C作AB的平行线CD,则可求出其解析式,求出其与抛物线的交点坐标即可得出点D的坐标。38.(2022内蒙古赤峰12分)如图,抛物线与x轴交于A.B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,点C与点F关于抛物线的对称轴对称,直线AF交y轴于点E,|OC|:|OA|=5:1.(1)求抛物线的解析式;(2)求直线AF的解析式;(3)在直线AF上是否存在点P,使△CFP是直角三角形?若存在,求出P点坐标;若不存在,说明理由.【答案】解:(1)在y=x2﹣bx﹣5中令x=0,得y=5,∴|OC|=5。∵|OC|:|OA|=5:1,∴|OA|=1。∴A(﹣1,0)。把A(﹣1,0)代入y=x2﹣bx﹣5得(﹣1)2+b﹣5=0,解得b=4。∴抛物线的解析式为y=x2﹣4x﹣5。(2)∵y=x2﹣4x﹣5=(x﹣2)2﹣9,∴抛物线的的对称轴为x=2。72\n∵点C与点F关于对称轴对称,C(0,﹣5)∴F(4,﹣5)。设直线AF的解析式为y=kx+b,把F(4,﹣5),A(﹣1,0),代入y=kx+b,得,解得。∴直线FA的解析式为y=﹣x﹣1。(3)存在。理由如下:①当∠FCP=90°时,点P与点E重合,∵点E是直线y=﹣x﹣1与y轴的交点,∴E(0,﹣1)。∴P(0,﹣1)。②当CF是斜边时,过点C作CP⊥AF于点P。设P(x1,﹣x1﹣1),∵∠ECF=90°,E(0,﹣1),C(0,﹣5),F(4,﹣5),∴CE=CF。∴EP=PF。∴CP=PF。∴点P在抛物线的对称轴上。∴x1=2。把x1=2代入y=﹣x﹣1,得y=﹣3。∴P(2,﹣3)。综上所述,直线AF上存在点P(0,﹣1)或(0,﹣1)使△CFP是直角三角形。【考点】二次函数综合题,二次函数的性质,待定系数法,曲线上点的坐标与方程的关系,直角三角形的判定,等腰直角三角形的性质。【分析】(1)根据抛物线解析式求出OC的长度,再根据比例求出OA的长度,从而得到点A的坐标,然后把点A的坐标代入抛物线解析式计算求出b,即可得到抛物线解析式。(2)由y=x2﹣4x﹣5=(x﹣2)2﹣9可得对称轴为x=2,根据点C、F关于对称轴对称可得点F的坐标,然后利用待定系数法求直线函数解析式求解即可。(3)分①点P与点E重合和②CF是斜边两种情况讨论即可。39.(2022内蒙古包头12分)已知直线y=2x+4与x轴、y轴分别交于A,D两点,抛物线经过点A,D,点B是抛物线与x轴的另一个交点。(1)求这条抛物线的解析式及点B的坐标;(2)设点M是直线AD上一点,且,求点M的坐标;(3)如果点C(2,y)在这条抛物线上,在y轴的正半轴上是否存在点P,使△BCP为等腰三角形?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由。72\n【答案】解:(1)在y=2x+4中,令y=0,得x=-2;令x=0,得y=4。∴A(-2,0),D(0,4)。将A(-2,0),D(0,4)代入,得,解得。∴这条抛物线的解析式为。令,解得。∴B(4,0)。(2)设M(m,2m+4),分两种情况:①当M在线段AD上时,由得,解得,。∴M1()。②当M在线段DA延长线上时,由得,解得。∴M2()。综上所述,点M的坐标为M1(),M2()。72\n(3)存在。∵点C(2,y)在上,∴。∴C(2,4)。设P,根据勾股定理,得,,。分三种情况:①若PB=BC,则,解得,。∵点P在y轴的正半轴上,∴P1(0,2)。②若PB=PC,则,解得,。∴P2(0,)。③若BC=PC,则,解得,。∵点P在y轴的正半轴上,∴不符合要求。当时,B、C、P在一直线上,不构成三角形,也不符合要求。∴BC=PC时,在y轴的正半轴上是不存在点P,使△BCP为等腰三角形。综上所述,在y轴的正半轴上是存在点P1(0,2),P2(0,),使△BCP为等腰三角形。【考点】二次函数综合题,曲线上点的坐标与方程的关系,勾股定理,等腰三角形的判定。【分析】(1)求出点A,D的坐标,代入,即可求出抛物线的解析式。令y=0,即可求出点B的坐标。(2)分M在线段AD上和M在线段DA延长线上两种情况两种情况讨论。(3)P,由勾股定理,表示出各边长,分PB=BC,PB=PC,BC=PC三种情况讨论。40.(2022黑龙江绥化6分)如图,二次函数y=ax2-4x+c的图象经过坐标原点,与x轴交于点A(-4,0).72\n(1)求二次函数的解析式;(2)在抛物线上存在点P,满足S△AOP=8,请直接写出点P的坐标.【答案】解:(1)将O(0,0)A(-4,0)代入y=ax2-4x+c得,解得。∴此二次函数的解析式为y=-x2-4x。(2)∵点A的坐标为(-4,0),∴AO=4。设点P到x轴的距离为h,则,解得h=4。①当点P在x轴上方时,-x2-4x=4,解得x=-2。∴点P的坐标为(-2,4)。②当点P在x轴下方时,-x2-4x=-4,解得。∴点P的坐标为(,-4)或(,-4),综上所述,点P的坐标是:(-2,4)、(,-4)、(,-4)。【考点】曲线上点的坐标与方程的关系,二次函数图象上点的坐标特征。【分析】(1)把点A原点的坐标代入函数解析式,利用待定系数法求二次函数解析式解答。(2)根据三角形的面积公式求出点P到AO的距离,然后分点P在x轴的上方与下方两种情况解答即可。41.(2022黑龙江黑河、齐齐哈尔、大兴安岭、鸡西6分)如图,抛物线与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,且OA=2,OC=3.(1)求抛物线的解析式.(2)若点D(2,2)是抛物线上一点,那么在抛物线的对称轴上,是否存在一点P,使得△BDP的周长最小,若存在,请求出点P的坐标,若不存在,请说明理由.72\n注:二次函数(≠0)的对称轴是直线=【答案】解:(1)∵OA=2,OC=3,∴A(-2,0),C(0,3)。将C(0,3)代入得c=3。将A(-2,0)代入得,,解得b=。∴抛物线的解析式为。(2)如图:连接AD,与对称轴相交于P,由于点A和点B关于对称轴对称,则即BP+DP=AP+DP,当A、P、D共线时BP+DP=AP+DP最小。设AD的解析式为y=kx+b,将A(-2,0),D(2,2)分别代入解析式得,,解得,,∴直线AD解析式为y=x+1。∵二次函数的对称轴为,∴当x=时,y=×+1=。∴P(,)。【考点】曲线上点的坐标与方程的关系,轴对称(最短路线问题)。【分析】(1)根据OC=3,可知c=3,于是得到抛物线的解析式为,然后将A(-2,0)代入解析式即可求出b的值,从而得到抛物线的解析式。(2)由于BD为定值,则△BDP的周长最小,即BP+DP最小,由于点A和点B关于对称轴对称,则即BP+DP=AP+DP,当A、P、D共线时BP+DP=AP+DP最小。42.(2022黑龙江龙东地区6分)如图,抛物线y=x272\n+bx+c经过坐标原点,并与x轴交于点A(2,0)。(1)求此抛物线的解析式;(2)写出顶点坐标及对称轴;(3)若抛物线上有一点B,且,求点B的坐标。【答案】解:(1)把(0,0),(2,0)代入y=x2+bx+c得,解得。∴此抛物线的解析式为。 (2)∵∴顶点为(1,-1);对称轴为:直线x=1。(3)设点B的坐标为(a,b),则由解得b=3或b=-3。∵顶点纵坐标为-1,-3<-1,∴b=-3舍去。∴由x2-2x=3解得x1=3,x2=-1∴点B的坐标为(3,3)或(-1,3)。【考点】曲线上点的坐标与方程的关系,二次函数的性质。【分析】(1)直接把(0,0),(2,0)代入y=x2+bx+c中,列方程组求b、c的值即可。(2)将二次函数解析式写成顶点式,可求顶点坐标及对称轴。(3)设点B的坐标为(a,b),根据三角形的面积公式求b的值,再将纵坐标b代入抛物线解析式求a的值,确定B点坐标。72

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发布时间:2022-08-25 20:45:59 页数:72
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文章作者:U-336598

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