山东省17市2022年中考数学试题分类解析汇编 专题06 函数的图像与性质

山东省各市2022年中考数学分类解析专题06函数的图像与性质一、选择题1.（2022年山东滨州3分）若点A（1，y1）、B（2，y2）都在反比例函数的图象上，则y1、y2的大小关系为【】　A．y1＜y2B．y1≤y2C．y1＞y2D．y1≥y22.（2022年山东滨州3分）如图，二次函数（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且对称轴为x=1，点B坐标为（﹣1，0）．则下面的四个结论：①2a+b=0；②4a－2b＋c＜0；③ac＞0；④当y＜0时，x＜－1或x＞2．其中正确的个数是【】　A．1B．2C．3D．462\n3.（2022年山东菏泽3分）一条直线y=kx+b，其中k+b=﹣5、kb=6，那么该直线经过【】　A．第二、四象限B．第一、二、三象限C．第一、三象限D．第二、三、四象限一次函数的图象有四种情况：4（2022年山东菏泽3分）已知b＜0时，二次函数的图象如下列四个图之一所示．根据图象分析，a的值等于【】62\n　A．－2B．－1C．1D．2对称轴，解得b＜0，符合题意。故a=1。第4个图，抛物线开口向下，a＜0，经过坐标原点，a2－1=0，解得a1=1（舍去），a2=－1。对称轴，解得b＞0，不符合题意。综上所述，a的值等于1。故选C。5.（2022年山东济南、德州3分）下列函数中，当x＞0时，y随x的增大而增大的是【】A．B．C．D．62\n6.（2022年山东济南、德州3分）函数y=x2+bx+c与y=x的图象如图所示，有以下结论：①b2﹣4c＞0；②b+c+1=0；③3b+c+6=0；④当1＜x＜3时，x2+（b﹣1）x+c＜0．其中正确的个数为【】A．1B．2C．3D．4∵当1＜x＜3时，二次函数值小于一次函数值，∴x2+bx+c＜x，∴x2+（b﹣1）x+c＜0。故④正确。综上所述，正确的结论有③④两个，故选B。7.（2022年山东济宁3分）二次函数（a≠0）的图象如图所示，则下列结论中正确的是【】62\n　A．a＞0B．当﹣1＜x＜3时，y＞0　C．c＜0D．当x≥1时，y随x的增大而增大8.（2022年山东聊城3分）二次函数y=ax2+bx的图象如图所示，那么一次函数y=ax+b的图象大致是【】62\n9.（2022年山东聊城3分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过平移得到抛物线，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为【】　A．2B．4C．8D．1662\n10.（2022年山东临沂3分）如图，等边三角形OAB的一边OA在x轴上，双曲线在第一象限内的图象经过OB边的中点C，则点B的坐标是【】A．（1，）B．（，1）C．（2，）D，（，2）【答案】C。【考点】反比例函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，等边三角形的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。【分析】如图，过点B作BD⊥x轴，垂足为D，设点B的坐标为（a，b）（a＞0），∵三角形OAB是等边三角形，∴∠BOA=60°。在Rt△BOA中，，62\n11.（2022年山东日照4分）如图，已知抛物线和直线.我们约定：当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1、y2，若y1≠y2，取y1、y2中的较小值记为M；若y1=y2，记M=y1=y2.下列判断：①当x＞2时，M=y2；②当x＜0时，x值越大，M值越大；③使得M大于4的x值不存在；④若M=2，则x=1.其中正确的有【】A．1个B．2个C．3个D．4个62\n12.（2022年山东泰安3分）对于抛物线，下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴为直线x=1；③顶点坐标为（－1，3）；④x＞1时，y随x的增大而减小，其中正确结论的个数为【】A．1B．2C．3D．413.（2022年山东泰安3分）在同一坐标系内，一次函数与二次函数的图象可能是【】62\n14.（2022年山东威海3分）甲、乙两辆摩托车同时从相距20km的A，B两地出发，相向而行．图中l1，l2分别表示甲、乙两辆摩托车到A地的距离s（km）与行驶时间t（h）的函数关系．则下列说法错误的是【】A.乙摩托车的速度较快B.经过0.3小时甲摩托车行驶到A，B两地的中点C.经过0.25小时两摩托车相遇D.当乙摩托车到达A地时，甲摩托车距离A地km【答案】C。【考点】一次函数的应用。【分析】A、∵由图可知，甲行驶完全程需要0.6小时，乙行驶完全程需要0.5小时，∴“乙摩托车的速度较快”正确，故本选项错误；62\n15.（2022年山东威海3分）如图，在平面直角坐标系中，∠AOB=90°，∠OAB=30°，反比例函数的图象经过点A，反比例函数的图象经过点B，则下列关于m，n的关系正确的是【】A.m=﹣3nB.C.D.【分析】如图，过点B作BE⊥x轴于点E，过点A作AF⊥x轴于点F，设点A的坐标为（a，），点B坐标为（b，），则OE=﹣b，BE=，OF=a，AF=，∵∠OAB=30°，∴OA=OB。∵∠BOE+∠OBE=90°，∠AOF+∠BOE=90°，∴∠OBE=∠AOF。又∵∠BEO=∠OFA=90°，∴△BOE∽△OAF。62\n16.（2022年山东潍坊3分）设点和是反比例函数图象上的两个点，当＜＜时，＜，则一次函数的图象不经过的象限是【】.A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限　　　17.（2022年山东烟台3分）如图是二次函数图象的一部分，其对称轴为x=﹣1，且过点（﹣3，0）．下列说法：①abc＜0；②2a﹣b=0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣5，y1），（，y2）是抛物线上两点，则y1＞y2．其中说法正确的是【】A．①②B．②③C．①②④D．②③④62\n18.（2022年山东淄博4分）如图，矩形AOBC的面积为4，反比例函数的图象的一支经过矩形对角线的交点P，则该反比例函数的解析式是【】A．B．C．D．62\n二、填空题1..（2022年山东济南、德州4分）函数与y=x﹣2图象交点的横坐标分别为a，b，则的值为　▲　．∵函数与y=x﹣2图象交点的横坐标分别为a，b，∴a、b为方程的两根，∴a+b=2，ab=﹣1。∴。　2.（2022年山东莱芜4分）M（1，a）是一次函数与反比例函数图象的公共点，若将一次函数的图象向下平移4个单位，则它与反比例函数图象的交点坐标为　▲　．62\n3.（2022年山东青岛3分）如图，一个正比例函数图像与一次函数的图像相交于点P，则这个正比例函数的表达式是▲.4.（2022年山东日照4分）如图，直线AB交双曲线于Ａ、B，交x轴于点C,B为线段AC的中点，过点B作BM⊥x轴于M，连结OA.若OM=2MC,S⊿OAC=12，则k的值为▲.62\n5.（2022年山东潍坊3分）一次函数中，当时，＜1；当时，＞0则的取值范围是▲.【答案】。【考点】直线上点的坐标与方程的关系，解一元一次不等式组。【分析】根据题意，得。6.（2022年山东枣庄4分）已知正比例函数与反比例函数的图象的一个交点坐标为（－1，2），则另一个交点的坐标为▲．62\n三、解答题1.（2022年山东滨州12分）根据要求，解答下列问题：（1）已知直线l1的函数表达式为y=x，请直接写出过原点且与l1垂直的直线l2的函数表达式；（2）如图，过原点的直线l3向上的方向与x轴的正方向所成的角为300．①求直线l3的函数表达式；②把直线l3绕原点O按逆时针方向旋转900得到的直线l4，求直线l4的函数表达式．（3）分别观察（1）（2）中的两个函数表达式，请猜想：当两直线垂直时，它们的函数表达式中自变量的系数之间有何关系？请根据猜想结论直接写出过原点且与直线垂直的直线l5的函数表达式．∴k1=tan300=，∴直线l3的函数表达式为。；62\n2.（2022年山东东营9分）)如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数在第一象限内的图象交于点A，与x轴交于点B，线段OA＝5，C为x轴正半轴上一点，且．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）求△AOB的面积．62\n3.（2022年山东东营12分）已知抛物线的顶点A（2，0），与y轴的交点为B（0，－1）．（1）求抛物线的解析式；（2）在对称轴右侧的抛物线上找出一点C，使以BC为62\n直径的圆经过抛物线的顶点A．并求出点C的坐标以及此时圆的圆心P点的坐标．（3）在（2）的基础上，设直线x=t（0<t<10）与抛物线交于点N，当t为何值时，△BCN的面积最大，并求出最大值．【答案】解：（1）∵抛物线的顶点是A（2，0），∴设抛物线的解析式为。由抛物线过B(0,－1)得，∴。∴抛物线的解析式为，即。62\n【考点】二次函数综合题，待定系数法的应用，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，圆周角定理，三角形内角和定理，相似三角形的判定和性质，转换思想的应用。62\n4.（2022年山东菏泽7分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A、B两点．①根据图象求k的值；②点P在y轴上，且满足以点A、B、P为顶点的三角形是直角三角形，试写出点P所有可能的坐标．【分析】①求出A的坐标，代入反比例函数的解析式求出即可。5.（2022年山东菏泽10分）62\n如图，三角形ABC是以BC为底边的等腰三角形，点A、C分别是一次函数的图象与y轴的交点，点B在二次函数的图象上，且该二次函数图象上存在一点D使四边形ABCD能构成平行四边形．（1）试求b，c的值，并写出该二次函数表达式；（2）动点P从A到D，同时动点Q从C到A都以每秒1个单位的速度运动，问：①当P运动到何处时，有PQ⊥AC？②当P运动到何处时，四边形PDCQ的面积最小？此时四边形PDCQ的面积是多少？∴该二次函数解析式为：。62\n62\n6.（2022年山东济南、德州10分）某地计划用120﹣180天（含120与180天）的时间建设一项水利工程，工程需要运送的土石方总量为360万米3．（1）写出运输公司完成任务所需的时间y（单位：天）与平均每天的工作量x（单位：万米3）之间的函数关系式，并给出自变量x的取值范围；（2）由于工程进度的需要，实际平均每天运送土石比原计划多5000米3，工期比原计划减少了24天，原计划和实际平均每天运送土石方各是多少万米3？7.（2022年山东济南、德州12分）如图，在直角坐标系中有一直角三角形AOB，O为坐标原点，OA=1，tan∠BAO=3，将此三角形绕原点O逆时针旋转90°，得到△DOC，抛物线经过点A、B、C．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P是第二象限内抛物线上的动点，其坐标为t，①设抛物线对称轴l与x轴交于一点E，连接PE，交CD于F，求出当△CEF与△COD相似时，点P的坐标；62\n②是否存在一点P，使△PCD得面积最大？若存在，求出△PCD的面积的最大值；若不存在，请说明理由．62\n∴。∴当t=﹣时，S△PCD的最大值为。【考点】二次函数综合题，单动点和旋转问题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，旋转的性质。锐角三角函数定义，相似三角形的性质，二次函数的最值，分类思想和转换思62\n8.（2022年山东济宁7分）阅读材料：若a，b都是非负实数，则．当且仅当a=b时，“=”成立．证明：∵，∴．∴．当且仅当a=b时，“=”成立．举例应用：已知x＞0，求函数的最小值．解：．当且仅当，即x=1时，“=”成立．当x=1时，函数取得最小值，y最小=4．问题解决：汽车的经济时速是指汽车最省油的行驶速度．某种汽车在每小时70～110公里之间行驶时（含70公里和110公里），每公里耗油升．若该汽车以每小时x公里的速度匀速行驶，1小时的耗油量为y升．（1）求y关于x的函数关系式（写出自变量x的取值范围）；（2）求该汽车的经济时速及经济时速的百公里耗油量（结果保留小数点后一位）．∴（70≤x≤110）。62\n9.（2022年山东济宁8分）如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，P是反比例函数（x＞0）图象上任意一点，以P为圆心，PO为半径的圆与坐标轴分别交于点A、B．（1）求证：线段AB为⊙P的直径；（2）求△AOB的面积；（3）如图2，Q是反比例函数（x＞0）图象上异于点P的另一点，以Q为圆心，QO为半径画圆与坐标轴分别交于点C、D．求证：DO•OC=BO•OA．如图，过点P作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，则OM=m，ON=n．由垂径定理可知，点M为OA中点，点N为OB中点，∴OA=2OM=2m，OB=2ON=2n。∴。（3）证明：若点Q为反比例函数（x＞0）图象上异于点P的另一点，62\n10.（2022年山东莱芜12分）如图，抛物线（a≠0）经过点A（﹣3，0）、B（1，0）、C（﹣2，1），交y轴于点M．（1）求抛物线的表达式；（2）D为抛物线在第二象限部分上的一点，作DE垂直x轴于点E，交线段AM于点F，求线段DF长度的最大值，并求此时点D的坐标；（3）抛物线上是否存在一点P，作PN垂直x轴于点N，使得以点P、A、N为顶点的三角形与△MAO相似？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】解：（1）把A（﹣3，0）、B（1，0）、C（﹣2，1）代入得，62\n①设点P在第二象限时，∵点P不可能在直线MN上，∴只能PN=3NM。∴，即，62\n③当点P在第四象限时，若AN=3PN时，则，即m2+m﹣6=0。解得m=﹣3（舍去）或m=2。当m=2时，，∴此时点P的坐标为（2，）。【考点】二次函数综合题，待定系数法的应用，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的最值，相似三角形的性质，解一元二次方程，分类思想的应用。【分析】（1）把点A、B、C的坐标分别代入已知抛物线的解析式列出关于系数的三元一次方程组，通过解该方程组即可求得系数的值。62\n11.（2022年山东聊城8分）如图，一次函数的图象与x轴，y轴分别相交于A，B两点，且与反比例函数的图象在第二象限交与点C，如果点A为的坐标为（2，0），B是AC的中点．（1）求点C的坐标；（2）求一次函数的解析式．∵点A（2，0），点C（﹣2，4）在直线y=kx+b上，62\n12.（2022年山东聊城12分）已知△ABC中，边BC的长与BC边上的高的和为20．（1）写出△ABC的面积y与BC的长x之间的函数关系式，并求出面积为48时BC的长；（2）当BC多长时，△ABC的面积最大？最大面积是多少？（3）当△ABC面积最大时，是否存在其周长最小的情形？如果存在，请说出理由，并求出其最小周长；如果不存在，请给予说明．【答案】解：（1）由题意，得。当y=48时，=48，解得：x1=12，x2=8。∴面积为48时BC的长为12或8。（2）∵，∴当x=10时，y最大=50。62\n13.（2022年山东临沂9分）某工厂投入生产一种机器的总成本为2000万元．当该机器生产数量至少为10台，但不超过70台时，每台成本y与生产数量x之间是一次函数关系，函数y与自变量x的部分对应值如下表：x（单位：台）102030y（单位：万元∕台）60555062\n（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）求该机器的生产数量；（3）市场调查发现，这种机器每月销售量z（台）与售价a（万元∕台）之间满足如图所示的函数关系．该厂生产这种机器后第一个月按同一售价共卖出这种机器25台，请你求出该厂第一个月销售这种机器的利润．（注：利润=售价﹣成本）62\n待定系数法求出其解析式，再将z=25代入解析式求出a的值，就可以求出每台的利润，从而求出总利润。14.（2022年山东临沂13分）如图，抛物线经过A（﹣1，0），B（5，0），C（0，）三点．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC的值最小，求点P的坐标；（3）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】解：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），∵A（﹣1，0），B（5，0），C（0，）三点在抛物线上，（2）∵，∴其对称轴为直线x=2。连接BC，如图1所示，62\n（，）。【考点】二次函数综合题，单动点问题，待定系数法的应用，曲线上点的坐标与方程的关系，62\n15.（2022年山东青岛10分）某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元，试营销阶段发现：当销售单价是25元时，每天的销售量为250件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件（1）写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润（元）与销售单价（元）之间的函数关系式；（2）求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大；（3）商场的营销部结合上述情况，提出了A、B两种营销方案方案A：该文具的销售单价高于进价且不超过30元；方案B：每天销售量不少于10件，且每件文具的利润至少为25元请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由62\n16.（2022年山东日照10分）一汽车租赁公司拥有某种型号的汽车100辆．公司在经营中发现每辆车的月租金x(元)与每月租出的车辆数(y)有如下关系：x3000320035004000y100969080（1）观察表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识求出每月租出的车辆数y（辆）与每辆车的月租金x（元）之间的关系式.（2）已知租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．用含x（x≥3000）的代数式填表:租出的车辆数▲.未租出的车辆数▲租出每辆车的月收益▲.所有未租出的车辆每月的维护费▲.（3）若你是该公司的经理，你会将每辆车的月租金定为多少元，才能使公司获得最大月收益？请求出公司的最大月收益是多少元．（2）填表如下：租出的车辆数未租出的车辆数.租出每辆车的月收益所有未租出的车辆每月的维护费.（3）设租赁公司获得的月收益为W元，依题意可得：62\n17.（2022年山东日照14分）已知，如图(a)，抛物线经过点A(x1，0)，B(x2，0)，C(0，－2)，其顶点为D.以AB为直径的⊙M交y轴于点E、F，过点E作⊙M的切线交x轴于点N。∠ONE=30°，。（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）连结AD、BD,在（1）中的抛物线上是否存在一点P，使得△ABP与△ADB相似？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由；（3）如图（b）,点Q为上的动点（Q不与E、F重合），连结AQ交y轴于点H，问：AH·AQ是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由。62\n（2）如图，由抛物线的对称性可知：AD=BD，∠DAB=∠DBA。若在抛物线对称性的右侧图象上存在点P，使△ABP与△ADB相似，须有∠BAP=∠BPA=∠BPD。设AP交抛物线的对称轴于D′点，则D′（2，）。62\n同理可说明在对称轴左边的抛物线上也不存在符合条件的P点。∴在该抛物线上不存在点P，使得△ABP与△ADB相似。（3）连接AF、QF，在△AQF和△AFH中，由垂径定理易知：，∴∠AQF=∠AFH。又∠QAF=∠HAF，∴△AQF∽△AFH。∴，∴。在Rt△AOF中，，∴AH·AQ＝16，即：AH·AQ为定值。【考点】二次函数综合题，单动点问题，待定系数法的应用，曲线上点的坐标与方程的关系，18.（2022年山东泰安6分）如图，四边形ABCD为正方形．点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（0，－3），反比例函数的图象经过点C，一次函数的图象经过点C，一次函数的图象经过点A，（1）求反比例函数与一次函数的解析式；（2）求点P是反比例函数图象上的一点，△OAP的面积恰好等于正方形ABCD的面积，求P点的坐标．62\n∴反比例函数的解析式为。62\n19.（2022年山东泰安12分）如图，抛物线与y轴交于点C（0，－4），与x轴交于点A，B，且B点的坐标为（2，0）（1）求该抛物线的解析式；（2）若点P是AB上的一动点，过点P作PE∥AC，交BC于E，连接CP，求△PCE面积的最大值；（3）若点D为OA的中点，点M是线段AC上一点，且△OMD为等腰三角形，求M点的坐标．∵PE∥AC，∴∠BPE=∠BAC，∠BEP=∠BCA。∴△PBE∽△ABC。。∴当x=﹣1时，S△PCE的最大值为3。（3）△OMD为等腰三角形，可能有三种情形：62\n①当DM=DO时，如图①所示，∵DO=DM=DA=2，∴∠OAC=∠AMD=45°。∴∠ADM=90°。∴M点的坐标为（－2，－2）。②当MD=MO时，如图②所示，过点M作MN⊥OD于点N，则点N为OD的中点，20.（2022年山东威海9分）如图，已知抛物线与x轴交于点A，B，AB=2，与y轴交于点C，对称轴为直线x=2．（1）求抛物线的函数表达式；（2）设P为对称轴上一动点，求△APC周长的最小值；（3）设D为抛物线上一点，E为对称轴上一点，若以点A，B，D，E为顶点的四边形是菱形，则点D的坐标为▲　．62\n62\n21.（2022年山东威海12分）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线y=x交于点A，点B在直线上，∠BOA=90°．抛物线过点A，O，B，顶点为点E．（1）求点A，B的坐标；（2）求抛物线的函数表达式及顶点E的坐标；（3）设直线y=x与抛物线的对称轴交于点C，直线BC交抛物线于点D，过点E作FE∥x轴，交直线AB于点F，连接OD，CF，CF交x轴于点M．试判断OD与CF是否平行，并说明理由．【答案】解：（1）由直线与直线y=x交于点A，得，解得，。∴点A的坐标是（3，3）。∵∠BOA=90°，∴OB⊥OA。62\n，解得，。∴直线BC的解析式为。∵直线BC与抛物线交于点B、D，∴，解得，x1=，x2=﹣1．。62\n（3）如图，作DN⊥x轴于点N，欲证明OD与CF平行，只需证明同位角∠CMN与∠DON相等即可。22.（2022年山东潍坊12分）62\n为了改善市民的生活环境，我是在某河滨空地处修建一个如图所示的休闲文化广场.在Rt△ABC内修建矩形水池DEFG，使顶点D、E在斜边AB上，F、G分别在直角边BC、AC上；又分别以AB、BC、AC为直径作半圆，它们交出两弯新月（图中阴影部分），两弯新月部分栽植花草；其余空地铺设地砖.其中米，∠BAC=600.设EF=x米，DE=y米.（1）求y与x之间的函数解析式；（2）当x为何值时，矩形DEFG的面积最大？最大面积是多少？（3）求两弯新月（图中阴影部分）的面积，并求当x为何值时，矩形DEFG的面积等于两弯新月面积的？∴当x=9时，矩形DEFG的面积最大，最大面积为平方米。（3）记AC为直径的半圆、BC为直径的半圆、AB为直径的半圆面积分别为S1、S2、S3，两弯新月面积为S，则62\n23.（2022年山东潍坊13分）如图，抛物线关于直线对称，与坐标轴交于A、B、C三点，且AB=4，点D在抛物线上，直线是一次函数的图象，点O是坐标原点.（1）求抛物线的解析式；（2）若直线平分四边形OBDC的面积，求k的值.（3）把抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线与直线交于M、N两点，问在y轴正半轴上是否存在一定点P，使得不论k取何值，直线PM与PN总是关于y轴对称？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由.62\n（3）∵，∴把抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析62\n24.（2022年山东烟台7分）如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O与坐标原点重合，A、C分别在坐标轴上，点B的坐标为（4，2），直线交AB，BC分别于点M，N，反比例函数的图象经过点M，N．（1）求反比例函数的解析式；（2）若点P在y轴上，且△OPM的面积与四边形BMON的面积相等，求点P的坐标．62\n【考点】反比例函数与一次函数的交点问题，曲线上点的坐标与方程的关系，矩形的性质。　25.（2022年山东烟台12分）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是边长为2的正方形，二次函数的图象经过点A，B，与x轴分别交于点E，F，且点E的坐标为（，0），以OC为直径作半圆，圆心为D．（1）求二次函数的解析式；（2）求证：直线BE是⊙D的切线；（3）若直线BE与抛物线的对称轴交点为P，M是线段CB上的一个动点（点M与点B，C不重合），过点M作MN∥BE交x轴与点N，连结PM，PN，设CM的长为t，△PMN的面积为S，求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．S是否存在着最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．【答案】解：（1）∵四边形OABC是边长为2的正方形，∴A（0，2），B（2，2）。62\n又∵E的坐标为（，0），∴，解得，。（3）由题意，得E（，0），B（2，2）．设直线BE为y=kx+h，则，解得，。∴直线BE为：。∵直线BE与抛物线的对称轴交点为P，对称轴直线为x=1，62\n26.（2022年山东枣庄8分）如图，在平面直角坐标中，直角梯形OABC的边OC、OA分别在x轴、y轴上，AB∥OC，∠AOC=900，∠BCO=450，BC=，点C的坐标为（－18，0）.（1）求点B的坐标；（2）若直线DE交梯形对角线BO于点D，交y轴于点E，且OE=4，OD=2BD，求直线DE的解析式.62\n【答案】解：（1）过点B作BF轴于F，在中，∠BCO=45°，BC=，∴CF=BF=12。∵点C的坐标为（3－18，0），∴AB=OF=18－12=6。∴点B的坐标为。（2）过点D作DG轴于点G，∵AB∥DG，，∴。∴。∵AB=6，OA=12，∴DG=4，OG=8。∴。27.（2022年山东枣庄14分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，B点的坐标为(3，0)，与y轴交于点C（0，－3），点P是直线BC下方抛物线上的一个动点．（1）求二次函数解析式；（2）连接PO，PC，并将△POC沿y轴对折，得到四边形.是否存在点P，使四边形62\n为菱形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积.∴存在这样的点，此时P点的坐标为（，）。（3）如图2，连接PO，作PM⊥x于M，PN⊥y于N。设P点坐标为（x，62\n【考点】二次函数综合题，折叠问题，待定系数法的应用，曲线上点的坐标与方程的关系，28（2022年山东淄博9分）△ABC是等边三角形，点A与点D的坐标分别是A（4，0），D（10，0）．（1）如图1，当点C与点O重合时，求直线BD的解析式；（2）如图2，点C从点O沿y轴向下移动，当以点B为圆心，AB为半径的⊙B与y轴相切（切点为C）时，求点B的坐标；（3）如图3，点C从点O沿y轴向下移动，当点C的坐标为C时，求∠ODB的正切值．62\n∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°。∴∠ACO=30°。∴AC=2OA。∵A（4，0），∴OA=4。∴AC=8。∴由勾股定理得：OC=。∵BE⊥x轴，∴AE=OA=4。∴OE=8。∴B（8，）。62\n62