福建省2022年中考数学总复习第五单元四边形课时训练30菱形练习

课时训练30菱形限时：30分钟夯实基础1．[2022·益阳]下列性质中菱形不一定具有的性质是(　　)A．对角线互相平分B．对角线互相垂直C．对角线相等D．既是轴对称图形又是中心对称图形2．[2022·淮安]如图K30－1，菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别为6和8，则这个菱形的周长是(　　)图K30－1A．20B．24C．40D．483．[2022·临沂]如图K30－2所示，在△ABC中，点D是边BC上的点(与B，C两点不重合)，过点D作DE∥AC，DF∥AB，分别交AB，AC于E，F两点，下列说法正确的是(　　)图K30－2A．若AD⊥BC，则四边形AEDF是矩形B．若AD垂直平分BC，则四边形AEDF是矩形C．若BD＝CD，则四边形AEDF是菱形11\nD．若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形4．[2022·贵阳]如图K30－3，在菱形ABCD中，E是AC的中点，EF∥CB，交AB于点F，如果EF＝3，那么菱形ABCD的周长为(　　)图K30－3A．24B．18C．12D．95．如图K30－4，四边形ABCD的四边相等，且面积为120cm2，对角线AC＝24cm，则四边形ABCD的周长为(　　)图K30－4A．52cmB．40cmC．39cmD．26cm6．[2022·葫芦岛]如图K30－5，在菱形OABC中，点B在x轴上，点A的坐标为(2，3)，则点C的坐标为　　　　． 图K30－57．如图K30－6所示，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O．若AC＝6，BD＝8，AE⊥BC，垂足为E，则AE的长为　　　　． 11\n图K30－68．[2022·龙岩质检]如图K30－7，四边形ABCD和四边形CEFG都是菱形，连接AG，GE，AE，若∠F＝60°，EF＝4，则△AEG的面积为　　　　． 图K30－79．[2022·沈阳]如图K30－8，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，过点C作BD的平行线，过点D作AC的平行线，两直线相交于点E．(1)求证：四边形OCED是矩形；(2)若CE＝1，DE＝2，则菱形ABCD的面积是　　　． 图K30－811\n能力提升10．如图K30－9，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，AD＝23，DE＝2，则四边形OCED的面积为(　　)图K30－9A．23B．4C．43D．811．[2022·上海]对于一个位置确定的图形，如果它的所有点都在一个水平放置的矩形内部或边上，且该图形与矩形的每条边都至少有一个公共点(如图K30－10①)，那么这个矩形水平方向的边长称为该图形的宽，铅垂方向的边长称为该图形的高．如图②，菱形ABCD的边长为1，边AB水平放置．如果该菱形的高是宽的23，那么它的宽的值是　　　　． 图K30－1012．[2022·深圳]已知菱形的一个角与三角形的一个角重合，然后它的对角顶点在这个重合角的对边上，这个菱形称为这个三角形的亲密菱形，如图K30－11，在△CFE中，CF＝6，CE＝12，∠FCE＝45°，以点C为圆心，以任意长为半径作弧AD，再分别以点A和点D为圆心，大于12AD长为半径作弧，交EF于点B，AB∥CD．11\n(1)求证：四边形ACDB为△FEC的亲密菱形；(2)求四边形ACDB的面积．图K30－11拓展练习13．[2022·镇江]如图K30－12，点E，F，G分别在菱形ABCD的边AB，BC，AD上，AE＝13AB，CF＝13CB，AG＝13AD．已知△EFG的面积等于6，则菱形ABCD的面积等于　　　　． 11\n图K30－1214．[2022·绍兴]小敏思考解决如下问题：原题：如图K30－13①，点P，Q分别在菱形ABCD的边BC，CD上，∠PAQ＝∠B，求证：AP＝AQ．(1)小敏进行探索，若将点P，Q的位置特殊化：把∠PAQ绕点A旋转得到∠EAF，使AE⊥BC，点E，F分别在边BC，CD上，如图②，此时她证明了AE＝AF．请你证明．(2)受以上(1)的启发，在原题中，添加辅助线：如图③，作AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F．请你继续完成原题的证明．(3)如果在原题中添加条件：AB＝4，∠B＝60°，如图①．请你编制一个计算题(不标注新的字母)，并直接给出答案．图K30－1311\n参考答案1．C　2．A　3．D4．A　[解析]∵E是AC的中点，EF∥CB，EF＝3，∴EF是△ABC的中位线，∴BC＝2EF＝6．∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝DA＝6，∴菱形ABCD的周长＝6×4＝24．5．A　6．(2，－3)7．245　[解析]∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，AC⊥BD，AO＝12AC＝3，BO＝12BD＝4．在Rt△ABO中，由勾股定理得AB＝5，∴BC＝5．11\n∵S△ABC＝12AC·BD＝12BC·AE，∴AE＝245．8．439．解：(1)证明：∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，∴∠COD＝90°．∵CE∥OD，DE∥OC，∴四边形OCED是平行四边形．∵∠COD＝90°，∴平行四边形OCED是矩形．(2)410．A11．1813　[解析]如图，将菱形ABCD放置在一个水平矩形AFCE中，设宽AF为a，则高CF为23a，因为菱形ABCD的边长为1，所以BF为a－1，在Rt△BCF中，由勾股定理得(a－1)2＋23a2＝12，解得a＝1813或a＝0(舍去)．12．解：(1)证明：由已知尺规作图痕迹得：AC＝CD，AB＝BD，CB是∠FCE的平分线，∴∠ACB＝∠DCB，又∵AB∥CD，∴∠ABC＝∠DCB，∴∠ACB＝∠ABC，∴AC＝AB．又∵AC＝CD，AB＝BD，∴AC＝CD＝AB＝BD，∴四边形ACDB为菱形，又∵∠ACD与△FEC中的∠FCE重合，它的对角∠ABD的顶点B在重合角的对边FE上，∴四边形ACDB为△FEC的亲密菱形．(2)设菱形ACDB的边长为x，∵CF＝6，CE＝12，∴FA＝CF－AC＝6－x，∵AB∥CD，∴△FAB∽△FCE，∴AFCF＝ABCE，即6－x6＝x12，解得x＝4，过点A作AG⊥CE于点G，则在Rt△ACG中，∠ACG＝45°，sin∠ACG＝AGAC，即sin45°＝AG4＝22，解得AG＝4×22＝22，∴四边形ACDB的面积＝AG·CD＝22×4＝82．11\n13．27　[解析]在边CD上取点H，使CH＝13CD，连接FH，HG，AC，BD，AC与BD相交于点O，EG交AC于点P，EF交BD于点Q，连接PQ，则由对称性可知，四边形EFHG是平行四边形，且EG∥BD∥FH，EF∥AC∥GH，点O在FG上，S四边形OPEQ＝2S△OPG＝2S△OFQ．因为△EFG的面积为6，所以S△OPG＝S△OFQ＝32，S四边形OPEQ＝3．因为EP∥OB，所以△AEP∽△ABO，设S△AEP＝x，所以S△AEPS△AOB＝AEAB2＝132＝19，即S△AOB＝9x．同理S△BQE＝49S△AOB＝4x，所以S四边形OPEQ＝9x－x－4x＝4x＝3，解得x＝34，所以S△AOB＝9×34＝274，所以S菱形ABCD＝4S△AOB＝4×274＝27．14．[解析](1)可先求出∠AFC＝∠AFD＝90°，然后证明△AEB≌△AFD即可;(2)先求出∠EAP＝∠FAQ，再证明△AEP≌△AFQ即可;(3)可以分三个不同的层次，①直接求菱形本身其他内角的度数或边的长度，也可求菱形的周长．②可求PC＋CQ，BP＋QD，∠APC＋∠AQC的值．③可求四边形APCQ的面积、△ABP与△AQD的面积和、四边形APCQ周长的最小值等．解：(1)证明：如图①，在菱形ABCD中，∠B＋∠C＝180°，∠B＝∠D，AB＝AD，∵∠EAF＝∠B，∴∠C＋∠EAF＝180°，∴∠AEC＋∠AFC＝180°．∵AE⊥BC，∴∠AEB＝∠AEC＝90°，∴∠AFC＝90°，∠AFD＝90°，∴△AEB≌△AFD，∴AE＝AF．11\n(2)证明：如图②，∵∠PAQ＝∠EAF＝∠B，∴∠EAP＝∠EAF－∠PAF＝∠PAQ－∠PAF＝∠FAQ．∵AE⊥BC，AF⊥CD，∴∠AEP＝∠AFQ＝90°．∵AE＝AF，∴△AEP≌△AFQ，∴AP＝AQ．(3)答案不唯一，举例如下：层次1：①求∠D的度数．答案：∠D＝60°．②分别求∠BAD，∠BCD的度数．答案：∠BAD＝∠BCD＝120°．③求菱形ABCD的周长．答案：16．④分别求BC，CD，AD的长．答案：4，4，4．层次2：①求PC＋CQ的值．答案：4．②求BP＋QD的值．答案：4．③求∠APC＋∠AQC的值．答案：180°．层次3：①求四边形APCQ的面积．答案：43．②求△ABP与△AQD的面积和．答案：43．③求四边形APCQ周长的最小值．11\n答案：4＋43．11