江苏省南通市2022年中考数学二模试卷（解析版） 苏科版

江苏省南通市2022年中考数学二模试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填在题前括号内．1．（3分）（2022•南通二模）﹣2的绝对值是（　　）　A．﹣B．﹣2C．D．2考点：绝对值．分析：根据绝对值的定义：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．则﹣2的绝对值就是表示﹣2的点与原点的距离．解答：解：|﹣2|=2，故选：D．点评：此题主要考查了绝对值，关键是掌握：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．　2．（3分）（2022•南通二模）下面的计算正确的是（　　）　A．3x2•4x2=12x2B．x3•x5=x15C．x4÷x=x3D．（x5）2=x7考点：同底数幂的除法；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方；单项式乘单项式．.专题：计算题．分析：根据单项式的乘法、同底数幂的乘法和除法、幂的乘方等知识点进行判断．解答：解：A、3x2•4x2=12x4，故本选项错误；B、x3•x5=x8，故本选项错误；C、正确；D、（x5）2=x10，故本选项错误．故选C．点评：本题考查了单项式的乘法、同底数幂的乘法和除法、幂的乘方等多个运算性质，需同学们熟练掌握．　3．（3分）（2022•南通二模）某同学在“百度”搜索引擎中输入“魅力南通”，能搜索到与之相关的结果是3930000，这个数用科学记数法表示为（　　）　A．0.393×107B．393×104C．39.3×105D．3.93×106考点：科学记数法—表示较大的数．.分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．解答：解：将3930000用科学记数法表示为3.93×106．故选D．点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．　4．（3分）（2022•南通二模）一个多边形的内角和是900°，则这个多边形的边数是（　　）22\n　A．6B．7C．8D．9考点：多边形内角与外角．.专题：计算题．分析：本题根据多边形的内角和定理和多边形的内角和等于900°，列出方程，解出即可．解答：解：设这个多边形的边数为n，则有（n﹣2）180°=900°，解得：n=7，∴这个多边形的边数为7．故选B．点评：本题主要考查多边形的内角和定理，解题的关键是根据已知等量关系列出方程从而解决问题．　5．（3分）（2022•南通二模）如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为（　　）　A．B．C．D．考点：锐角三角函数的定义；勾股定理．.专题：压轴题；网格型．分析：利用网格构造直角三角形，根据锐角三角函数的定义解答．解答：解：如图：连接CD交AB于O，根据网格的特点，CD⊥AB，在Rt△AOC中，CO==；AC==；则sinA===．故选B．点评：本题考查了锐角三角函数的定义和勾股定理，作出辅助线CD并利用网格构造直角三角形是解题的关键．　22\n6．（3分）（2022•南通二模）如图，A、B、C、D是⊙O上的四点，OA⊥BC，∠AOB=50°，则∠ADC的度数是（　　）　A．25°B．30°C．40°D．50°考点：圆周角定理；垂径定理．.分析：由OA⊥BC，根据垂径定理，可求得=，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得∠ADC的度数．解答：解：∵OA⊥BC，∴=，∵∠AOB=50°，∴∠ADC=∠AOB=25°．故选A．点评：此题考查了圆周角定理与垂径定理．此题比较简单，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半与垂直弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧定理的应用．　7．（3分）（2022•南通二模）如图所示的工件的主视图是（　　）　A．B．C．D．考点：简单组合体的三视图．.分析：主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、侧面和上面看，所得到的图形，本题找到从正面看所得到的图形即可．解答：解：从物体正面看，看到的是一个横放的矩形，且一条斜线将其分成一个直角梯形和一个直角三角形．故选B．点评：本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图，解答时学生易将三种视图混淆而错误的选其它选项，难度适中．　22\n8．（3分）（2022•南通二模）某鞋店一天中卖出运动鞋11双，其中各种尺码的鞋的销售量如下表：尺码（cm）23.52424.52525.5销售量（双）12251则这11双鞋的尺码组成的一组数据中，众数和中位数分别是（　　）　A．25，25B．24.5，25C．25，24.5D．24.5，24.5考点：众数；中位数．.专题：计算题；压轴题．分析：找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．解答：解：从小到大排列此数据为：23.5、24、24、24.5、24.5、25、25、25、25、25、26，数据25出现了五次最多为众数．25处在第6位为中位数．所以中位数是25，众数是25．故选A．点评：本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数和众数的能力．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求．如果是偶数个则找中间两位数的平均数．　9．（3分）（2022•南通二模）下列轴对称图形中，只用一把无刻度的直尺不能画出对称轴的是（　　）　A．菱形B．矩形C．等腰梯形D．正五边形考点：轴对称图形．.专题：常规题型．分析：针对各图形的对称轴，对各选项分析判断后利用排除法求解．解答：解：A、菱形，对角线所在的直线即为对称轴，可以用直尺画出，故本选项错误；B、矩形，对边中点的所在的直线，只用一把无刻度的直尺无法画出，故本选项正确；C、等腰梯形，延长两腰相交于一点，作两对角线相交于一点，根据等腰梯形的对称性，过这两点的直线即为对称轴，故本选项错误；D、正五边形，作一条对角线把正五边形分成一等腰三角形与以等腰梯形，根据正五边形的对称性，过等腰三角形的顶点与梯形的对角线的交点的直线即为对称轴，故本选项错误．故选B．点评：本题主要考查了轴对称图形的对称轴，熟练掌握常见多边形的对称轴是解题的关键．　10．（3分）（2022•南通二模）如图，已知在Rt△ABC中，AB=AC=2，在△ABC内作第一个内接正方形DEFG；然后取GF的中点P，连接PD、PE，在△PDE内作第二个内接正方形HIKJ；再取线段KJ的中点Q，在△QHI内作第三个内接正方形…依次进行下去，则第n个内接正方形的边长为（　　）22\n　A．B．C．D．考点：相似三角形的判定与性质；正方形的性质．.专题：规律型．分析：首先根据勾股定理得出BC的长，进而利用等腰直角三角形的性质得出DE的长，再利用锐角三角函数的关系得出==，即可得出正方形边长之间的变化规律，得出答案即可．解答：解：∵在Rt△ABC中，AB=AC=2，∴∠B=∠C=45°，BC==2，∵在△ABC内作第一个内接正方形DEFG；∴EF=EC=DG=BD，∴DE=BC，∴DE=，∵取GF的中点P，连接PD、PE，在△PDE内作第二个内接正方形HIKJ；再取线段KJ的中点Q，在△QHI内作第三个内接正方形…依次进行下去，∴==，∴HI=DE=（）2﹣1×，则第n个内接正方形的边长为：×（）n﹣1．故选：B．点评：此题主要考查了正方形的性质以及数字变化规律和勾股定理等知识，根据已知得出正方形边长的变化规律是解题关键．　二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．请把最后结果填在题中横线上．11．（3分）（2022•南通二模）计算：=　﹣3　．22\n考点：立方根．.专题：计算题．分析：根据（﹣3）3=﹣27，可得出答案．解答：解：=﹣3．故答案为：﹣3．点评：此题考查了立方的知识，属于基础题，注意立方根的求解方法，难度一般．　12．（3分）（2022•南通二模）将一直角三角板与两边平行的纸条如图所示放置，若∠1=53°，则∠2=　37　度．考点：平行线的性质；余角和补角．.专题：计算题．分析：由两直线平行，同位角相等、平角和直角的定义，可求得∠2的度数．解答：解：由题意可得，a∥b，∠4=90°，∴∠3=∠1=53°，∴∠2=180°﹣53°﹣90°=37°．点评：此题主要考查平行线的性质：两直线平行，同位角相等，同时考查了平角和直角的定义．　13．（3分）（2022•南通二模）若分式的值为0，则x的值是　2　．考点：分式的值为零的条件．.专题：计算题．分析：根据分式的值为0，即分母不为0，分子为0得到x﹣2=0，且x+2≠0，求出x即可．解答：解：∵分式的值为0，∴x﹣2=0，且x+2≠0，∴x=2．故答案为：2．点评：本题考查了分式的值为0的条件：分式的值为0，要满足分母不为0，分子为0．也考查了解方程和不等式．　22\n14．（3分）（2022•南通二模）一个圆锥的母线长为4，侧面积为12π，则这个圆锥的底面圆的半径是　3　．考点：圆锥的计算．.分析：根据圆锥的侧面积=底面半径×母线长×π，进而求出即可．解答：解：∵母线为4，设圆锥的底面半径为x，∴圆锥的侧面积=π×4×x=12π．解得：x=3．故答案为：3．点评：本题考查了圆锥的计算，熟练利用圆锥公式求出是解题关键．　15．（3分）（2022•南通二模）如图，函数y=2x和y=ax+5的图象相交于A（m，3），则不等式2x＜ax+5的解集为　x＜　．考点：一次函数与一元一次不等式．.专题：探究型．分析：先把点A（m，3）代入函数y=2x求出m的值，再根据函数图象即可直接得出结论．解答：解：∵点A（m，3）在函数y=2x的图象上，∴3=2m，解得m=，∴A（，3），由函数图象可知，当x＜时，函数y=2x的图象在函数y=ax+5图象的下方，∴不等式2x＜ax+5的解集为：x＜．故答案为：x＜．点评：本题考查的是一次函数与一元一次不等式，能利用数形结合求出不等式的解集是解答此题的关键．　16．（3分）（2022•南通二模）设m，n是方程x2﹣x﹣2022=0的两个实数根，则m2+n的值为　2022　．考点：根与系数的关系；一元二次方程的解．.分析：利用一元二次方程解的定义，将x=m代入已知方程求得m2=m+2022；然后根据根与系数的关系知m+n=1；最后将m2、m+n的值代入所求的代数式求值即可．22\n解答：解：∵m，n是方程x2﹣x﹣2022=0的两个实数根，∴m2﹣m﹣2022=0，即m2=m+2022；∵m+n=1，∴m2+n=m+n+2022=1+2022=2022；故答案为：2022．点评：本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的解．正确理解一元二次方程的解的定义是解题的关键．　17．（3分）（2022•南通二模）如图，已知正方形ABCD的边长为2，对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAC交BD于点E，则BE的长为　　．考点：角平分线的性质；等腰直角三角形；正方形的性质．.分析：过E作EM⊥AB于M，根据正方形性质得出AO⊥BD，AO=OB=OC=OD，由勾股定理得出2AO2=22，求出AO=OB=，在Rt△BME中，由勾股定理得：2ME2=BE2，求出即可．解答：解：过E作EM⊥AB于M，∵四边形ABCD是正方形，∴AO⊥BD，AO=OB=OC=OD，则由勾股定理得：2AO2=22，AO=OB=，∵EM⊥AB，BO⊥AO，AE平分∠CAB，∴EM=EO，由勾股定理得：AM=AO=，∵正方形ABCD，∴∠MBE=45°=∠MEB，∴BM=ME=OE，在Rt△BME中，由勾股定理得：2ME2=BE2，即2（﹣BE）2=BE2，BE=，故答案为：．22\n点评：本题考查了角平分线性质和正方形性质，勾股定理的应用，注意：角平分线上的点到线段两个端点的距离相等．　18．（3分）（2022•南通二模）如图，点A是双曲线y=在第一象限上的一动点，连接AO并延长交另一分支于点B，以AB为斜边作等腰Rt△ABC，点C在第二象限，随着点A的运动，点C的位置也不断的变化，但始终在一函数图象上运动，则这个函数的解析式为　y=﹣　．考点：反比例函数综合题．.专题：综合题．分析：连结OC，作CD⊥x轴于D，AE⊥x轴于E，设A点坐标为（a，），利用反比例函数的性质得到点A与点B关于原点对称，则OA=OB，再根据等腰直角三角形的性质得OC=OA，OC⊥OA，然后利用等角的余角相等可得到∠DCO=∠AOE，则根据“AAS”可判断△COD≌△OAE，所以OD=AE=，CD=OE=a，于是C点坐标为（﹣，a），最后根据反比例函数图象上点的坐标特征确定C点所在的函数图象解析式．解答：解：连结OC，作CD⊥x轴于D，AE⊥x轴于E，如图，设A点坐标为（a，），∵A点、B点是正比例函数图象与双曲线y=的交点，∴点A与点B关于原点对称，∴OA=OB∵△ABC为等腰直角三角形，∴OC=OA，OC⊥OA，∴∠DOC+∠AOE=90°，∵∠DOC+∠DCO=90°，∴∠DCO=∠AOE，∵在△COD和△OAE中22\n∴△COD≌△OAE（AAS），∴OD=AE=，CD=OE=a，∴C点坐标为（﹣，a），∵﹣•a=﹣4，∴点C在反比例函数y=﹣图象上．故答案为y=﹣．点评：本题考查了反比例函数的综合题：掌握反比例函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质；熟练运用三角形全等的判定与性质解决线段相等的问题．　三、解答题：本大题共10小题，共计96分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.19．（10分）（2022•南通二模）（1）计算：（﹣）0+cos30°﹣（）﹣1（2）解方程组：．考点：解二元一次方程组；实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．.专题：计算题．分析：（1）原式第一项利用零指数幂法则计算，第二项利用特殊角的三角函数值化简，第三项利用负指数幂法则计算，即可得到结果；（2）两方程相加消去y求出x的值，进而求出x的值，即可得到方程组的解．解答：解：（1）原式=1+2×﹣5=1+3﹣5=﹣1；（2）①+②得：6x=12，解得：x=2，22\n将x=2代入①得：2+3y=8，解得：y=2，则方程组的解为．点评：此题考查了解二元一次方程组，以及实数的运算，利用了消去的思想，消去的方法有：加减消去法与代入消元法．　20．（8分）（2022•南通二模）化简分式÷﹣1，并选取一个你认为合适的整数a代入求值．考点：分式的化简求值．.分析：原式第一项利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，约分后计算得到最简结果，将a=1代入计算即可求出值．解答：解：原式=•﹣1=﹣1=，当a=1时，原式=2．点评：此题考查了分式的化简求值，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式．　21．（9分）（2022•南通二模）小敏为了解本市的空气质量情况，从环境监测网随机抽取了若干天的空气质量情况作为样本进行统计，绘制了如图所示的条形统计图和扇形统计图（部分信息未给出）．请你根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）计算被抽取的天数；（2）请补全条形统计图，并求扇形统计图中表示优的扇形的圆心角度数；（3）请估计该市这一年（365天）达到优和良的总天数．考点：条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．.分析：（1）根据扇形图中空气为良所占比例为64%，条形图中空气为良的天数为32天，即可得出被抽取的总天数；（2）利用轻微污染天数是50﹣32﹣8﹣3﹣1﹣1=5天；表示优的圆心角度数是22\n360°=57.6°，即可得出答案；（3）利用样本中优和良的天数所占比例得出一年（365天）达到优和良的总天数即可．解答：解：（1）∵扇形图中空气为良所占比例为64%，条形图中空气为良的天数为32天，∴被抽取的总天数为：32÷64%=50（天）；（2）轻微污染天数是50﹣32﹣8﹣3﹣1﹣1=5天；表示优的圆心角度数是360°=57.6°，如图所示：；（3）∵样本中优和良的天数分别为：8，32，∴一年（365天）达到优和良的总天数为：×365=292（天）．∴估计该市一年达到优和良的总天数为292天．点评：本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．　22．（8分）（2022•南通二模）如图，AB与⊙O相切于点C，OA=OB．（1）如图①，若⊙O的直径为8cm，AB=10cm，求OA的长（结果保留根号）；（2）如图②，OA、OB与⊙O分别交于点D、E，连接CD、CE，若四边形ODCE为菱形，求的值．22\n考点：切线的性质；菱形的性质．.分析：（1）连接OC，求出AC、BC的值，根据勾股定理求出AO即可；（2）连接OC，求出等边三角形DCO，求出∠DOC=60°，求出∠A=30°，得出AO=2OC=2OD，即可得出答案．解答：解：（1）连接OC，AB切⊙O于C，∴OC⊥AB，∵OA=OB，AB=10cm∴AC=BC=AB=5cm，在Rt△ACO中，OC=×8cm=4cm，AC=5cm，由勾股定理得：OA==（cm）；（2）解：∵四边形ODCE为菱形，∴DC=DO=OC，∴△DOC是等边三角形，∴∠DOC=∠DCO=60°，∵AB切⊙O于C，∴OC⊥AB，∴∠ACO=90°，∴∠A=30°，∴AO=2CO=2OD，∴==．点评：本题考查了切线的性质，含30度角的直角三角形性质，等边三角形的性质和判定，菱形的性质的应用，主要考查学生综合运用定理进行推理的能力．　23．（8分）（2022•南通二模）图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC的顶点和O点都在正方形的顶点上．（1）以点O为位似中心，在方格图中将△ABC放大为原来的2倍，得到△A′B′C′；（2）△A′B′C′绕点B′顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△A″B′C″，并求边A′B′在旋转过程中扫过的图形面积．22\n考点：扇形面积的计算；作图-旋转变换；作图-位似变换．.专题：网格型．分析：（1）连接AO、BO、CO并延长到2AO、2BO、2CO长度找到各点的对应点，顺次连接即可．（2）△A′B′C′的A′、C′绕点B′顺时针旋转90°得到对应点，顺次连接即可．A′B′在旋转过程中扫过的图形面积是一个扇形，根据扇形的面积公式计算即可．解答：解：（1）见图中△A′B′C′（4分）（直接画出图形，不画辅助线不扣分）（2）见图中△A″B′C″（8分）（直接画出图形，不画辅助线不扣分）S=π（22+42）=π•20=5π（平方单位）．（10分）点评：本题主要考查了位似图形及旋转变换作图的方法及扇形的面积公式．　24．（8分）（2022•南通二模）如图，某飞机于空中探测某座山的高度，在点A处飞机的飞行高度是AF=3700米，从飞机上观测山顶目标C的俯角是45°，飞机继续以相同的高度飞行300米到B处，此时观测目标C的俯角是50°，求这座山的高度CD．（参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.20）．22\n考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．.专题：应用题．分析：设EC=x，则在RT△BCE中，可表示出BE，在Rt△ACE中，可表示出AE，继而根据AB+BE=AE，可得出方程，解出即可得出答案．解答：解：设EC=x，在Rt△BCE中，tan∠EBC=，则BE==x，在Rt△ACE中，tan∠EAC=，则AE==x，∵AB+BE=AE，∴300+x=x，解得：x=1800，胡可的山高CD=DE﹣EC=3700﹣1800=1900（米）．答：这座山的高度是1900米．点评：此题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是两次利用三角函数的知识，求出BE及AE的表达式，属于基础题，要能将实际问题转化为数学计算．　25．（9分）（2022•南通二模）甲、乙两个袋中均装有三张除所标数值外完全相同的卡片，甲袋中的三张卡片上所标有的三个数值为﹣7，﹣1，3，乙袋中的三张卡片所标的数值为﹣2，1，6，先从甲袋中随机取出一张卡片，用x表示取出的卡片上的数值，再从乙袋中随机取出一张卡片，用y表示取出卡片上的数值．把x、y分别作为点A的横坐标和纵坐标．（1）用列表或画树形图的方法写出点A（x，y）的所有情况；（2）求点A落在直线y=2x上的概率．考点：列表法与树状图法；一次函数图象上点的坐标特征．.专题：计算题．分析：（1）列表得出所有等可能的情况即可；（2）找出点A坐标落在y=2x上的情况数，即可求出所求的概率．22\n解答：解：（1）列表如下：﹣7﹣13﹣2（﹣7，﹣2）（﹣1，﹣2）（3，﹣2）1（﹣7，1）（﹣1，1）（3，1）6（﹣7，6）（﹣1，6）（3，6）则所有等可能的情况有9种，分别为（﹣7，﹣2），（﹣7，1），（﹣7，6），（﹣1，﹣2），（﹣1，1），（﹣1，6），（3，﹣2），（3，1），（3，6）；（2）落在y=2x的点A坐标为（﹣1，﹣2），（3，6）共2种，则P=．点评：此题考查了列表法与树状图法，以及一次函数点的特征，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．　26．（10分）（2022•南通二模）甲、乙两组同时加工某种零件，乙组工作中有一次停产更换设备，更换设备后，乙组的工作效率是原来的2倍．两组各自加工零件的数量y（件）与时间x（时）的函数图象如图所示．（1）直接写出甲组加工零件的数量y与时间x之间的函数关系式　y=60x　；（2）求乙组加工零件总量a的值；（3）甲、乙两组加工出的零件合在一起装箱，每满300件装一箱，零件装箱的时间忽略不计，求经过多长时间恰好装满第1箱？考点：一次函数的应用．.分析：（1）利用待定系数法求一次函数解析式即可；（2）利用乙的原来加工速度得出更换设备后，乙组的工作速度即可；（3）首先利用当0≤x≤2时，当2＜x≤2.8时，以及当2.8＜x≤4.8时，当4.8＜x≤6时，求出x的值，进而得出答案即可，再假设出再经过x小时恰好装满第1箱，列出方程即可．解答：解：（1）∵图象经过原点及（6，360），∴设解析式为：y=kx，∴6k=360，解得：k=60，∴y=60x（0＜x≤6）；故答案为：y=60x（0＜x≤6）；22\n（2）乙2小时加工100件，∴乙的加工速度是：每小时50件，∴乙组在工作中有一次停产更换设备，更换设备后，乙组的工作效率是原来的2倍．∴更换设备后，乙组的工作速度是：每小时加工50×2=100件，a=100+100×（4.8﹣2.8）=300；（3）乙组更换设备后，乙组加工的零件的个数y与时间x的函数关系式为：y=100+100（x﹣2.8）=100x﹣180，当0≤x≤2时，60x+50x=300，解得：x=（不合题意舍去）；当2＜x≤2.8时，100+60x=300，解得：x=（不合题意舍去）；∵当2.8＜x≤4.8时，60x+100x﹣180=300，解得x=3，∴再经过3小时恰好装满第1箱．答：经过3小时恰好装满第一箱．点评：此题主要考查了一次函数的应用，根据题意得出函数关系式以及数形结合是解决问题的关键．　27．（12分）（2022•南通二模）如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4．动点P从点A出发沿AC向终点C运动，同时动点Q从点B出发沿BA向点A运动，到达A点后立刻以原来的速度沿AB返回．点P，Q运动速度均为每秒1个单位长度，当点P到达点C时停止运动，点Q也同时停止．连结PQ，设运动时间为t（t＞0）秒．（1）当点Q从B点向A点运动时（未到达A点），若△APQ∽△ABC，求t的值；（2）伴随着P，Q两点的运动，线段PQ的垂直平分线为直线l．①当直线l经过点A时，射线QP交AD边于点E，求AE的长；②是否存在t的值，使得直线l经过点B？若存在，请求出所有t的值；若不存在，请说明理由．考点：相似形综合题．.分析：（1）求出AC，根据△APQ∽△ABC得出方程，求出方程的解即可；（2）①根据线段垂直平分线得出AP=AQ，得出3﹣t=t，求出t=1.5，延长QP交AD于E，过Q作QO∥AD交AC于O，根据△AQO∽△ABC，求出AO=，QO=2，根据△APE∽△OPQ即可求出答案；②（i）当点Q从B向A运动时，直线l过B点，BQ=BP=AP=t，∠QBP=∠QAP，∠PBC=∠PCB，得出CP=AP=AC，代入求出即可；（ii）当点Q从A向B22\n运动时，直线l过B点，过P作PG⊥BC于G，根据△PGC∽△ABC求出PG=（5﹣t），CG=（5﹣t），由勾股定理得出方程（6﹣t）2=（t）2+[（5﹣t）]2，求出方程的解即可．解答：解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，∵AB=3，BC=4，由勾股定理得：AC=5，∵△APQ∽△ABC，∴=，∴=，t=；（2）①∵QP的垂直平分线过A，∴AP=AQ，∴3﹣t=t，t=1.5，∴AP=AQ=1.5，延长QP交AD于E，过Q作QO∥AD交AC于O，则QO∥BC，∴△AQO∽△ABC，∴==，∴AO=•AC=，QO=•BC=2，∴PO=AO﹣AP=1，∵QO∥AD，∴△APE∽△OPQ，∴=，∴AE=•OQ=3．②解：存在t的值，使得直线l经过点B，理由是：（i）如图2，当点Q从B向A运动时，直线l过B点，BQ=BP=AP=t，∠QBP=∠QAP，∵∠QBP+∠PBC=90°，∠QAP+∠PCB=90°，∴∠PBC=∠PCB，∴CP=BP=AP=t，22\n∴CP=AP=AC=×5=2.5，即t=2.5；（ii）如图3，当点Q从A向B运动时，直线l过B点，BP=BQ=3﹣（t﹣3）=6﹣t，AP=t，PC=5﹣t，过P作PG⊥BC于G，则PG∥AB，∴△PGC∽△ABC，∴==，∴PG=•AB=（5﹣t），CG=•BC=（5﹣t），由勾股定理得：BP2=BG2+PG2，∴（6﹣t）2=（t）2+[（5﹣t）]2，t=，存在t的值，使得直线l经过点B，t的值是2.5或．点评：本题考查了矩形性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理，线段垂直平分线性质，等腰三角形性质的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力，题目比较好，但是有一定的难度．　22\n28．（14分）（2022•南通二模）如图，二次函数y=﹣x2+mx+n的图象与y轴交于点N，其顶点M在直线y=﹣x上运动，O为坐标原点．（1）当m=﹣2时，求点N的坐标；（2）（如图1）当△MON为直角三角形时，求m、n的值；（3）（如图2）已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣4，2），B（﹣4，﹣3），C（﹣2，2），当抛物线y=﹣x2+mx+n在对称轴左侧的部分与△ABC的三边有公共点时，求m的取值范围．考点：二次函数综合题．.分析：（1）利用顶点式得出M点坐标，再利用顶点在直线y=﹣x上，得出m与n的关系，进而得出n的值，即可得出N点坐标；（2）若点M在第二象限时，△MON不可能为直角三角形，当点M在坐标原点时，△MON不存在，若点M在第四象限，当△MON为直角三角形时，显然只有∠OMN=90°，再利用△OMN∽△MHO，得出OM2=MH•ON，设M（m，﹣m），则MH=m，OM2=m2，而ON=﹣n，得出m2=m×（﹣n），又m2+n=﹣m求出n，m的值即可；（3）由（1）可知，y=﹣x2+mx﹣m2﹣m，当点A（﹣4，2）在该抛物线上时，﹣×（﹣4）2+4m﹣m2﹣m=2，求出m的值，再求出直线BC的解析式为：y=x+7，代入抛物线解析式得：x2+（5﹣2m）x+m2+3m+14=0，令△=0得m的值，进而得出m的取值范围．解答：解：（1）∵y=﹣（x﹣m）2+m2+n，∴抛物线顶点M坐标为：（m，m2+n），∵顶点在直线y=﹣x上，∴m2+n=﹣m，22\n当m=﹣2时，n=1，∴点N的坐标为：（0，1）；（2）若点M在第二象限时，△MON不可能为直角三角形，当点M在坐标原点时，△MON不存在，若点M在第四象限，当△MON为直角三角形时，显然只有∠OMN=90°，如图1，过点M在x轴的垂线，垂足为H，∵∠HOM+∠MON=90°，∠MON+∠ONM=90°，∴∠HOM=∠ONM，∵∠OHM=∠OMN=90°，∴△OMN∽△MHO，∴=，∴OM2=MH•ON，设M（m，﹣m），则MH=m，OM2=m2，而ON=﹣n，∴m2=m×（﹣n），即n=﹣m①，又m2+n=﹣m②，由①②解得：m=，n=﹣；（3）由（1）可知，y=﹣x2+mx﹣m2﹣m，当点A（﹣4，2）在该抛物线上时，﹣×（﹣4）2+4m﹣m2﹣m=2，整理得出：m2+11m+20=0，解得：m=，∵在对称轴的左侧，∴m只能取，∵B（﹣4，﹣3），C（﹣2，2），设直线BC的解析式为y=ax+b，则，解得：，22\n∴直线BC的解析式为：y=x+7，代入抛物线解析式得：x2+（5﹣2m）x+m2+3m+14=0，令△=0得，（5﹣2m）2﹣4（m2+3m+14）=0，解得：m=﹣，∴≤m≤﹣．点评：此题主要考查了二次函数的综合应用以及待定系数法求一次函数解析式和根的判别式等知识，熟练利用数形结合得出m的取值范围是解题关键．22