山东省济南市槐荫区2022年中考数学二模试题（解析版） 新人教版

2022年山东省济南市槐荫区中考数学二模试卷一、选择题（本大题共15个小题，每小题3分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（3分）（2022•南通）如果60m表示“向北走60m”，那么“向南走40m”可以表示为（　　）　A．﹣20mB．﹣40mC．20mD．40m考点：正数和负数．分析：本题需先根据已知条件得出正数表示向北走，从而得出向南走需用负数表示，最后即可得出答案．解答：解：60m表示“向北走60m”，那么“向南走40m”可以表示﹣40米．故选B．点评：本题主要考查了正数和负数，在解题时要能根据正数和负数分别表示什么意义是本题的关键．　2．（3分）（2022•槐荫区二模）0.000314用科学记数法表示为（　　）　A．3.14×102B．3.14×104C．3.14×10﹣4D．3.14×10﹣3考点：科学记数法—表示较小的数．分析：绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．解答：解：将0.000314用科学记数法表示为3.14×10﹣4．故选C．点评：本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．　3．（3分）（2022•呼和浩特）计算2x2•（﹣3x3）的结果是（　　）　A．﹣6x5B．6x5C．﹣2x6D．2x6考点：同底数幂的乘法；单项式乘单项式．分析：根据单项式乘单项式的法则和同底数幂相乘，底数不变，指数相加计算后选取答案．解答：解：2x2•（﹣3x3），=2×（﹣3）•（x2•x3），=﹣6x5．故选A．点评：本题主要考查单项式相乘的法则和同底数幂的乘法的性质．　4．（3分）（2022•重庆）如图，AB∥CD，∠C=80°，∠CAD=60°，则∠BAD的度数等于（　　）　A．60°B．50°C．45°D．40°考点：平行线的性质．分析：17\n根据三角形的内角和为180°，即可求出∠D的度数，再根据两直线平行，内错角相等即可知道∠BAD的度数．解答：解：∵∠C=80°，∠CAD=60°，∴∠D=180°﹣80°﹣60°=40°，∵AB∥CD，∴∠BAD=∠D=40°．故选D．点评：本题考查了三角形的内角和为180°，以及两直线平行，内错角相等的性质，难度适中．　5．（3分）（2022•槐荫区二模）甲、乙两人在相同的条件下，各射靶10次，经过计算：甲、乙射击成绩的平均数都是8环，甲射击成绩的方差是1.2，乙射击成绩的方差是1.8．下列说法中不一定正确的是（　　）　A．甲射击成绩比乙稳定B．乙射击成绩的波动比甲较大　C．甲、乙射击成绩的众数相同D．甲、乙射中的总环数相同考点：方差；众数．分析：根据方差、平均数的意义进行判断，平均数相同则总环数相同，方差越大，波动越大即可求出答案．解答：解：∵甲射击成绩的方差是1.2，乙射击成绩的方差是1.8，∴S甲2＜S乙2，∴甲射击成绩比乙稳定，∴乙射击成绩的波动比甲较大，∵甲、乙射靶10次，∴甲、乙射中的总环数相同，故A、B、D都正确，但甲、乙射击成绩的众数不一定相同，故C错误；故选C．点评：本题考查了平均数、方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．　6．（3分）（2022•槐荫区二模）分式方程的解为（　　）　A．x=1B．x=﹣3C．x=3D．x=﹣1考点：解分式方程．专题：方程思想．分析：观察可得最简公分母是（x﹣3）（x﹣1），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．解答：解：方程的两边同乘（x﹣3）（x﹣1），得x（x﹣1）=（x﹣3）（x+1），x2﹣x=x2﹣2x﹣3，解得x=﹣3．检验：把x=﹣3代入（x﹣3）（x﹣1）=24≠0．∴原方程的解为：x=﹣3．故选B．点评：考查了解分式方程，注意：17\n（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要验根．　7．（3分）（2022•大庆）对任意实数a，则下列等式一定成立的是（　　）　A．B．C．D．考点：二次根式的性质与化简．专题：计算题．分析：根据二次根式的化简、算术平方根等概念分别判断．解答：解：A、a为负数时，没有意义，故本选项错误；B、a为正数时不成立，故本选项错误；C、=|a|，故本选项错误．D、故本选项正确．故选D．点评：本题考查了二次根式的化简与性质，正确理解二次根式有意义的条件、算术平方根的计算等知识点是解答问题的关键．　8．（3分）（2022•仙桃）如图，在6×6的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，其中A、B、C为格点．作△ABC的外接圆⊙O，则的长等于（　　）　A．B．C．D．考点：弧长的计算；勾股定理；勾股定理的逆定理；圆周角定理．专题：网格型．分析：求的长，关键是求弧所对的圆心角，弧所在圆的半径，连接OC，由图形可知OA⊥OC，即∠AOC=90°，由勾股定理求OA，利用弧长公式求解．解答：解：连接OC，由图形可知OA⊥OC，即∠AOC=90°，由勾股定理，得OA==，∴的长==．故选D．17\n点评：本题考查了弧长公式的运用．关键是熟悉公式：扇形的弧长=．　9．（3分）（2022•陕西）在△ABC中，若三边BC，CA，AB满足BC：CA：AB=5：12：13，则cosB=（　　）　A．B．C．D．考点：锐角三角函数的定义；勾股定理的逆定理．专题：计算题．分析：根据三角形余弦表达式即可得出结果．解答：解：根据三角函数性质，cosB==，故选C．点评：本题主要考查了锐角三角函数的定义及比例关系，比较简单．　10．（3分）（2022•泰安）如图，矩形ABCD的两对角线AC、BD交于点O，∠AOB=60°，设AB=xcm，矩形ABCD的面积为Scm2，则变量s与x间的函数关系式为（　　）　A．B．C．D．考点：矩形的性质；等边三角形的判定与性质．专题：压轴题．分析：由∠AOB=60°根据矩形的对角线相等且互相平分可得△ABO是等边三角形，所以∠ABD等于60°，再求出AD的长，进而可求面积．解答：解：在矩形ABCD中，AO=BO，∵∠AOB=60°，∴△ABO是等边三角形，∴∠ABO=60°，∴AD=ABtan60°=x，∴矩形ABCD的面积S=AD•AB=x•x=x2cm2．故选A．点评：本题主要利用矩形的性质和等边三角形的判定和性质求解．　17\n11．（3分）（2022•雅安）已知一次函数y=kx+b，k从2，﹣3中随机取一个值，b从1，﹣1，﹣2中随机取一个值，则该一次函数的图象经过二、三、四象限的概率为（　　）　A．B．C．D．考点：列表法与树状图法；一次函数的性质．分析：根据已知画出树状图，再利用一次函数的性质该一次函数的图象经过二、三、四象限时，k＜0，b＜0，即可得出答案．解答：解：∵k从2，﹣3中随机取一个值，b从1，﹣1，﹣2中随机取一个值，∴可以画出树状图：∴该一次函数的图象经过二、三、四象限时，k＜0，b＜0，∴当k=﹣3，b=﹣1时符合要求，∴当k=﹣3，b=﹣2时符合要求，∴该一次函数的图象经过二、三、四象限的概率为：，故选：A．点评：此题主要考查了一次函数的性质以及树状图法求概率，熟练地应用一次函数知识得出k，b的符号是解决问题的关键．　12．（3分）（2022•槐荫区二模）如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，M、N分别是边AB、AD的中点，连接OM、ON、MN，则下列叙述正确的是（　　）　A．△AOM和△AON都是等边三角形　B．四边形MBON和四边形MODN都是菱形　C．四边形MBCO和四边形NDCO都是等腰梯形　D．四边形AMON与四边形ABCD是位似图形考点：菱形的判定与性质；等边三角形的判定；等腰梯形的判定；位似变换．分析：在Rt△ABO中，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，OM=AM=BM，但AO与OM和AM的大小却无法判断，所以无法判断△AMO和△AON是等边三角形．同样，我们也无法判断BM是否等于OB和BM是否等于OC，所以也无法判断平行四边形MBON和MODN是菱形，也无法判断四边形MBCO和NDCO是等腰梯形．根据位似图形的定义可知四边形MBCO和四边形NDCO是位似图形．解答：解：根据位似图形的定义可知A、OA与OM和AM的大小却无法判断，所以无法判断△AMO和△AON是等边三角形，故错误；B、无法判断BM是否等于OB和BM是否等于OC，所以也无法判断平行四边形MBON和MODN是菱形，故错误；C、无法判断四边形MBCO和NDCO是等腰梯形，故此选项错误；D、四边形MBCO和四边形NDCO是位似图形，故此选项正确；17\n故选D．点评：本题考查了菱形的有关性质和位似图形的定义．位似图形的定义：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．　13．（3分）（2022•槐荫区二模）如图，直线y=﹣x+2与x轴、y轴分别交于A、B两点，把△AOB绕点A顺时针旋转60°后得到△AO′B′，则点B′的坐标是（　　）　A．（4，2）B．（2，4）C．（，3）D．（2+2，2）考点：一次函数综合题．专题：压轴题．分析：求得直角△ABO的两条直角边的长，即可利用解直角三角形的方法求得AB，以及∠OAB的度数，则∠OAB′是直角，据此即可求解．解答：解：在y=﹣x+2中令x=0，解得：y=2；令y=0，解得：x=2．则OA=2，OB=2．∴在直角△ABO中，AB==4，∠BAO=30°，又∵∠BAB′=60°，∴∠OAB′=90°，∴B′的坐标是（2，4）．故选B．点评：本题考查了一次函数与解直角三角形，正确证明∠OAB′=90°是关键．　14．（3分）（2022•槐荫区二模）现定义运算“★”，对于任意实数a、b，都有a★b=a2﹣3a+b，如：4★5=42﹣3×4+5，若x★2=6，则实数x的值是（　　）　A．﹣4或﹣1B．4或﹣1C．4或﹣2D．﹣4或2考点：解一元二次方程-因式分解法．专题：新定义．分析：先根据新定义得到x2﹣3x+2=6，整理得x2﹣3x﹣4=0，再把方程左边分解，原方程化为x﹣4=0或x+1=0，然后解一次方程即可．解答：解：∵x★2=6，∴x2﹣3x+2=6，整理得x2﹣3x﹣4=0，∴（x﹣4）（x+1）=0，∴x﹣4=0或x+1=0，∴x1=4，x2=﹣1．17\n故选B．点评：本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程右边变形为0，然后把方程左边进行因式分解，这样把一元二次方程转化为两个一元一次方程，再解一次方程可得到一元二次方程的解．　15．（3分）（2022•槐荫区二模）如图，直线y=x与抛物线y=x2﹣x﹣3交于A、B两点，点P是抛物线上的一个动点，过点P作直线PQ⊥x轴，交直线y=x于点Q，设点P的横坐标为m，则线段PQ的长度随m的增大而减小时m的取值范围是（　　）　A．x＜﹣1或x＞B．x＜﹣1或＜x＜3C．x＜﹣1或x＞3D．x＜﹣1或1＜x＜3考点：二次函数与不等式（组）．分析：联立两函数解析式求出交点A、B的坐标，再求出抛物线的对称轴，然后根据图象，点A左边的x的取值和对称轴右边到点B的x的取值都是所要求的取值范围．解答：解：联立，解得，，所以，A（﹣1，﹣1），B（3，3），抛物线的对称轴为直线x=﹣=，所以，线段PQ的长度随m的增大而减小时m的取值范围是x＜﹣1或＜x＜3．故选B．点评：本题考查了二次函数与不等式，主要利用了联立两函数解析式求交点的方法，以及数形结合的思想．　二、填空题（本大题共6个小题．每小题3分，共18分．把答案填在题中横线上．）16．（3分）（2022•槐荫区二模）﹣2的绝对值等于　2　．考点：绝对值．分析：根据负数的绝对值等于它的相反数即可求解．解答：解：|﹣2|=2．故答案为：2．点评：17\n考查了绝对值，计算绝对值要根据绝对值的定义求解．第一步列出绝对值的表达式；第二步根据绝对值定义去掉这个绝对值的符号．　17．（3分）（2022•保山）计算=　3　．考点：负整数指数幂；零指数幂．专题：计算题．分析：本题涉及负整数指数幂、零指数幂的考点，在计算时，针对每个考点分别计算．解答：解：原式=2+1=3．故答案为3．点评：本题考查了整数指数幂、零指数幂的考点，负整数指数幂：a﹣p=（a≠0，p为正整数）；零指数幂：a0=1（a≠0）．　18．（3分）（2022•槐荫区二模）某中学足球队的18名队员的年龄情况如下表：年龄（岁）1415161718人数36441则这些队员年龄的众数和中位数分别是　15，15.5　．考点：众数；中位数．分析：根据众数和中位数的定义求解即可．解答：解：这组数据按从小到大顺序排列为：14，14，14，15，15，15，15，15，15，16，16，16，16，17，17，17，17，18，则众数为：15，中位数为：（15+16）÷2=15.5．故答案为：15，15.5．点评：本题考查了众数和中位数的知识，属于基础题，解答本题的关键是掌握众数和中位数的定义．　19．（3分）（2022•梅州）如图，∠AOE=∠BOE=15°，EF∥OB，EC⊥OB，若EC=1，则EF=　2　．考点：角平分线的性质；含30度角的直角三角形．专题：压轴题．分析：作EG⊥OA于F，根据角平分线的性质得到EG的长度，再根据平行线的性质得到∠OEF=∠COE=15°，然后利用三角形的外角和内角的关系求出∠EFG=30°，利用30°角所对的直角边是斜边的一半解题．解答：解：作EG⊥OA于G，∵EF∥OB，∴∠OEF=∠COE=15°，∵∠AOE=15°，∴∠EFG=15°+15°=30°，∵EG=CE=1，17\n∴EF=2×1=2．故答案为2．点评：本题考查了角平分线的性质和含30°角的直角三角形，综合性较强，是一道好题．　20．（3分）（2022•槐荫区二模）如图，△ABD与△AEC都是等边三角形，AB≠AC．下列结论中，正确的是　①②　．①BE=CD；②∠BOD=60°；③∠BDO=∠CEO．考点：全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．分析：根据等边三角形的性质推出AD=AB，AE=AC，∠ADB=∠ABD=60°，∠DAB=∠EAC=60°，求出∠DAC=∠BAE，根据SAS证△DAC≌△BAE，推出BE=DC，∠ADC=∠ABE，根据三角形的内角和定理求出∠BOD=180°﹣∠ODB﹣∠DBA﹣∠ABE=60°，根据等边三角形性质得出∠ADB=∠AEC=60°，但∠ADC≠∠AEB，根据以上推出的结论即可得出答案．解答：解：∵△ABD与△AEC都是等边三角形，∴AD=AB，AE=AC，∠ADB=∠ABD=60°，∠DAB=∠EAC=60°，∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，∴∠DAC=∠BAE，在△DAC和△BAE中，∴△DAC≌△BAE（SAS），∴BE=DC，∠ADC=∠ABE，∵∠BOD=180°﹣∠ODB﹣∠DBA﹣∠ABE=180°﹣∠ODB﹣60°﹣∠ADC=120°﹣（∠ODB+∠ADC）=120°﹣60°=60°，∴∠BOD=60°，∴①正确；②正确；∵△ABD与△AEC都是等边三角形，∴∠ADB=∠AEC=60°，但根据已知不能推出∠ADC=∠AEB，∴说∠BDO=∠CEO错误，∴③错误；故答案为：①②．17\n点评：本题考查了对等边三角形的性质，三角形的内角和定理，全等三角形的性质和判定的应用．　21．（3分）（2022•槐荫区二模）如图，在△ABC中AB=AC=10，CB=16，分别以AB，AC为直径作半圆，则图中阴影部分的面积是　25π﹣48　．考点：勾股定理；等腰三角形的性质．专题：压轴题．分析：设以AB、AC为直径作半圆交BC于D点，连AD，根据直径所对的圆周角为直角得到AD⊥BC，再根据勾股定理计算出AD，然后利用阴影部分面积=半圆AC的面积+半圆AB的面积﹣△ABC的面积计算即可．解答：解：设以AB、AC为直径作半圆交BC于D点，连AD，如图，∴AD⊥BC，∴BD=DC=BC=8，而AB=AC=10，CB=16，∴AD=6，∴阴影部分面积=半圆AC的面积+半圆AB的面积﹣△ABC的面积=π×52﹣×16×6=25π﹣48．故答案为：25π﹣48．点评：本题考查了不规则图形面积的计算方法：把不规则的图形面积的计算转化为规则图形的面积和差来计算．也考查了圆周角定理的推论以及勾股定理．　三、解答题（本大题共7个小题．共57分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）22．（7分）（2022•槐荫区二模）（1）分解因式：﹣4a2+4ab﹣b2；（2）先化简，再求值：x（4﹣x）+（x+1）（x﹣1），其中x=．考点：整式的混合运算—化简求值；提公因式法与公式法的综合运用．17\n分析：（1）原式提取﹣1变形后，利用完全平方公式分解即可；（2）原式第一项利用单项式乘多项式法则计算，第二项利用平方差公式化简，去括号合并得到最简结果，将x的值代入计算即可求出值．解答：解：（1）原式=﹣（4a2﹣4ab+b2）=﹣（2a﹣b）2；（2）原式=4x﹣x2+x2﹣1=4x﹣1，当x=时，原式=4×﹣1=2﹣1=1．点评：此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，涉及的知识有：平方差公式，完全平方公式，单项式乘多项式法则，去括号法则，以及合并同类项法则，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．　23．（7分）（2022•槐荫区二模）（1）如图1，点A、F、C、D在同一直线上，点B和点E分别在直线AD的两侧，且AB=DE，∠A=∠D，AF=DC．求证：BC∥EF．（2）如图2，梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=120°，DA=AB=BC，连接BD．求证：∠DBC=90°．考点：全等三角形的判定与性质．专题：证明题．分析：（1）先求出AC=DF，然后利用“边角边”证明△ACB和△DEF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ACB=∠DFE，再利用内错角相等，两直线平行证明即可；（2）根据等腰三角形两底角相等求出∠ABD，再根据等腰梯形同一底上的两底角相等求出∠ABC，然后根据∠DBC=∠ABC﹣∠ABD代入数据进行计算即可得解．解答：（1）证明：∵AF=DC，∴AC=DF，在△ACB和△DFE中，，∴△ACB≌△DFE（SAS），∴∠ACB=∠DFE，∴BC∥EF；（2）解：∵DA=AB，∠A=120°，∴∠ABD=（180°﹣∠A）=（180°﹣120°）=30°，∵梯形ABCD中，AB∥CD，AB=BC，∴∠ABC=∠A=120°，∴∠DBC=∠ABC﹣∠ABD=120°﹣30°=90°．17\n点评：（1）考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定，求出三角形全等的条件AC=DF是解题的关键；（2）考查了等腰三角形两底角相等的性质，等腰梯形同一底上的两底角相等的性质，熟记性质是解题的关键．　24．（8分）（2022•槐荫区二模）一射击运动员在一次比赛中将进行10次射击，已知前7次射击共中61环，如果他要打破88环（每次射击以1到10的整数环计数）的记录，问第8次射击不能少于多少环？考点：一元一次不等式的应用．分析：设第8次射击不能少于x环，则其余两次最多射中20环，根据总环数要打破88环为不相等关系建立不等式求出其解即可．解答：解：设第8次射击不能少于x环，根据题意得：61+x+20＞88解得：x＞7，答：第8次射击不能少于8环．点评：本题考查了列不等式解射击类题型的实际问题的运用，不等式的解法的运用，解答时要正确理解实际问题的含义是关键．　25．（8分）（2022•槐荫区二模）在一个不透明的布袋中装有相同的三个小球，其上面分别标注数字1、2、3，现从中任意摸出一个小球，将其上面的数字作为点M的横坐标；将球放回袋中搅匀，再从中任意摸出一个小球，将其上面的数字作为点M的纵坐标．（1）写出点M坐标的所有可能的结果；（2）求点M的横坐标与纵坐标之和是偶数的概率．考点：列表法与树状图法．专题：计算题．分析：（1）列表得出所有等可能的情况结果即可；（2）列表得出点M的横坐标与纵坐标之和是偶数的情况数，即可求出所求的概率．解答：解：（1）列表如下：1231（1，1）（2，1）（3，1）2（1，2）（2，2）（3，2）3（1，3）（2，3）（3，3）则点M坐标的所有可能的结果有9个：（1，1）、（1，2）、（1，3）、（2，1）、（2，2）、（2，3）、（3，1）、（3，2）、（3，3）；（2）求出横纵坐标之和，如图所示：123123423453456得到之和为偶数的情况有5种，故P（点M的横坐标与纵坐标之和是偶数）=．17\n点评：此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．　26．（9分）（2022•槐荫区二模）如图，抛物线y=ax2+bx+3经过点A（1，0）和B（3，0），点C（m，）在抛物线的对称轴上．（1）求抛物线的函数表达式．（2）求证：△ABC是等腰三角形．（3）动点P在线段AC上，从点A出发以每钞1个单位的速度向C运动，同时动点Q在线段AB上，从B出发以每秒1个单位的速度向A运动．当Q到达点A时，两点同时停止运动．设运动时间为t秒，求当t为何值时，△APQ与△ABC相似．考点：二次函数综合题．专题：综合题．分析：（1）将点A、点B的坐标代入抛物线解析式可得出a、b的值，继而得出抛物线的函数表达式；（2）由抛物线解析式可得出m的值，求出CA、CB的长度，即可得出结论；（3）分两种情况讨论，①当∠APQ=∠ACB时，△APQ∽△ACB，②当∠APQ=∠ABC时，△APQ∽△ABC，利用对应边成比例解出t的值即可．解答：解：（1）把A（1，0）和B（3，0）代入y=ax2+bx+3得：，解得：，∴抛物线的函数解析式是y=x2﹣4x+3．（2）抛物线的对称轴是x=2，∵点C（m，）在抛物线对称轴上，∴m=2，∴点C（2，），∴CA==4，CB==4，∴CA=CB∴△ABC是等腰三角形．（3）∠A是公共角，①当∠APQ=∠ACB时，△APQ∽△ACB，∵AB=2，AC=4，AP=t，AQ=2﹣t，∴=，17\n解得：t=．②当∠APQ=∠ABC时，△APQ∽△ABC，∵AB=2，AC=4，AP=t，AQ=2﹣t，∴=，∴t=，∴当t=或t=时，△APQ与△ABC相似．点评：本题考查了二次函数的综合题，涉及了待定系数法求二次函数解析式、等腰三角形的判定及相似三角形的判定与性质，难点在第三问，关键是分类讨论，不要漏解，注意相似三角形的对应边成比例．　27．（9分）（2022•槐荫区二模）如图，点P是双曲线（x＞0）上一点，以点P为圆心，2为半径的圆与直线y=x的交点为A、B．（1）当⊙P与x轴和y轴都相切时，求点P的坐标及双曲线的函数表达式；（2）若点P在双曲线（x＞0）上运动，当弦AB的长等于时，求点P的坐标．考点：圆的综合题．分析：（1）根据已知得出点P到x轴和y轴的距离都是2，进而利用待定系数法求反比例函数解析式即可；（2）根据当点P在直线l上方时，以及点P在直线l下方时，分别得出P点坐标即可．解答：解：（1）∵⊙P与x轴和y轴都相切，半径为2，∴点P到x轴和y轴的距离都是2，∴点P（2，2），∴2=，∴k=4，∴双曲线的函数表达式为：y=．（2）设点P（m，n），当点P在直线l上方时，如图1，作PC⊥AB于点C，作PD⊥x轴于点D，PD与AB交于点E，连结PB，∴C是AB中点，17\n∴BC=，∴PC===1，∵点E在直线y=x上，∴OD=ED=m，∴∠OED=45°，∴∠PEC=45°，∴PE=PC=，∴n=PD=DE+PE=m+，∵点P在双曲线y=上，∴mn=4，∴m（m+）=4，解得：m1=，m2=﹣2，∵点P在第一象限，∴m=，∴n=2，∴点P（，2），设点P（m，n），点P在直线l下方时，如图2，作PC⊥AB于点C，作PD⊥x轴于点D，PD与AB交于点E，连结PA，∴C是AB中点，∴AC=，∴PC===1，∵点E在直线y=x上，∴OD=ED=m，∴∠OED=45°，∴∠PEC=45°，∴PE=PC=，∴n=PD=DE﹣PE=m﹣，∵点P在双曲线y=上，∴mn=4，∴m（m﹣）=4，解得：m1=﹣，m2=2，∵点P在第一象限，∴m=2，∴n=，∴点P（2，），∴综上所述，点P的坐标为（，2）或（2，）．17\n点评：此题主要考查了圆的综合应用以及相切的性质和反比例函数的性质等知识，利用数形结合以及分类讨论得出是解题关键．　28．（9分）（2022•槐荫区二模）如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，现有两点E、F，分别从点D、点A同时出发，点E沿线段DA以1个单位长度每秒的速度向点A运动，点F沿折线A﹣B﹣C以2个单位长度每秒的速度向点C运动．设点E离开点D的时间为t秒．（1）t=时，求证：△AEF为等腰直角三角形；（2）当t为何值时，线段EF与DC平行；（3）当1≤t＜2时，设EF与AC相交于点M，连接DM并延长交AB于点N，求的值．考点：相似形综合题．17\n分析：（1）根据运动的过程求得AE、AF的长即可作出判断；（2）线段EF与DC平行，则F一定在边BC上，且DE=CF，即四边形EFCD为矩形，利用t表示出DE和CF，即可得到一个关于t的方程，从而求得；（3）易证△AME∽△CMF，△AMN∽△CMD，根据相似三角形的对应边的比相等即可求解．解答：解：（1）t=时，DE=，AF=×2=，∵四边形ABCD是边长为2的正方形，∴∠DAB=90°，AE=2﹣=，∴AE=AF，∴△AEF是等腰直角三角形．（2）四边形ABCD是边长为2的正方形，∴AD=BC=2，当点F运动到边BC上且AE=BF时，则有DE=CF，∴四边形EFCD为矩形，∴EF∥CD，∵AE=2﹣t，BF=2t﹣2，∴2﹣t=2t﹣2，∴t=，∴t=时线段EF与DC平行．（3）由（2）知AE=2﹣t，∵CF=4﹣2t，∴==2，∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BC，AB∥DC，∴△AME∽△CMF，△AMN∽△CMD，∴==，∴==，∴AN=AB，∴=1．点评：本题考查了正方形的性质、矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质的综合应用，正确求得=2是关键．17