火线100天遵义专版2022中考数学总复习题型专项四解直角三角形的应用

解直角三角形的应用主要考查利用三角函数的有关知识解直角三角形，通过近几年考题统计，贵州9个地州市在直角三角形应用考题频率较高，多以解答题形式呈现，解决生活中的问题、仰角俯角问题、方位角问题等．类型1　生活中的应用　　　　　　　　　　　　　　　　(2022·遵义)如图是某儿童乐园为小朋友设计的滑梯平面图．已知BC＝4米，AB＝6米，中间平台宽度DE＝1米，EN、DM、CB为三根垂直于AB的支柱，垂足分别为N、M、B，∠EAB＝31°，DF⊥BC于F，∠CDF＝45°.求DM和BC的水平距离BM的长度．(结果精确到0.1米，参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60)【思路点拨】　设BM＝x米．由等腰直角三角形的性质知，CF＝DF＝x，得EN＝FB＝BC－CF＝4－x，AN＝AB－DF－ED＝5－x，则在直角三角形ANE中，有EN＝AN·tan31°，建立方程可求得x的值．【解答】　设BM＝x米．∵∠CDF＝45°，∠CFD＝90°，∴CF＝DF＝x米，∴BF＝BC－CF＝(4－x)米．∴EN＝DM＝BF＝(4－x)米．∵AB＝6米，DE＝1米，BM＝DF＝x米，∴AN＝AB－MN－BM＝(5－x)米．在△AEN中，∠ANE＝90°，∠EAN＝31°，∴EN＝AN·tan31°，即4－x＝(5－x)×0.6.∴x＝2.5.答：DM和BC的水平距离BM的长度为2.5米．此题主要考查解直角三角形在生活中的应用，通过设适当的参数，利用直角三角形的边角关系建立方程求解．1．(2022·台州)如图，这是一把可调节座椅的侧面示意图，已知头枕上的点到调节器点O处的距离为80cm，AO与地面垂直，现调整靠背，把OA绕点O旋转35°到OA′处，求调整后点A′比调整前点A的高度降低了多少cm(结果取整数)？(参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70)2．(2022·盐城)如图所示，一幢楼房AB背后有一台阶CD，台阶每层高0.2米，且AC＝17.2米，设太阳光线与水平地面的夹角为α，当α＝60°时，测得楼房在地面上的影长AE＝10米．现有一只小猫睡在台阶的MN这层上晒太阳．(取1.73)(1)求楼房的高度约为多少米？7\n(2)过了一会儿，当α＝45°时，问小猫能否还晒到太阳？请说明理由．类型2　仰角、俯角问题　(2022·鄂州)如图，某数学兴趣小组在活动课上测量学校旗杆的高度．已知小亮站着测量，眼睛与地面的距离(AB)是1.7米，看旗杆顶部E的仰角为30°；小敏蹲着测量，眼睛与地面的距离(CD)是0.7米，看旗杆顶部E的仰角为45°.两人相距5米且位于旗杆同侧(点B、D、F在同一直线上)．(1)求小敏到旗杆的距离DF.(结果保留根号)(2)求旗杆EF的高度．(结果保留整数．参考数据：≈1.4，≈1.7)【思路点拨】　(1)过点A作AM⊥EF于M,过点C作CN⊥EF于N.设CN＝x，用于分别表示EM，AM的长度，然后在Rt△AEM中，根据∠EAM的正切定义可以求得DF的长．(2)根据(1)中的结果，可得EF＝DF＋CD，代入求得．【解答】　(1)过点A作AM⊥EF于点M，过点C作CN⊥EF于点N.设CN＝x.在Rt△ECN中，∵∠ECN＝45°，∴EN＝CN＝x.∴EM＝x＋0.7－1.7＝x－1.∵BD＝5，∴AM＝BF＝5＋x.在Rt△AEM中，∵∠EAM＝30°，∴＝.∴x－1＝(x＋5)．解得x＝4＋3，即DF＝4＋3.(2)EF＝x＋0.7＝4＋3＋0.7＝4＋3×1.7＋0.7＝9.8≈10(米).本题考查直角三角形应用——仰角俯角问题，解题过程中结合仰角定义将实际问题转化为直角三角形模型解决，为了避免解题中出现错误，需按照审题、构建数学模型(直角三角形)，解直角三角形，答案检验等步骤进行．1．(2022·毕节)如图，小明为了测量小山顶的塔高，他在A处测得塔尖D的仰角为45°，再沿AC方向前进73.2米到达山脚B处，测得塔尖D的仰角为60°，塔底E的仰角为30°，求塔高．(精确到0.1米，≈1.732)2．(2022·贵阳)如图，为了知道空中一静止的广告气球A的高度，小宇在B处测得气球A的仰角为18°，他向前走了20m到达C处后，再次测得气球A的仰角为45°，已知小宇的眼睛距地面1.6m，求此时气球A距地面的高度(结果精确到0.1，tan18°≈0.325)．7\n类型3　方位角问题　　　　　　　　　　　　　(2022·郴州)如图，要测量A点到河岸BC的距离，在B点测得A点在B点的北偏东30°方向上，在C点测得A点在C点的北偏西45°方向上，又测得BC＝150m．求A点到河岸BC的距离．(结果保留整数，参考数据：≈1.41，≈1.73)【思路点拨】　过点A作AD⊥BC于点D，设AD＝xm．用含x的代数式分别表示BD，CD.再根据BD＋CD＝BC，列出方程x＋x＝150，解方程即可．【解答】　过点A作AD⊥BC于点D，设AD＝xm．在Rt△ABD中，∵∠ADB＝90°，∠BAD＝30°，∴BD＝AD·tan30°＝x.在Rt△ACD中，∵∠ADC＝90°，∠CAD＝45°，∴CD＝AD＝x.∵BD＋CD＝BC，∴x＋x＝150.∴x＝75(3－)≈95.答：A点到河岸BC的距离约为95m.本题考查了解直角三角形的应用——方位角问题，通过作辅助线构造直角三角形，再把条件和问题转化到直角三角形中，有公共直角边的可利用这条边进行求解．1．如图，某渔船在海面上朝正东方向匀速航行，在A处观测到灯塔M在北偏东60°方向上，且AM＝100海里．那么该船继续航行________海里可使渔船到达离灯塔最近的位置．2．(2022·恩施)如图，某渔船在海面上朝正西方向以20海里/时匀速航行，在A处观测到灯塔C在北偏西60°方向上，航行1小时到达B处，此时观察到灯塔C在北偏西30°方向上，若该船继续向西航行至离灯塔距离最近的位置，求此时渔船到灯塔的距离(结果精确到1海里，参考数据：≈1.732)(2022·宜宾)如图，某市对位于笔直公路AC上两个小区A、B的供水路线进行优化改造.供水站M在笔直公路AD上，测得供水站M在小区A的南偏东60°方向，在小区B的西南方向，小区A、B之间的距离为300(＋1)米.求供水站M分别到小区A、B的距离．(结果可保留根号)7\n类型4　坡度、坡角问题　　　　　　　　　　　　　　　　(2022·遵义)如图，一楼房AB后有一假山，其坡度为i＝1∶，山坡坡面上E点处有一休息亭，测得假山坡脚C与楼房水平距离BC＝25米，与亭子距离CE＝20米，小丽从楼房顶测得E点的俯角为45°，求楼房AB的高．(注：坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比)【思路点拨】　根据坡度i定义，过点E作EF⊥BC的延长线于F，EH⊥AB于点H，解Rt△AHE求AH，然后根据AB＝AH＋HB即可解决问题．【解答】　过点E作EF⊥BC的延长线于F，EH⊥AB于点H.在Rt△CEF中，∵i＝＝＝tan∠ECF，∴∠ECF＝30°.∴EF＝CE＝10米，CF＝10米．∴BH＝EF＝10米，HE＝BF＝BC＋CF＝(25＋10)米．在Rt△AHE中，∵∠HAE＝45°，∴AH＝HE＝(25＋10)米．∴AB＝AH＋HB＝(35＋10)米．答：楼房AB的高为(35＋10)米．本题考查解直角三角形的应用——坡度与坡角问题．解题过程以坡度定义为突破口，通过添加辅助线，构建直角三角形，灵活选择锐角三角函数建立边角关系进一步解决问题．1．(2022·遵义模拟)我市某乡镇学校教学楼后面靠近一座山坡，坡面上是一块平地，如图所示，BC∥AD，斜坡AB＝40米，坡角∠BAD＝60°，(1)求山坡高度；(2)为防夏季因暴雨引发山体滑坡，保障安全，学校决定对山坡进行改造，经地质人员勘测，当坡角不超过45°时，可确保山体不滑坡，改造时保持坡脚A不动，从坡顶B沿BC削进到E处，问BE至少是多少米(结果保留根号)?2．(2022·河南)如图所示，某数学活动小组选定测量小河对岸大树BC的高度，他们在斜坡上D处测得大树顶端B的仰角是30°，朝大树方向斜坡走6米到达坡底A处，在A处测得大树顶端B的仰角是48°.若坡角∠FAE＝30°，求大树的高度.(结果保留整数，参考数据：sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11，≈1.73)7\n参考答案类型1　1.由旋转可知，OA′＝OA＝80，在Rt△OA′H中，OH＝OA′cos35°≈80×0.82＝65.6.∴AH＝OA－OH＝80－65.6＝14.4≈14.答：调整后点A′比调整前点A的高度降低了14cm.2．(1)在Rt△AEB中，∠A＝90°，∠AEB＝60°，AE＝10米，∴AB＝AE·tan60°＝10×≈17.3.∴小楼房的高约为17.3米．(2)当α＝45°时，小猫仍然晒到太阳．理由：假设没有台阶，当a＝45°时，从点B射下的光线与地面AD的交点为F，与MC的交点为H.∵∠BFA＝∠ABF＝45°，∴BA＝AF.此时影长AF＝BA＝17.3米，∴CF＝AF－AC＝17.3－17.2＝0.1.∴CH＝CF＝0.1米，则大楼影子落在台阶MC这个侧面上．∴小猫仍然晒到太阳．类型2　1.∵在山脚B处测得塔尖D的仰角为60°，塔底E的仰角为30°.∴∠DBC＝60°，∠EBC＝30°.∴∠DBE＝∠DBC－∠EBC＝60°－30°＝30°.又∵∠BCD＝90°，∴∠BDC＝90°－∠DBC＝90°－60°＝30°，即∠BDE＝30°.∴∠BDE＝∠DBE，BE＝DE.设EC＝x，则BE＝2EC＝2x，BC＝＝＝x.DE＝BE＝2x，DC＝EC＋DE＝x＋2x＝3x.又∵在A处测得塔尖D的仰角为45°，AB＝73.2，∴△ACD为等腰直角三角形，即AC＝DC＝3x，BC＝AC－AB＝3x－73.2.∴x＝3x－73.2，即1.732x＝3x－73.2.1.268x＝73.2.解得x≈57.73，2x≈115.5.答：塔高约为115.5米．2．作AD⊥BC交BC于点D，交FG于点E，∵∠AGE＝45°，∴AE＝GE.在Rt△AFE中，设AE的长为xm．则tan∠AFE＝，即tan18°＝.解得x＝9.6.根据题意得ED＝FB＝1.6m，7\n∴AD＝9.6＋1.6＝11.2(m)．答：此时气球A距地面的高度约为11.2m.类型3　1.50　2.过点C作CD⊥AB于点D，AB＝20×1＝20(海里)．∵∠CAF＝60°，∠CBE＝30°，∴∠CBA＝∠CBE＋∠EBA＝120°，∠CAB＝90°－∠CAF＝30°.∴∠C＝180°－∠CBA－∠CAB＝30°.∴∠C＝∠CAB.∴BC＝BA＝20(海里)，∠CBD＝90°－∠CBE＝60°.∴CD＝BC·sin∠CBD＝20×≈17(海里)．3．过M作ME⊥AB于E，则∠EBM＝∠EMB＝45°，∠EAM＝30°，∴EB＝EM，AE＝EM.设EB＝EM＝x，则AE＝x，∴x＋x＝300(＋1)，解得x＝300.∴EM＝300.∴AM＝2EM＝600，BM＝EM＝300.答：供水站M到小区A的距离为600米，到小区B的距离为300米．类型4　1.(1)作BG⊥AD于G.∵Rt△ABG中，∠BAD＝60°，AB＝40，∴BG＝AB·sin60°＝20.答：山坡的高度为20米．(2)作EF⊥AD于F.AG＝AB·cos60°＝20.同理在Rt△AEF中，∠EAD＝45°，∴AF＝EF＝BG＝20，∴BE＝FG＝AF－AG＝20(－1)．答：BE至少是20(－1)米．2．延长BD交AE于点G，过点D作DH⊥AE于点H.由题意知：∠DAE＝∠BGA＝30°，DA＝6，∴GD＝DA＝6.∴GH＝AH＝DA·cos30°＝6×＝3.∴GA＝6.7\n设BC的长为x米，在Rt△GBC中，GC＝＝＝x.在Rt△ABC中，AC＝＝.∵GC－AC＝GA，∴x－＝6.∴x≈13，即大树的高度约为13米．7