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火线100天遵义专版2022中考数学总复习专题一图形的操作与变换
火线100天遵义专版2022中考数学总复习专题一图形的操作与变换
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图形的操作与变换类型之一 折叠与翻折问题 (2022·铜仁)如图,在矩形ABCD中,BC=6,CD=3,将△BCD沿对角线BD翻折,使点C落在C′处,BC′交AD于点E,则线段DE的长为( )A.3 B.C.5D.【思路点拨】 求DE的长可以转换为求BE的长,在Rt△ABE中,利用勾股定理可以求得.【解答】 ∵∠CBD=∠DBE,∠CBD=∠ADB,∴∠DBE=∠ADB.∴DE=BE.由矩形的性质得AB=CD=3,AD=BC=6.设DE的长为x,则AE=6-x.在Rt△ABE中,AB2+AE2=BE2,即32+(6-x)2=x2.解得x=,故选择B.图形的折叠与翻折都属于全等变换,即操作前后的两个图形是全等的,这就为解决问题提供了很多边、角相等的条件.另外折叠和翻折还是轴对称变换,解决问题时还可以运用轴对称的性质.1.(2022·安顺)如图,点O是矩形ABCD的中心,E是AB上的点,折叠后,点B恰好与点O重合,若BC=3,则折痕CE的长为( )A.2 B. C. D.62.(2022·黔东南)如图,在矩形ABCD中,AB=8,BC=16,将矩形ABCD沿EF折叠,使点C与点A重合,则折痕EF的长为( )A.6B.12C.2D.43.(2022·无锡)如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,将边AC沿CE翻折,使点A落在AB上的点D处;再将边BC沿CF翻折,使点B落在CD的延长线上的点B′处,两条折痕与斜边AB分别交于点E、F,则线段B′F的长为( )A.B.C.D. 7\n4.(2022·泸州)如图,在△ABC中,AB=AC,BC=24,tanC=2,如果将△ABC沿直线l翻折后,点B落在边AC的中点E处,直线l与边BC交于点D,那么BD的长为( )A.13B.C.D.125.(2022·黔西南)在数轴上截取从0到3的对应线段AB,实数m对应AB上的点M,如图1;将AB折成正三角形,使点A、B重合于点P,如图2;建立平面直角坐标系,平移此三角形,使它关于y轴对称,且点P的坐标为(0,2),PM的延长线与x轴交于点N(n,0),如图3,当m=时,n的值为( )A.4-2B.2-4C.-D.6.(2022·黔东南模拟)如图,四边形ABCD中,点M,N分别在AB,BC上,将△BMN沿MN翻折,得△FMN,若MF∥AD,FN∥DC,则∠B=________.7.如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=3,AC=5,点E在BC上,将△ABC沿AE折叠,使点B落在AC边上的点B′处,则BE的长为________.类型之二 图形旋转问题 (2022·黔南)两个长为2cm,宽为1cm的长方形,摆放在直线l上(如图1),CE=2cm,将长方形ABCD绕着点C顺时针旋转α角,将长方形EFGH绕着点E逆时针旋转相同的角度.(1)当旋转到顶点D、H重合时,连接AE、CG,求证:△AED≌△GCD(如图2);(2)当α=45°时(如图3),求证:四边形MHND为正方形.【思路点拨】 (1)由全等三角形的判定定理SAS证得:△AED≌△GCD(如图2);(2)通过判定四边形MHND四个角是90°,且邻边DN=NH来判定四边形MHND是正方形.【解答】 (1)如图2,∵由题意知,AD=GD,ED=CD,∠ADC=∠GDE=90°,∴∠ADC+∠CDE=∠GDE+∠CDE,即∠ADE=∠GDC.在△AED与△GCD中,7\n∴△AED≌△GCD(SAS).(2)如图3,∵α=45°,∠NCE=∠NEC=45°.∴CN=NE,∠CNE=90°.∴∠DNH=90°.∵∠D=∠H=90°,∴四边形MHND是矩形.∵CN=NE,∴DN=NH.∴矩形MHND是正方形.图形的旋转是全等变换,它只改变图形的位置而不改变图形的大小,它为三角形的全等或相似提供大量的边相等或角相等的条件.1.(2022·黔东南)如图,在△ABO中,AB⊥OB,OB=,AB=1.将△ABO绕O点旋转90°后得到△A1B1O,则点A1的坐标为( )A.(-1,)B.(-1,)或(1,-)C.(-1,-)D.(-1,-)或(-,-1) 2.(2022·遵义)将正方形ABCD绕点A按逆时针方向旋转30°,得正方形AB1C1D1,B1C1交CD于点E,AB=,则四边形AB1ED的内切圆半径为( )A.B.C.D.3.(2022·济宁)将一副三角尺(在Rt△ACB中,∠ACB=90°,∠B=60°;在Rt△EDF中,∠EDF=90°,∠E=45°)如图摆放,点D为AB的中点,DE交AC于点P,DF经过点C.将△EDF绕点D顺时针方向旋转角α(0°<α<60°),DE′交AC于点M,DF′交BC于点N,则的值为( )A.B.C.D.4.(2022·青岛)如图,平面直角坐标系的原点O是正方形ABCD的中心,顶点A,B的坐标分别为(1,1)、(-1,1),把正方形ABCD绕原点O逆时针旋转45°得到正方形A′B′C′D′,则正方形ABCD与正方形A′B′C′D′重叠部分形成的正八边形的边长为________.7\n5.(2022·六盘水)把边长为1的正方形纸片OABC放在直线m上,OA边在直线m上,然后将正方形纸片绕着顶点A按顺时针方向旋转90°,此时,点O运动到了点O1处(即点B处),点C运动到了点C1处,点B运动到了点B1处,又将正方形纸片AO1C1B1绕B1点,按顺时针方向旋转90°…,按上述方法经过4次旋转后,顶点O经过的总路程为________,经过61次旋转后,顶点O经过的总路程为________.6.(2022·汕尾)在Rt△ABC中,∠A=90°,AC=AB=4,D,E分别是边AB,AC的中点.若等腰Rt△ADE绕点A逆时针旋转,得到等腰Rt△AD1E1,设旋转角为α(0<α≤180°),记直线BD1与CE1的交点为P.(1)如图1,当α=90°时,线段BD1的长等于________;(直接填写结果)(2)如图2,当α=135°时,求证:BD1=CE1,且BD1⊥CE1;(3)求点P到AB所在直线的距离的最大值.(直接写出结果)(3)1+(四边形AD1PE1为正方形时,距离最大,此时PD1=2,PB=2+2).类型之三 利用轴对称求最短距离 (2022·六盘水)(1)观察发现如图1,若点A、B在直线m的同侧,在直线m上找一点P,使AP+BP的值最小,作法如下:作点B关于直线m的对称点B′,连接AB′,与直线m的交点就是所求的点P,线段AB′的长度即为AP+BP的最小值.如图2,在等边三角形ABC中,AB=2,点E是AB的中点,AD是高,在AD上找一点P,使BP+PE的值最小,作法如下:作点B关于AD的对称点,恰好与点C重合,连线CE交AD于一点,则这点就是所求的点P,故BP+PE的最小值为________.(2)实践运用如图3,已知⊙O的直径CD为2,的度数为60°,点B是的中点,在直径CD上作出点P,使BP+AP的值最小,则BP+AP的最小值为________.7\n(3)拓展延伸如图4,点P是四边形ABCD内一点,分别在边AB、BC上作出点M、点N,使PM+PN的值最小,保留作图痕迹,不写作法.【思路点拨】 (1)利用作法得到CE的长为BP+PE的最小值;由AB=2,点E是AB的中点,根据等边三角形的性质得到CE⊥AB,∠BCE=∠BCA=30°,BE=1,再根据含30°的直角三角形三边的关系得CE的长度.(2)过B点作弦BE⊥CD,连接AE交CD于P点,连接OB、OE、OA、PB,根据垂径定理得到CD平分BE,即点E与点B关于CD对称,则AE的长就是BP+AP的最小值.(3)分别作出点P关于AB和BC的对称点E和F,然后连接EF,EF交AB于M、交BC于N.【解答】 (1)CE的长为BP+PE的最小值.∵在等边三角形ABC中,AB=2,点E是AB的中点,∴CE⊥AB,∠BCE=∠BCA=30°,BE=1,∴CE=BE=.(2)如图5,过B作弦BE⊥CD,连接AE交CD于P点,连接OB、OE、OA、PB,∵BE⊥CD.∴CD平分BE,即点E与点B关于CD对称.∵的度数为60°,点B是的中点,∴∠BOC=30°,∠AOC=60°.∴∠EOC=30°.∴∠AOE=60°+30°=90°.∵OA=OE=1,∴AE=OA=.∴AE的长度就是BP+AP的最小值.(3)如图6.求两条线段之和的最小值,常常想到利用轴对称将两条线段的和转化为求两点之间的距离.1.(2022·安顺)如图,MN是半径为1的⊙O的直径,点A在⊙O上,∠AMN=30°,点B为劣弧AN的中点.点P是直径MN上一动点,则PA+PB的最小值为( )A.B.1C.2D.22.(2022·黔东南)在如图所示的平面直角坐标系中,点P是直线y=x上的动点,A(1,0),B(2,0)是x轴上的两点,则PA+PB的最小值为________.3.(2022·黔南)如图所示,正方形ABCD的边长是2,以正方形ABCD的边AB为边,在正方形内作等边三角形ABE7\n,P为对角线AC上的一点,则PD+PE的最小值为________.4.(2022·贵阳)如图,将一副直角三角板拼放在一起得到四边形ABCD,其中∠BAC=45°,∠ACD=30°,点E为CD边上的中点,连接AE,将△ADE沿AE所在直线翻折得到△AD′E,D′E交AC于F点.若AB=6cm.(1)AE的长为________cm;(2)试在线段AC上确定一点P,使得DP+EP的值最小,并求出这个最小值;求点D′到BC的距离.参考答案类型之一 折叠与翻折问题1.A 2.D 3.B 4.A 5.A 6.95° 7.类型之二 图形旋转问题1.B 2.B 3.C 4.2-2 5.π π 6.(1)2(2)证明:当α=135°时,由旋转可知∠D1AB=∠E1AC=135°.又∵AB=AC,AD1=AE1,∴△D1AB≌△E1AC.∴BD1=CE1且∠D1BA=∠E1CA.设直线BD1与AC交于点F,有∠BFA=∠CFP,∴∠CPF=∠FAB=90°.∴BD1⊥CE1.(3)1+(四边形AD1PE1为正方形时,距离最大,此时PD1=2,PB=2+2).类型之三 利用轴对称求最短距离1.A 2. 3.24.(1)4 (2)∵在Rt△ADC中,∠ACD=30°,∴∠ADC=60°.∵E为CD边上的中点,∴DE=AE.∴△ADE为等边三角形.∵将△ADE沿AE所在直线翻折得△AD′E,△AD′E为等边三角形,∠AED′=60°.∵∠EAC=∠DAC-∠EAD=30°,7\n∴∠EFA=90°,即AC所在的直线垂直平分线段ED′.∴点E,D′关于直线AC对称.连接DD′交AC于点P,∴此时DP+EP值为最小,且DP+EP=DD′.∵△ADE是等边三角形,AD=AE=4,∴DD′=2×AD×=2×6=12,即DP+EP最小值为12cm.(3)连接CD′,BD′,过点D′作D′G⊥BC于点G.∵AC垂直平分线段ED′,∴AE=AD′,CE=CD′.∵AE=EC,∴AD′=CD′=4.在△ABD′和△CBD′中,∴△ABD′≌△CBD′(SSS).∴∠D′BG=45°,∴D′G=GB.设D′G长为xcm,则CG长为(6-x)cm,在Rt△GD′C中,x2+(6-x)2=(4)2,解得x1=3-,x2=3+(不合题意,舍去).∴点D′到BC边的距离为(3-)cm.7
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中考 - 二轮专题
发布时间:2022-08-25 20:03:29
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