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火线100天四川专版2022年中考数学一轮复习专题五图形的折叠问题

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图形的折叠问题折叠(翻折)问题常常出现在三角形、四边形、圆等平面几何问题中,其实质是轴对称性质的应用.解题的关键利用轴对称的性质找到折叠前后不变量与变量,运用三角形的全等、相似及方程等知识建立有关线段、角之间的联系.类型1 三角形中的折叠问题       (2022·宜宾)如图,一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B,将△AOB沿直线AB翻折,得△ACB.若C(,),则该一次函数的解析式为________.【思路点拨】 利用翻折变换的性质结合锐角三角函数关系得出CO,AO的长,进而得出A、B两点的坐标,再利用待定系数法求出直线AB的解析式.【解答】 连接OC,过点C作CD⊥x轴于点D,∵将△AOB沿直线AB翻折,得△ACB,C(,),∴AO=AC,OD=,DC=,BO=BC,则tan∠COD==,故∠COD=30°,∠BOC=60°,∴△BOC是等边三角形,且∠CAD=60°.则sin60°=,则AC==1,故A(1,0),sin30°===.则CO=,故BO=,B点坐标为(0,),设直线AB的解析式为y=kx+,把A(1,0)代入解析式可得k=-.∴直线AB的解析式为y=-x+.折叠(翻折)意味着轴对称,会生成相等的线段和角,这样便于将条件集中.如果题目中有直角,则通常将条件集中于较小的直角三角形,利用勾股定理求解.1.(2022·绵阳)如图,D是等边△ABC边AB上的一点,且AD∶DB=1∶2,现将△ABC折叠,使点C与D重合,折痕为EF,点E,F分别在AC和BC上,则CE∶CF=()                6\nA.B.C.D.2.(2022·德阳)如图,△ABC中,∠A=60°,将△ABC沿DE翻折后,点A落在BC边上的点A′处.如果∠A′EC=70°,那么∠A′DE的度数为________.  3.(2022·宜宾)如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=3,BC=4,将△ABC折叠,使点B恰好落在边AC上,与点B′重合,AE为折痕,则EB′=________.4.(2022·滨州)如图,在平面直角坐标系中,将矩形AOCD沿直线AE折叠(点E在边DC上),折叠后顶点D恰好落在边OC上的点F处,若点D的坐标为(10,8),则点E的坐标为________.类型2 四边形及其他图形中的折叠问题                  (2022·南充)如图,在矩形纸片ABCD中,将△AMP和△BPQ分别沿PM和PQ折叠(AP>AM),点A和点B都与点E重合;再将△CQD沿DQ折叠,点C落在线段EQ上点F处.(1)判断△AMP,△BPQ,△CQD和△FDM中有哪几对相似三角形?(不需说明理由)(2)如果AM=1,sin∠DMF=,求AB的长.【思路点拨】 (1)由矩形的性质得∠A=∠B=∠C=90°,由折叠的性质和等角的余角相等,可得∠BPQ=∠AMP=∠DQC,所以△AMP∽△BPQ∽△CQD;(2)设AP=x,由折叠关系可得:BP=AP=EP=x,AB=DC=2x,AM=1,根据△AMP∽△BPQ得:=,即BQ=x2,根据△AMP∽△CQD得:=,即CQ=2,从而得出AD=BC=BQ+CQ=x2+2,MD=AD-AM=x2+2-1=x2+1,根据Rt△FDM中∠DMF的正弦值得出x的值,从而求出AB的值.【解答】 (1)有三对相似三角形,即△AMP∽△BPQ∽△CQD.理由如下:∵四边形ABCD是矩形,∴∠A=∠B=∠C=90°.根据折叠可知:∠APM=∠EPM,∠EPQ=∠BPQ,∴∠APM+∠BPQ=∠EPM+∠EPQ=90°.∵∠APM+∠AMP=90°,6\n∴∠BPQ=∠AMP,∴△AMP∽△BPQ,同理:△BPQ∽△CQD.∴△AMP∽△BPQ∽△CQD.(2)设AP=x,∴由折叠关系,BP=AP=EP=x,AB=DC=2x.由△AMP∽△BPQ得,=,即=,得BQ=x2.由△AMP∽△CQD得,=,即=,得CQ=2.∴AD=BC=BQ+CQ=x2+2.∴MD=AD-1=x2+1.∵在Rt△FDM中,sin∠DMF=,∴=.解得x1=3,x2=(不合题意,舍去).即AB=6.矩形中的一次折叠通常利用折叠性质和平行线性质求角的度数,或者利用折叠性质以及勾股定理求线段长度.矩形中的两次或多次折叠通常出现“一线三直角”的模型(如图),从而构造相似三角形,利用相似三角形求边或者角的度数.                1.(2022·南充)如图,把矩形ABCD沿EF翻折,点B恰好落在AD边的B′处,若AE=2,DE=6,∠EFB=60°,则矩形ABCD的面积是()A.12B.24C.12D.162.(2022·泸州)如图,在△ABC中,AB=AC,BC=24,tanC=2,如果将△ABC沿直线l翻折后,点B落在边AC的中点E处,直线l与边BC交于点D,那么BD的长为()A.13B.C.D.123.(2022·德阳)将抛物线y=-x2+2x+3在x轴上方的部分沿x轴翻折至x轴下方,图象的剩余部分不变,得到一个新的函数图象,那么直线y=x+b与此新图象的交点个数的情况有()A.6种B.5种C.4种D.3种4.(2022·成都)如图,在□ABCD中,AB=,AD=4,将ABCD沿AE翻折后,点B恰好与点C重合,则折痕AE的长为________.6\n5.(2022·内江)如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠C=90°,E为CD上一点,分别以EA,EB为折痕将两个角(∠D,∠C)向内折叠,点C,D恰好落在AB边的点F处.若AD=2,BC=3,则EF的长为________.6.(2022·南充)如图,有一矩形纸片ABCD,AB=8,AD=17,将此矩形纸片折叠,使顶点A落在BC边的A′处,折痕所在直线同时经过边AB、AD(包括端点),设BA′=x,则x的取值范围是________.7.(2022·绵阳)如图1,在矩形ABCD中,AB=4,AD=3,将矩形沿直线AC折叠,使点B落在点E处,AE交CD于点F,连接DE.(1)求证:△DEC≌△EDA;(2)求DF的值;(3)如图2,若P为线段EC上一动点,过点P作△AEC的内接矩形,使其顶点Q落在线段AE上,顶点M、N落在线段AC上,当线段PE的长为何值时,矩形PQMN的面积最大?并求出其最大值.6\n参考答案类型1 三角形中的折叠问题1.B 提示:∵△ABC为等边三角形,∴∠A=∠B=∠C=60°.又∵折叠△ABC,使得点C恰好与边AB上的点D重合,折痕为EF,∴∠EDF=∠C=60°,CE=DE,CF=DF.∴∠ADE+∠FDB=120°.∴∠AED=∠FDB.∴△AED∽△BDF.∴==.设等边△ABC边长为6个单位,CE=x,CF=y,AE=6-x,BC=6-y,∴==,解得x=,y=.∴x∶y=4∶5,故选择B.2.65° 3.1.5 4.(10,3)类型2 四边形及其他图形中的折叠问题1.D 2.A 3.B 提示:由题意,易知y=-x2+2x+3与x轴的两个交点坐标分别为(3,0)和(-1,0),顶点坐标为(1,4),顶点关于x轴对称点的坐标为(1,-4).当直线y=x+b过(-1,0)时,b=1,此时直线与新的函数图象只有一个交点;当b>1时,此时直线与新的函数图象无交点;当直线y=x+b过(3,0)时,b=-3,此时直线与新的函数图象有三个交点;观察图象,易知:当-3<b<1时,此时直线与新的函数图象有三个交点;当直线y=x+b过(1,-4)时,b=-5,此时直线与新的函数图象有三个交点;观察图象,易知:当-5≤b<-3时,此时直线与新的函数图象有四个交点;观察图象,易知:当b<-5时,此时直线与新的函数图象有二个交点;综上,直线y=x+b与此新图象的交点的个数的情况有5种,故选B. 4.3 5. 提示:作AH⊥BC于H.∵分别以AE,BE为折痕将两个角(∠D,∠C)向内折叠,点C,D恰好落在AB边的点F处,∴DE=EF,CE=EF,AF=AD=2,BF=CB=3.∴DC=2EF,AB=5.∵AD∥BC,∠C=90°,∴四边形ADCH为矩形,∴AH=DC=2EF,HB=BC-CH=BC-AD=1.在Rt△ABH中,AH==2,∴EF=. 6.2≤x≤8 7.(1)证明:由矩形的性质可知△ADC≌△CEA,∴AD=CE,DC=EA,∠ACD=∠CAE.在△CED与△ADE中,∴△DEC≌△EDA.(2)∵∠ACD=∠CAE,∴AF=CF.设DF=x,则AF=CF=4-x,在Rt△ADF中,AD2+DF2=AF2,即32+x2=(4-x)2,解得x=,即DF=.(3)由矩形PQMN的性质得PQ∥CA,∴=.又∵CE=3,AC==5.设PE=x(0<x<3),则=,即PQ=x.过E作EG⊥AC于G,则PN∥EG,∴=.又∵在Rt△AEC中,EG·AC=AE·CE,解得EG=.∴=,即PN=(3-x).设矩形PQMN的面积为S,则S=PQ·PN=-x2+4x=-(x-)2+3(0<x<3).6\n∴当x=,即PE=时,矩形PQMN的面积最大,最大面积为3.6

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发布时间:2022-08-25 20:05:55 页数:6
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文章作者:U-336598

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