新定义运算、新概念问题新定义运算、新概念问题一般是介绍新定义、新概念,然后利用新定义、新概念解题,其解题步骤一般都可分为以下几步:1.阅读定义或概念,并理解;2.总结信息,建立数模;3.解决数模,回顾检查. (2022·自贡)观察下表:序号123…图形x xyx xx x xy yx x xy yx x xx x x xy y yx x x xy y yx x x xy y yx x x x… 我们把某格中字母和所得到的多项式称为特征多项式,例如第1格的“特征多项式”为4x+y.回答下列问题:(1)第3格的“特征多项式”为________,第4格的“特征多项式”为__________,第n格的“特征多项式”为________________;(2)若第1格的“特征多项式”的值为-10,第2格的“特征多项式”的值为-16.①求x,y的值;②在此条件下,第n个特征多项式是否有最小值?若有,求出最小值和相应的n值.若没有,请说明理由.【思路点拨】 (1)抓住x、y的排列规律;x在第n格是按(n+1)排,每排是(n+1)个x来排列的;y在第n格是按n排,每排是n个y来排列的,根据这个规律即可得解;(2)①按排列规律得出“特征多项式”以及提供的相应的值,联立成二元一次方程组来解,可求出x、y的值;②求最小值可以通过建立一个二次函数来解决;前面我们写出了第n格的“特征多项式”,求出了x、y的值,所以可以建立最小值关于n的二次函数,根据二次函数的最小值性质便可求得.【解答】 (1)16x+9y 25x+16y (n+1)2x+n2y(n为正整数)(2)①依题意,得解得②设最小值为W,依题意得:W=(n+1)2x+n2y=-(n+1)2+n2=n2-n-=(n-12)2-.即有最小值为-,相应的n的值为12.这类题首先要读懂题目中的新概念或定义,然后将新概念的问题与原有的知识结合,利用原有的知识解决问题,其实就是“披了一件新外衣”,解决方法还是用原来的知识点. 1.(2022·德阳)已知m=x+1,n=-x+2,若规定y=则y的最小值为()A.0B.1C.-1D.22.(2022·宜宾)在平面直角坐标系中,任意两点A(x1,y1),B(x2,y2)规定运算:①AB=(x1+x2,y1+y2);②AB=x1x2+y1y2;③当x1=x2且y1=y2时,A=B.有下列四个命题:(1)若A(1,2),B(2,-1),则AB=(3,1),AB=0;3\n(2)若AB=BC,则A=C;(3)若AB=BC,则A=C;(4)对任意点A、B、C,均有(AB)C=A(BC)成立.其中正确命题的个数为()A.1个B.2个C.3个D.4个3.(2022·宜宾)对于实数a、b,定义一种运算“”为:ab=a2+ab-2,有下列命题:①13=2;②方程x1=0的根为x1=-2,x2=1;③不等式组的解集为-1<x<4;④点(,)在函数y=x(-1)的图象上.其中正确的是()A.①②③④B.①③C.①②③D.③④4.(2022·达州)对于任意实数m、n,定义一种运算m※n=mn-m-n+3,等式的右边是通常的加减和乘法运算,例如:3※5=3×5-3-5+3=10.请根据上述定义解决问题:若a<2※x<7,且解集中有两个整数解,则a的取值范围是________.5.(2022·乐山)在平面直角坐标系xOy中,对于点P(x,y)和Q(x,y′),给出如下定义:若y′=则称点Q为点P的“可控变点”.例如:点(1,2)的“可控变点”为点(1,2),点(-1,3)的“可控变点”为点(-1,-3).(1)若点(-1,-2)是一次函数y=x+3图象上点M的“可控变点”,则点M的坐标为________;(2)若点P在函数y=-x2+16(-5≤x≤a)的图象上,其“可控变点”Q的纵坐标y′的取值范围是-16≤y′≤16,则实数a的取值范围是________.6.(2022·宜宾)规定:sin(-x)=-sinx,cos(-x)=cosx,sin(x+y)=sinx·cosy+cosx·siny.据此判断下列等式成立的是________(写出所有正确的序号).①cos(-60°)=-;②sin75°=;③sin2x=2sinx·cosx;④sin(x-y)=sinx·cosy-cosx·siny.7.(2022·乐山)对于平面直角坐标系中任意两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2),称|x1-x2|+|y1-y2|为P1、P2两点的直角距离,记作:d(P1,P2).若P0(x0,y0)是一定点,Q(x,y)是直线y=kx+b上的一动点,称d(P0,Q)的最小值为P0到直线y=kx+b的直角距离.令P0(2,-3).O为坐标原点.则:(1)d(O,P0)=________;(2)若P(a,-3)到直线y=x+1的直角距离为6,则a=________.8.(2022·资阳)已知抛物线p:y=ax2+bx+c的顶点为C,与x轴相交于A、B两点(点A在点B左侧),点C关于x轴的对称点为C′,我们称以A为顶点且过点C′,对称轴与y轴平行的抛物线为抛物线p的“梦之星”抛物线,直线AC′为抛物线p的“梦之星”直线.若一条抛物线的“梦之星”抛物线和“梦之星”直线分别是y=x2+2x+1和y=2x+2,则这条抛物线的解析式为____________.9.(2022·乐山)对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为<x>,即当n为非负整数时,若n-≤x<n+,则<x>=n,如<0.46>=0,<3.67>=4,给出下列关于<x>的结论:①<1.493>=1;②<2x>=2<x>;③若<x-1>=4,则实数x的取值范围是9≤x<11;④当x≥0,m为非负整数时,有<m+2013x>=m+<2013x>;⑤<x+y>=<x>+<y>.其中,正确的结论有________(填写所有正确的序号).10.(2022·成都)若正整数n使得在计算n+(n+1)+(n+2)的过程中,各数位均不产生进位现象,3\n则称n为“本位数”.例如2和30是“本位数”,而5和91不是“本位数”.现从所有大于0且小于100的“本位数”中,随机抽取一个数,抽到偶数的概率为________.11.(2022·成都)如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个实数根,且其中一个根为另一个根的2倍,则称这样的方程为“倍根方程”,以下关于倍根方程的说法,正确的是________.(写出所有正确说法的序号)①方程x2-x-2=0是倍根方程;②若(x-2)(mx+n)=0是倍根方程,则4m2+5mn+n2=0;③若点(p,q)在反比例函数y=的图象上,则关于x的方程px2+3x+q=0是倍根方程;④若方程ax2+bx+c=0是倍根方程,且相异两点M(1+t,s),N(4-t,s)都在抛物线y=ax2+bx+c上,则方程ax2+bx+c=0的一个根为.参考答案1.B 2.C 3.C 4.4≤a<5 5.(1)(-1,2) (2)0≤a≤4 6.②③④7.(1)5 (2)2或-10 8.y=x2-2x-3 9.①③④ 10. 11.②③3