江苏省南京市鼓楼区2022年中考数学二模试题含解析

江苏省南京市鼓楼区2022年中考数学二模试题一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题纸相应位置上）1．下列剪纸作品都是轴对称图形．其中对称轴条数最多的作品是（　　）A．B．C．D．　2．下列算式结果为﹣3的是（　　）A．﹣|﹣3|B．（﹣3）0C．﹣（﹣3）D．（﹣3）﹣1　3．使分式有意义的x的取值范围是（　　）A．x＞2B．x＜2C．x≠2D．x≥2　4．下列从左边到右边的变形，是因式分解的是（　　）A．（a﹣1）（a﹣2）=a2﹣3a+2B．a2﹣3a+2=（a﹣1）（a﹣2）C．（a﹣1）2+（a﹣1）=a2﹣aD．a2﹣3a+2=（a﹣1）2﹣（a﹣1）　5．下列命题中假命题是（　　）A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形B．两组对角分别相等的四边形是平行四边形C．一组对边平行一组对角相等的四边形是平行四边形D．一组对边平行一组对边相等的四边形是平行四边形　6．对函数y=x3的描述：①y随x的增大而增大，②它的图象是中心对称图形，③它的自变量取值范围是x≠0．正确的是（　　）A．①②B．①③C．②③D．①②③　　二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题纸相应位置上）7．9的平方根是　　　　　　．　8．一个多边形的每个外角都等于72°，则这个多边形的边数为　　　　　　．　9．已知方程组的解为，则一次函数y=﹣x+1和y=2x﹣2的图象的交点坐标为　　　　　　．　22\n10．计算（﹣）×的结果是　　　　　　．　11．已知x1、x2是一元二次方程x2+x=1的两个根，则x1x2=　　　　　　．　12．如果代数式2x+y的值是3，那么代数式7﹣6x﹣3y的值是　　　　　　．　13．已知点A（2，y1）、B（m，y2）是反比例函数y=的图象上的两点，且y1＜y2．写出满足条件的m的一个值，m可以是　　　　　　．　14．如图，∠1=70°，直线a平移后得到直线b，则∠2﹣∠3=　　　　　　°．　15．已知等腰△ABC中，AB=AC=13cm，BC=10cm，则△ABC的内切圆半径为　　　　　　cm．　16．如图，方格纸中有三个格点A、B、C，则sin∠ABC=　　　　　　．　　三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（1）解方程组（2）解不等式2x﹣1≥，并把它的解集在数轴上表示出来．　18．某校八年级学生开展踢毽子比赛活动，每班派5名学生参加，按团体总数排列名次，在规定时间内每人踢100个以上（含100个）为优秀，下表是成绩最好的甲、乙两班各5名学生的比赛数据．（单位：个）22\n1号2号3号4号5号总数甲班891009611897500乙班1009611090104500统计发现两班总数相等，此时有人建议，可以通过考查数据中的其他信息来评判．试从两班比赛数据的中位数、方差、优秀率三个方面考虑，你认为应该选定哪一个班为冠军？　19．如图是汽车加油站在加油过程中，加油器仪表某一瞬间的显示，请你结合图片信息，解答下列问题：（1）加油过程中的常量是　　　　　　，变量是　　　　　　；（2）请用合适的方式表示加油过程中变量之间的关系．　20．在一个不透明的袋子中，放入除颜色外其余都相同的1个白球、2个黑球、3个红球．搅匀后，从中随机摸出2个球．（1）请列出所有可能的结果：（2）求每一种不同结果的概率．　21．某纪念币从2022年11月11日起开始上市，通过市场调查得知该纪念币每1枚的市场价y（单位：元）与上市时间x（单位：天）的数据如下：上市时间x天41036市场价y元905190（1）根据上表数据，在某一特定时期内，可从下列函数中选取一个恰当的函数描述纪念币的市场价y与上市时间x的变化关系：①y=ax+b（a≠0）；②y=a（x﹣h）2+k（a≠0）；③y=（a≠0）．你可选择的函数的序号是　　　　　　．（2）利用你选取的函数，求该纪念币上市多少天时市场价最低，最低价格是多少？　22．三角形中有3个角、3条边共6个元素，由其中的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解三角形．已知△ABC中，AB=，∠B=45°，BC=1+，解△ABC．　23．如图，线段AB绕点O顺时针旋转一定的角度得到线段A1B1．22\n（1）请用直尺和圆规作出旋转中心O（不写作法，保留作图痕迹）；（2）连接OA、OA1、OB、OB1，根据旋转的性质用符号语言写出2条不同类型的正确结论；（3）针对第（2）问中的图形，添加一定的条件，可以求出线段AB扫过的面积．（不再添加字母和辅助线，线段的长用a、b、c…表示，角的度数用α、β、γ…表示）．你添加的条件是　　　　　　，线段AB扫过的面积是　　　　　　．　24．如图，OA、OB是⊙O的半径且OA⊥OB，作OA的垂直平分线交⊙O于点C、D，连接CB、AB．求证：∠ABC=2∠CBO．　25．小明和小莉在跑道上进行100m短跑比赛，两人从出发点同时起跑，小明到达终点时，小莉离终点还差6m，已知小明和小莉的平均速度分别为xm/s、ym/s．（1）如果两人重新开始比赛，小明从起点向后退6m，两人同时起跑能否同时到达终点？若能，请求出两人到达终点的时间；若不能，请说明谁先到达终点．（2）如果两人想同时到达终点，应如何安排两人起跑位置？请设计两种方案．　26．（1）已知：如图，E、F、G、H分别是菱形ABCD的各边上与顶点均不重合的点，且AE=CF=CG=AH．求证：四边形EFGH是矩形．（2）已知：E、F、G、H分别是菱形ABCD的边AB、BC、CD、AD上与顶点均不重合的点，且四边形EFGH是矩形．AE与AH相等吗？如果相等，请说明理由；如果不相等，请举反例进行说明．22\n　27．△ABC中，AB=AC=10，BC=12，矩形DEFG中，EF=4，FG＞12．（1）如图①，点A是FG的中点，FG∥BC，将矩形DEFG向下平移，直到DE与BC重合为止．要研究矩形DEFG与△ABC重叠部分的面积，就要进行分类讨论，你认为如何进行分类，写出你的分类方法（无需求重叠部分的面积）．（2）如图②，点B与F重合，E、B、C在同一直线上，将矩形DEFG向右平移，直到点E与C重合为止．设矩形DEFG与△ABC重叠部分的面积为y，平移的距离为x．①求y与x的函数关系式，并写出自变量的取值范围；②在给定的平面直角坐标系中画出y与x的大致图象，并在图象上标注出关键点坐标．　　22\n2022年江苏省南京市鼓楼区中考数学二模试卷参考答案与试题解析　一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题纸相应位置上）1．下列剪纸作品都是轴对称图形．其中对称轴条数最多的作品是（　　）A．B．C．D．考点：轴对称图形．分析：根据对称轴的概念求解．解答：解：A、有3条对称轴；B、有4条对称轴；C、有2条对称轴；D、有6条对称轴．故选D．点评：本题考查了轴对称图形的知识，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．　2．下列算式结果为﹣3的是（　　）A．﹣|﹣3|B．（﹣3）0C．﹣（﹣3）D．（﹣3）﹣1考点：负整数指数幂；相反数；绝对值；零指数幂．分析：首先根据绝对值的含义和求法，一个数的相反数的求法，以及负整数指数幂、零指数幂的运算方法，求出每个选项中的数各是多少；然后判断出算式结果为﹣3的是哪个即可．解答：解：∵﹣|﹣3|=﹣3，（﹣3）0=1，﹣（﹣3）=3，（﹣3）﹣1=﹣，∴算式结果为﹣3的是﹣|﹣3|．故选：A．点评：（1）此题主要考查了负整数指数幂的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（1）a﹣p=（a≠0，p为正整数）；（2）计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算；（3）当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．（2）此题还考查了零指数幂的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（1）a0=1（a≠0）；（2）00≠1．（3）此题还考查了绝对值的含义和求法的应用，以及一个数的相反数的求法，要熟练掌握．　3．使分式有意义的x的取值范围是（　　）22\nA．x＞2B．x＜2C．x≠2D．x≥2考点：分式有意义的条件．分析：根据分式有意义的条件：分母不等于0即可求解．解答：解：根据题意得：x﹣2≠0，解得：x≠2．故选：C．点评：本题主要考查了分式有意义的条件，解决本题的关键是熟记分式有意义的条件：分母不等于0．　4．下列从左边到右边的变形，是因式分解的是（　　）A．（a﹣1）（a﹣2）=a2﹣3a+2B．a2﹣3a+2=（a﹣1）（a﹣2）C．（a﹣1）2+（a﹣1）=a2﹣aD．a2﹣3a+2=（a﹣1）2﹣（a﹣1）考点：因式分解的意义．专题：计算题．分析：利用因式分解的意义判断即可．解答：解：a2﹣3a+2=（a﹣1）（a﹣2）是因式分解．故选B点评：此题考查了因式分解的意义，熟练掌握因式分解的意义是解本题的关键．　5．下列命题中假命题是（　　）A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形B．两组对角分别相等的四边形是平行四边形C．一组对边平行一组对角相等的四边形是平行四边形D．一组对边平行一组对边相等的四边形是平行四边形考点：命题与定理．分析：要找出假命题，可以通过举反例得出；也可运用相关基础知识分析得出真命题，从而得出正确选项．解答：解：A、由平行四边形的判定定理可知是个真命题，错误；B、由平行四边形的判定定理可知是个真命题，错误；C、首先由两直线平行，同旁内角互补及等角的补角相等得出另一组对角相等，然后根据两组对角分别相等的四边形是平行四边形可知是个真命题，错误；D、例如等腰梯形，满足一组对边平行一组对边相等，但它不是平行四边形，所以是个假命题．正确．故选D．点评：主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．　6．对函数y=x3的描述：①y随x的增大而增大，②它的图象是中心对称图形，③它的自变量取值范围是x≠0．正确的是（　　）A．①②B．①③C．②③D．①②③考点：函数的图象；函数自变量的取值范围；中心对称图形．分析：①根据函数的增减性，可得答案；②根据中心对称图形的定义，可得答案；③根据立方的意义，可得答案．解答：解：①y=x3的增减性是y随x的增大而增大，故①正确；22\n②y=x3的图象绕原点旋转180°能与原图相重合，故②正确；③y=x3的自变量取值范围是全体实数，故③错误；故选：A．点评：本题考查了函数图象，熟悉函数图象及性质是解题关键．　二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题纸相应位置上）7．9的平方根是　±3　．考点：平方根．专题：计算题．分析：直接利用平方根的定义计算即可．解答：解：∵±3的平方是9，∴9的平方根是±3．故答案为：±3．点评：此题主要考查了平方根的定义，要注意：一个非负数的平方根有两个，互为相反数，正值为算术平方根．　8．一个多边形的每个外角都等于72°，则这个多边形的边数为　5　．考点：多边形内角与外角．分析：利用多边形的外角和360°，除以外角的度数，即可求得边数．解答：解：多边形的边数是：360÷72=5．故答案为：5．点评：本题考查了多边形的外角和定理，理解任何多边形的外角和都是360度是关键．　9．已知方程组的解为，则一次函数y=﹣x+1和y=2x﹣2的图象的交点坐标为　（1，0）　．考点：一次函数与二元一次方程（组）．分析：二元一次方程组是两个一次函数变形得到的，所以二元一次方程组的解，就是函数图象的交点坐标．解答：解：∵方程组的解为，∴一次函数y=﹣x+1和y=2x﹣2的图象的交点坐标为（1，0）．故答案为：（1，0）．点评：本题主要考查了函数解析式与图象的关系，满足解析式的点就在函数的图象上，在函数的图象上的点，就一定满足函数解析式．函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解．　10．计算（﹣）×的结果是　2　．22\n考点：二次根式的混合运算．分析：根据二次根式的混合运算顺序，首先计算小括号里面的，然后计算乘法，求出算式（﹣）×的结果是多少即可．解答：解：（﹣）×=（3﹣2）×=×=2即（﹣）×的结果是2．故答案为：2．点评：（1）此题主要考查了二次根式的混合运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式”．（2）此题还考查了平方根的性质和计算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．　11．已知x1、x2是一元二次方程x2+x=1的两个根，则x1x2=　﹣1　．考点：根与系数的关系．分析：直接利用根与系数的关系得到两根之积即可．解答：解：x2+x=1x2+x﹣1=0，由根与系数的关系可知：x1•x2==﹣1．故答案为：﹣1．点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：设方程的两根分别为x1，x2，则x1+x2=﹣，x1•x2=．　12．如果代数式2x+y的值是3，那么代数式7﹣6x﹣3y的值是　﹣2　．考点：代数式求值．分析：首先化简所给代数式7﹣6x﹣3y，然后把2x+y=3代入，求出代数式7﹣6x﹣3y的值是多少即可．解答：解：7﹣6x﹣3y=7﹣3（2x+y）=7﹣3×3=7﹣9=﹣2即代数式7﹣6x﹣3y的值是﹣2．故答案为：﹣2．点评：此题主要考查了代数式求值的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确三种题型：①已知条件不化简，所给代数式化简；②已知条件化简，所给代数式不化简；③已知条件和所给代数式都要化简．22\n　13．已知点A（2，y1）、B（m，y2）是反比例函数y=的图象上的两点，且y1＜y2．写出满足条件的m的一个值，m可以是　1　．考点：反比例函数图象上点的坐标特征．分析：由于y=在一、三象限，根据题意判定A、B在第一象限，根据反比例函数的性质即可求解．解答：解：由于y=在一、三象限，y随x的增大而减小，若满足y1＜y2，点A（2，y1）在第一象限，B（m，y2）在第一象限，若满足y1＜y2，则m满足的条件是0＜m＜2；故答案为1．点评：本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，要学会比较图象上任意两点函数的大小．　14．如图，∠1=70°，直线a平移后得到直线b，则∠2﹣∠3=　110　°．考点：平移的性质．分析：延长直线后根据平行线的性质和三角形的外角性质解答即可．解答：解：延长直线，如图：，∵直线a平移后得到直线b，∴a∥b，∴∠5=180°﹣∠1=180°﹣70°=110°，∵∠2=∠4+∠5，∵∠3=∠4，∴∠2﹣∠3=∠5=110°，故答案为：110．点评：此题考查平移问题，关键是根据平行线的性质和三角形的外角性质解答．22\n　15．已知等腰△ABC中，AB=AC=13cm，BC=10cm，则△ABC的内切圆半径为　　cm．考点：三角形的内切圆与内心；等腰三角形的性质．专题：计算题．分析：如图，设△ABC的内切圆半径为r，由勾股定理得AD=12，再由切线长定理得AE=8，根据勾股定理求得r即可．解答：解：如图，∵AB=AC=13cm，BC=10cm，∴BD=5cm，∴AD=12cm，根据切线长定理，AE=AB﹣BE=AB﹣BD=13﹣5=8，设△ABC的内切圆半径为r，∴AO=12﹣r，∴（12﹣r）2﹣r2=64，解得r=，故答案为．点评：本题考查了勾股定理、三角形的内切圆和等腰三角形的性质，是基础知识要熟练掌握．　16．如图，方格纸中有三个格点A、B、C，则sin∠ABC=　　．考点：勾股定理；锐角三角函数的定义．专题：网格型．分析：首先过点A作AD⊥BC于点D，连接AC，进而结合S△ABC得出AD的长，再利用锐角三角函数关系求出答案．解答：解：如图所示：过点A作AD⊥BC于点D，连接AC，22\n∵S△ABC=20﹣×2×5﹣×2×4﹣×1×4=9，S△ABC=×BC×AD=9，∴×2AD=9，解得：AD=，故sin∠ABC===．故答案为：．点评：此题主要考查了锐角三角函数关系以及勾股定理，得出直角三角形进而求出是解题关键．　三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（1）解方程组（2）解不等式2x﹣1≥，并把它的解集在数轴上表示出来．考点：解二元一次方程组；在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式．专题：计算题．分析：（1）法1：方程组利用代入消元法求出解即可；法2：方程组利用加减消元法求出解即可；（2）不等式去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，求出解集，表示在数轴上即可．解答：解：（1）解方程组法1：由①，得x=6﹣2y③，将③代入②，得3（6﹣2y）﹣2y=2，解这个一元一次方程，得y=2，将y=2代入③，得x=2，22\n则方程组的解是；法2：①+②，得4x=8，解这个一元一次方程，得x=2，将x=2代入①，得y=2，则方程组的解是，（2）去分母，得：2（2x﹣1）≥3x﹣1．去括号，得4x﹣2≥3x﹣1，移项、合并同类项，得x≥1，这个不等式的解集在数轴上表示如下：点评：此题考查了解二元一次方程组，以及解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．　18．某校八年级学生开展踢毽子比赛活动，每班派5名学生参加，按团体总数排列名次，在规定时间内每人踢100个以上（含100个）为优秀，下表是成绩最好的甲、乙两班各5名学生的比赛数据．（单位：个）1号2号3号4号5号总数甲班891009611897500乙班1009611090104500统计发现两班总数相等，此时有人建议，可以通过考查数据中的其他信息来评判．试从两班比赛数据的中位数、方差、优秀率三个方面考虑，你认为应该选定哪一个班为冠军？考点：方差；中位数．分析：平均数=总成绩÷学生人数；中位数是按次序排列后的第3个数．根据方差的计算公式得到数据的方差．解答：解：甲班5名学生比赛成绩的中位数是97个，乙班5名学生比赛成绩的中位数是100个；甲=×500=100（个），乙=×500=100（个）；S2甲=[（89﹣100）2+（100﹣100）2+（96﹣100）2+（118﹣100）2+（97﹣100）2]=94；S2乙=[（100﹣100）2+（96﹣100）2+（110﹣100）2+（90﹣100）2+（104﹣100）2]=46.4，甲班的优秀率为：2÷5=0.4=40%，乙班的优秀率为：3÷5=0.6=60%；乙班定为冠军．因为乙班5名学生的比赛成绩的中位数比甲班大，方差比甲班小，优秀率比甲班高，综合评定乙班踢毽子水平较好．点评：本题考查了方差，中位数的知识，用到的知识点是：将一组数据从小到大依次排列，把中间数据（或中间两数据的平均数）叫做中位数．平均数=总数÷个数，以及方差的算法等，需注意方差小了表示成绩稳定．　22\n19．如图是汽车加油站在加油过程中，加油器仪表某一瞬间的显示，请你结合图片信息，解答下列问题：（1）加油过程中的常量是　单价　，变量是　数量、金额　；（2）请用合适的方式表示加油过程中变量之间的关系．考点：函数关系式；常量与变量．分析：（1）根据常量和变量的定义，即可解答；（2）根据金额=单价×数量，即可列出．解答：（1）加油过程中的常量是单价，变量是数量、金额；故答案为：单价，数量、金额．（2）设加油数量是x升，金额是y元，则y=6.80x．点评：主要考查了函数的定义和列函数关系式．函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，x叫自变量．　20．在一个不透明的袋子中，放入除颜色外其余都相同的1个白球、2个黑球、3个红球．搅匀后，从中随机摸出2个球．（1）请列出所有可能的结果：（2）求每一种不同结果的概率．考点：列表法与树状图法．分析：（1）用枚举法将所有等可能的结果列举出来即可，也可采用列表或树形图的方法将所有等可能的结果列举出来；（2）确定每一种不同结果的数量，利用概率公式求解即可．解答：解：（1）搅匀后，从中随机摸出2个球，所有可能的结果有15个，即：（白，黑1），（白，黑2），（白，红1），（白，红2），（白，红3），（黑1，黑2），（黑1，红1），（黑1，红2），（黑1，红3），（黑2，红1），（黑2，红2），（黑2，红3），（红1，红2），（红1，红3），（红2，红3）．它们是等可能的．（2）其中摸得一个白球和一个黑球的结果有2个，摸得一个白球和一个红球的结果有3个，摸得二个黑球的结果有1个，摸得一个黑球和一个红球的结果有6个，摸得二个红球的结果有3个．所以P（摸得一个白球和一个黑球）=，P（摸得一个白球和一个红球）==，22\nP（摸得二个黑球）=，P（摸得一个黑球和一个红球）==，P（摸得二红球）==．点评：考查了概率的求法，能够利用枚举法将所有等可能的情况列举出来是解答本题的关键，难度不大．　21．某纪念币从2022年11月11日起开始上市，通过市场调查得知该纪念币每1枚的市场价y（单位：元）与上市时间x（单位：天）的数据如下：上市时间x天41036市场价y元905190（1）根据上表数据，在某一特定时期内，可从下列函数中选取一个恰当的函数描述纪念币的市场价y与上市时间x的变化关系：①y=ax+b（a≠0）；②y=a（x﹣h）2+k（a≠0）；③y=（a≠0）．你可选择的函数的序号是　②　．（2）利用你选取的函数，求该纪念币上市多少天时市场价最低，最低价格是多少？考点：二次函数的应用．分析：（1）根据市场价y（单位：元）与上市时间x（单位：天）的数据，逐一判断出可选择的函数的序号是哪个即可．（2）根据二次函数最值的求法，求出该纪念币上市多少天时市场价最低，最低价格是多少即可．解答：解：（1）①设纪念币的市场价y与上市时间x的变化关系是y=ax+b时，则，解得．∴y=﹣6.5x+116，∵﹣6.5×36+116=﹣118≠90，∴纪念币的市场价y与上市时间x的变化关系不是y=﹣6.5x+116；②设纪念币的市场价y与上市时间x的变化关系是y=a（x﹣h）2+k（a≠0）时，则解得∴y=（x﹣20）2+26，22\n∴纪念币的市场价y与上市时间x的变化关系是y=（x﹣20）2+26．③4×90=360，10×51=510，36×90=3240，∵360≠510≠3240，∴纪念币的市场价y与上市时间x的变化关系不是y=（a≠0）．∴选择的函数的序号是②．（2）∵y=（x﹣20）2+26，∴当x=20时，y有最小值26，∴该纪念币上市20天时市场价最低，最低价格为26元．答：该纪念币上市20天时市场价最低，最低价格为26元．点评：此题注意考查了二次函数的应用，要熟练掌握，解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．　22．三角形中有3个角、3条边共6个元素，由其中的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解三角形．已知△ABC中，AB=，∠B=45°，BC=1+，解△ABC．考点：解直角三角形．分析：过点A作AD⊥BC，垂足为D，解直角三角形求出BD、AD，求出CD，解直角三角形求出∠C，AC，即可求出答案．解答：解：过点A作AD⊥BC，垂足为D，在Rt△ADB中，∠ADB=90°，∠B=45°，AB=，则cos∠B=．∴AD=BD=AB×cos45°=×cos45°=1，在Rt△ADC中，∠ADC=90°，CD=BC﹣BD=1+﹣1=，则tan∠C===，∴∠C=30°，∴AC==2，∠BAC=180°﹣45°﹣30°=105°．22\n点评：本题考查了解直角三角形，勾股定理，特殊角的三角函数值的应用，能求出各个角的度数和求出各个边的长是解此题的关键，难度适中．　23．如图，线段AB绕点O顺时针旋转一定的角度得到线段A1B1．（1）请用直尺和圆规作出旋转中心O（不写作法，保留作图痕迹）；（2）连接OA、OA1、OB、OB1，根据旋转的性质用符号语言写出2条不同类型的正确结论；（3）针对第（2）问中的图形，添加一定的条件，可以求出线段AB扫过的面积．（不再添加字母和辅助线，线段的长用a、b、c…表示，角的度数用α、β、γ…表示）．你添加的条件是　∠AOA1=∠BOB1=α；OA=OA1=a；OB=OB1=b　，线段AB扫过的面积是　　．考点：作图-旋转变换；扇形面积的计算．分析：（1）分别连接AA1，BB1，分别作其垂直平分线，交点即为旋转中心O；（2）根据图形写出2条不同类型的结论；（3）首先添加一定条件，然后求出线段AB扫过的面积．解答：解：（1）作图如右；（2）如：OA=OA1，∠AOA1=∠BOB1等；（3）添加的条件为：∠AOA1=∠BOB1=α；OA=OA1=a；OB=OB1=b．面积为﹣=（b2﹣a2）．22\n点评：本题主要考查了作图﹣旋转变换以及扇形面积的计算的知识，解答本题的关键是找出旋转中心，正确地画出旋转图形是求线段AB扫过面积的基础，此题难度不大．　24．（6分）（2022•南京二模）如图，OA、OB是⊙O的半径且OA⊥OB，作OA的垂直平分线交⊙O于点C、D，连接CB、AB．求证：∠ABC=2∠CBO．考点：圆周角定理；线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质．专题：证明题．分析：连接OC、AC，如图，根据线段垂直平分线的性质得OC=AC，则可判断△OAC是等边三角形，所以∠AOC=60°，于是根据圆周角定理得到∠ABC=∠AOC=30°，然后在△BOC中，由于∠BOC=∠AOC+∠AOB=150°，根据三角形内角和可计算出∠CBO=15°，所以∠ABC=2∠CBO．解答：证明：连接OC、AC，如图，∵CD垂直平分OA，∴OC=AC．∴OC=AC=OA，∴△OAC是等边三角形，∴∠AOC=60°，∴∠ABC=∠AOC=30°，在△BOC中，∠BOC=∠AOC+∠AOB=150°，∵OB=OC，∴∠CBO=15°，∴∠ABC=2∠CBO．点评：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了线段垂直22\n平分线的性质和等边三角形的判定与性质．　25．小明和小莉在跑道上进行100m短跑比赛，两人从出发点同时起跑，小明到达终点时，小莉离终点还差6m，已知小明和小莉的平均速度分别为xm/s、ym/s．（1）如果两人重新开始比赛，小明从起点向后退6m，两人同时起跑能否同时到达终点？若能，请求出两人到达终点的时间；若不能，请说明谁先到达终点．（2）如果两人想同时到达终点，应如何安排两人起跑位置？请设计两种方案．考点：分式方程的应用．分析：（1）首先得出两人之间的速度之间关系，进而利用小明从起点向后退6m，得出两人的速度差，求出即可；（2）利用两人的速度关系得出符合题意的方案．解答：解：（1）根据题意，得=，则y=x．因为﹣=﹣=﹣＜0，所以＜所以小明先到达终点．（2）方案一：小明在起点，小莉在起点前6米处，两人同时起跑，同时到达；方案二：设小莉在起点，小明在起点后a米处，两人同时起跑，同时到达．则=，即=，解得a=．所以小莉在起点，小明在起点后米处，两人同时起跑，同时到达．点评：此题主要考查了分式方程的应用以及行程问题的相关的知识点；判断出两人的速度之比是解决本题的突破点．26．（1）已知：如图，E、F、G、H分别是菱形ABCD的各边上与顶点均不重合的点，且AE=CF=CG=AH．求证：四边形EFGH是矩形．（2）已知：E、F、G、H分别是菱形ABCD的边AB、BC、CD、AD上与顶点均不重合的点，且四边形EFGH是矩形．AE与AH相等吗？如果相等，请说明理由；如果不相等，请举反例进行说明．22\n考点：菱形的性质；全等三角形的判定与性质；矩形的判定．分析：（1）首先利用菱形的性质得到∠A=∠C，∠B=∠D，AB=BC=CD=DA，然后根据AE=AH=CF=CG，得到BE=BF=DH=DG，从而证得△AEH≌△CGF，△BEF≌△DGH，证得四边形EFGH是平行四边形，然后利用有一个角是直角的平行四边形是矩形判定四边形EFGH是矩形．（2）如图，m、n是经过菱形对角线交点且与对边垂直的2条直线，由于四边形EFGH是矩形，显然，AE与AH不相等．解答：（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴∠A=∠C，∠B=∠D，AB=BC=CD=DA∵AE=AH=CF=CG，∴BE=BF=DH=DG，在△AEH与△CGF中，．∴△AEH≌△CGF，同理△BEF≌△DGH，∴EH=FG，EF=GH，∴四边形EFGH是平行四边形，∵∠A+∠D=180°，∴∠AHE+∠DHG=90°，∴∠EHG=90°，∴四边形EFGH是矩形；（2）如图，m、n是经过菱形对角线交点且与对边垂直的2条直线，交AB于P，交AD于Q，由（1）知，△AEH≌△CGF，△BEF≌△DGH，显然，AE与AH不相等．故AE和AH不一定相等．22\n点评：本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，牢固掌握定理是解题的关键．　27．△ABC中，AB=AC=10，BC=12，矩形DEFG中，EF=4，FG＞12．（1）如图①，点A是FG的中点，FG∥BC，将矩形DEFG向下平移，直到DE与BC重合为止．要研究矩形DEFG与△ABC重叠部分的面积，就要进行分类讨论，你认为如何进行分类，写出你的分类方法（无需求重叠部分的面积）．（2）如图②，点B与F重合，E、B、C在同一直线上，将矩形DEFG向右平移，直到点E与C重合为止．设矩形DEFG与△ABC重叠部分的面积为y，平移的距离为x．①求y与x的函数关系式，并写出自变量的取值范围；②在给定的平面直角坐标系中画出y与x的大致图象，并在图象上标注出关键点坐标．考点：几何变换综合题．分析：（1）从重叠部分的形状看分为2类，即三角形和四边形（梯形）；也可从数量的角度来分类，设平移的距离为x．分为0＜x≤4，4＜x≤8，8＜x≤12三类等；（2）①分类讨论：当0≤x≤4时；当4＜x≤6时；当6＜x≤10时；当10＜x≤12时；当12＜x≤16时，分别求出函数解析式；②根据函数解析式，画出函数图象．解答：解：（1）从重叠部分的形状看分为2类，即三角形和四边形（梯形）；也可从数量的角度来分类，设平移的距离为x．分为0＜x≤4，4＜x≤8，8＜x≤12三类等；（2）①当0≤x≤4时，y=x2；当4＜x≤6时，y=x﹣；22\n当6＜x≤10时，y=﹣（x﹣8）2+；当10＜x≤12时，y=﹣x+；当12＜x≤16时，y=（16﹣x）2．②如图：点评：本题考查了图形的平移、求函数解析式，解决本题的关键是在（2）中平移的距离进行分类讨论．　22