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八年级数学集合与简易逻辑复习题
八年级数学集合与简易逻辑复习题
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全国初中(初二)数学竞赛辅导第十七讲*集合与简易逻辑§17.1集合 我们考察某些事物的时候,常常要考虑由这些事物组成的群体,我们把这个群体叫作集合.组成某个集合的事物,叫作这个集合的元素.通常用大写字母A,B,C…等表示集合,小写字母a,b,c,…等表示元素.如果m是集合A的元素,就说m属于A,记作m∈A.如果n (i)你的家庭中所有成员组成一个集合,你和你的家庭中的其他各个成员都是这个集合中的元素. (ii)自然数全体1,2,3,…组成一个集合(通常把它叫作自然数集). (iii)如果A,B是平面上两个不同的点,那么A,B两点所确定的直线上的点组成一个集合,这条直线上每个点都是这个集合的元素. 总之,集合是数学中一个最基本、最常用的概念,下面进一步给同学们介绍一些关于集合的基本知识. 1.集合的描述方法 (1)列举法 当一个集合所含元素个数较少时,一个最简单的描述方法就是把它所含的每个元素都列举出来,这叫列举法.用列举法表示集合,通常是将这个集合的每个元素一一填写在{}中,每个元素之间用逗点隔开.填写集合的元素时,与元素的排列次序无关.例如: (i)由a,b,c,d,e五个小写字母组成的集合A,记作A={a,b,c,d,e}, 也可记作A={b,a,c,d,e). (ii)由小于40的质数组成的集合B,记作B={2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37}. (iii)平方等于1的有理数集合C,记作C={1,-1}. (iv)三条直线l1,l2,l3组成的集合D,记作D={l1,l2,l3}. (2)特征性质描述法 当一个集合所含元素较多时,用列举法描述很麻烦,这就要用到特征性质描述法. 所谓特征性质是指集合中元素的特征性质,即:(i)这个集合中每个元素都具有这些性质;(ii)具有这些性质的事物都是这个集合的元素. 例如,集合={1,-1}用特征性质描述法表示就是A={x│x2=1}, 或者A={x││x│=1}. 全体偶数组成的集合B,用特征性质描述法表示就是B={x│x是能被2整除的整数}, 或者B={2n│n是整数}. 全体奇数组成的集合C,用特征性质描述法表示就是C={x│x是不能被2整除的整数}, 或者C={2n+1│n是整数},C={2n-1│n是整数}. 一般地,用特征性质α表示集合A的形式是:A={x│x具有性质α}. 2.集合之间的关系和运算 (1)包含与子集 (i)你班上的同学的集合和你学校的同学的集合之间的关系是:前者是后者的子集,后者包含前者. (ii)设集合 例1设A={1,2,3,4},试写出A的所有子集. {1,3},{1,4},{2,3},{2,4},{3,4},{1,2,3},{1,2,4},{2,3,4},{1,3,4},{1,2,3,4}. (2)交集运算 对于给定的集合A,B,由它们的公共元素所构成的集合叫作集合A与B的交集.我们用A∩B表示A,B的交集(图2-88).例如 (i)如图2-89,设A={x│x是12的正因数},B={x│5<x<13,x是整数}, 则 A={1,2,3,4,6,12},B={6,7,8,9,10,11,12}. 所以A∩B={6,12}. (ii)设l1,l2是平面上两条不同的直线,则l1∩l2就是由它们的交点组成的集合. 如果l1与l2相交于一点P,则l1∩l2={P}(图2-90); (3)并集运算 对于给定的两个集合A,B,把它们所含的元素合并起来所构成的集合,叫作集合A,B的并集,我们用符号A∪B表示A,B的并集(图2-92).例如 (i)设M,N分别表示你班上男生、女生的集合,那么M∪N就是你班上同学的集合. (ii)设A={1,3,5,7,9},B={2,3,4,5,6}, 则A∪B={1,2,3,4,5,6,7,9}. 注意在求上述集合A,B的并集时,虽然在A,B中都有3和5,但在A∪B中,3,5只取一次. (iii)设E={x│x是实数,且x≥4}, F={x│x是实数,且x≤-4},G={x│x2≥16}. 则E∪F=G. 一般地说,如果α,β分别是集合A,B的特征性质,即 A={x│x具有性质α},B={x│x具有性质β},则A∪B就是那些具有性质α或性质β的元素组成的集合,也就是A∪B={x│x具有性质α或β}, 或者A∪B={x│x∈A或x∈B}. 例2设 A={x│x是12的正因数},B={x│x是18的正因数},C={x│0≤x≤5,且x∈Z}. 求:(1)A∩B∩C;(2)A∪B∪C. 解根据已知条件,用填文氏图各区域的元素的方法来解决(如图2-93(a),(b)). (1)A∩B∩C={1,2,3}; (2)A∪B∪C={0,1,2,3,4,5,6,9,12,18}. 例3设A={1,a,a2},B={1,a,b),假定A,B中的元素都是整数,并且A∩B={1,3},A∪B={1,a,2a,3a},求a,b的值. 解因为A={1,a,a2},B={1,a,b},所以A∩B={1,a}. 已知A∩B={1,3}.所以a=3.又由于 A∪B={1,a,b,a2}={1,a,2a,3a}={1,3,6,9},所以b=6. §17.2简易逻辑 逻辑一词是LOGIC的音译,它是研究思维法则的一门学科.数学和逻辑的关系非常密切,在此,对逻辑知识做一些初步介绍. 1.推出关系 如果设A={x│x是4的倍数},B={x│x是2的倍数},则A中元素具有性质α——4的倍数;B中元素具有性质β——2的倍数.我们知道:如果某元素x是4的倍数,那么x一定是2的倍数,即具有性质 一般地说,如果具有性质α的元素也具有性质β,我们便说由α推 下面再举一个例子. 2.命题和证明 (1)命题和逆命题 人们在思维活动中,经常要对客观事物做出判断.例如: (i)雪是白的; (ii)如果∠1和∠2是对顶角,那么∠1=∠2; (iii)3+4=6; 上述所列都是对客观事物做出判断的语句.人们对客观事物的情况做出判断可能是正确的(真),也可能是错误的(假).我们把肯定或否定的判断语句叫作命题.上述语句(i),(ii),(iii),(iv)都是命题. 关于命题的真假性,有些容易判断,如(i),(ii)是真命题,(iii)是假命题.但对(iv)的真假性就不是显然可判断的.可通过设x=1,y=0(x>y),那么 因此,命题(iv)为假命题(注意:证明一个命题为真命题,必须通过逻辑推演,但要证明一个命题为假命题只须举出一个反例即可). 数学命题具有多种形式,经常采用的命题形式是“若α,则β”,“如果α,那么β”. 命题“若α,则β”或是真命题,或是假命题,二者必居其一.“若 当由α不可能推出β时,“若α,则β”便是假命题. 在命题“若α,则β”中,α叫作这个命题的条件,β叫作这个命题的结论.如果将命题“若α,则β”的条件和结论互换,就得到一个新命题“若β,则α”,这两个命题之间具有互连关系,其中一个叫作原命题时,则另一个命题就叫作这个原命题的逆命题. 当“如果α,则β”为真命题时,它的逆命题“如果β,则α”不一定是真命题.例如: (i)“如果2×3=6,那么6÷3=2”是真命题.它的逆命题“如果6÷3=2,那么2×3=6”也是真命题. (ii)“若a=0并且b=0,则ab=0”是真命题,但它的逆命题“若ab=0,则a=0并且b=0”就不是真命题. (iii)“如果∠1,∠2是对顶角,那么∠1=∠2”是真命题,但它的逆命题“∠1=∠2,那么∠1,∠2是对顶角”就是假命题. (2)证明 我们要说明“若α,则β”是真命题时,以什么方式来推证呢?最常用的基本格式就是推出关系的传递性,即: 如果 那么 例如,(i)若 ∠1和∠2是对顶角,① 对顶角相等,② 则∠1=∠2.③ (ii)张三是人,① 凡人必有死,② 所以张三必有死.③ 上述推理格式叫作三段论式,推理中的①,②是两个前提条件,①叫小前提,②叫大前提,③是由①,②推出的结论. 实际上,三段论式和推出关系的传递性是一致的.例如“对顶角相等”的证明过程,可以像下面这样来理解. 已知:∠1是∠2的对顶角(图2-98),求证:∠1=∠2. 证 从上述证明过程可知,要证明“若α,则β”,我们先设法找出一 应用已经被确认的正确命题和已知条件作根据,经过推演,导出某一命题成立,这种方法就叫作演绎推理法(简称演绎法).演绎法是证明数学问题的重要方法. =a2+b2+c2 (a+b-c)2=a2+b2+c2. 例2某校数学竞赛,A,B,C,D,E,F,G,H八位同学获得了前八名,老师叫他们猜一下谁是第一名.A说:“或者F,或者H是第一名.”B说:“我是第一名.”C说:“G是第一名.”D说:“B不是第一名.”E说:“A说的不对.”F说:“我不是第一名.”G说:“C不是第一名.”H说:“我同意A的意见.”老师说八个人中有三人猜对了,那么试问第一名是谁? 分解与解由已知条件可知:A与H同真假,E与F同真假,B与D必定一真一假. (i)如果A与H猜对了,那么D与G也都猜对了.这样就有四人猜对,不合题意,因此,A与H必定都猜错了. (ii)如果E与F猜对了,即F与H都不是第一名,这时若B猜对了,那么D就猜错了,C也猜错了,G猜对了,这样,就有E,F,B,G四人猜对,也与题意不符.因此B猜的不对,D猜对了,这时已有E,F,D三人猜对,所以G,C都必定猜错了,所以C是第一名.练习十七 1.已知A={1,2,3,4,5},B={1,3,5,7},C={2,3,5,8},写出集合: (1)A∩B∩C;(2)A∪B∪C; (3)A∩(B∪C);(4)A∪(B∩C). 3.有某种产品100个,通过两种检查,第一种检查合格品有90个,第二种检查合格品有78个,两种检查都合格的有72个.试问这100个产品中,通过两种检查都不合格的产品有多少个? (1)a>0□│a│>0; (2)a=0且b=0□a2+b2=0; (3)(x-a)(x-b)=0□x=a或x=b; (4)如果α>1,β>2,γ>3,那么,α□γ,β□α,β□γ. 5.写出下列命题的逆命题,并指出其真假. (1)若a=b,则(a-b)2=0; (2)若a=b,则a2-b2=0; (3)若a≠b,则a2+b2>2ab; 6.已知3(a2+b2+c2)=(a+b+c)2,求证:a=b=c.本资料由《七彩教育网》www.7caiedu.cn提供!
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发布时间:2021-12-31 00:12:03
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