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广东省珠海市2022届高三数学5月综合试题(二)理(珠海二模)新人教A版
广东省珠海市2022届高三数学5月综合试题(二)理(珠海二模)新人教A版
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珠海市2022年5月高三综合试题(二)理科数学本试卷共4页,21小题,满分150分。考试用时120分钟。一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合则等于A.B.C.D.2.设为虚数单位,则复数的虚部为A.-4B.-4iC.4D.4i3.已知非零向量,满足,则函数是A.偶函数B.奇函数C.既是奇函数又是偶函数D.非奇非偶函数4.设随机变量服从正态分布,若,则等于A.B.C.D.5.已知变量满足,则的值域是A.B.C.D.6.已知实数构成一个等比数列,则圆锥曲线的离心率为第7题A.B.C.或 D.或77.如图是某几何体的三视图,其中正视图为正方形,俯视图是腰长为2的等腰直角三角形,则该几何体的体积是A.B.C.D.8.已知是R上的偶函数,,若的图象向右平移一个单位后,则得到一个奇函数的图象,那么14的值为A.1B.0C.-1D.二、填空题:本大题共7小题,考生作答6小题,每小题5分,满分30分.第9题(一)必做题(9~13题)9.某程序框图如图所示,该程序运行后输出的的值是.10.某高校“统计初步”课程的教师随机调查了选该课的一些学生情况,具体数据如下表。为了检验主修统计专业是否与性别有关系,根据表中的数据,得到因为,所以断定主修统计专业与性别有关系,这种判断出错的可能性最高为.专业性别非统计专业统计专业男1310女720P(K2≥k)0.0500.0250.0100.001k3.8415.0246.63510.82811.展开式中的常数项的值是.(用数字作答)12.在中,,则__________.13.在等比数列中,若是互不相等的正整数,则有等式成立.类比上述性质,相应地,在等差数列中,若是互不相等的正整数,则有等式成立.(二)选做题(14~15题,考生只能从中选做一题)14.(几何证明选讲选做题)如图,圆内的两条弦,相交于圆内一点,已知,,,则的长为.1415.(坐标系与参数方程选做题)已知在极坐标系下,点,,是极点,则的面积等于.三、解答题:本大题共6小题,满分80分。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16.(本小题满分12分)已知函数,的部分图像如图所示.(1)求的解析式;(2)且,求.17.(本小题满分12分)某公益活动分别从A、B两个单位招募9名和11名志愿者,将这20名志愿者的身高编成如图所示的茎叶图,将身高180cm及以上的人组成甲队,不足180cm的人组成乙队(1)根据志愿者身高茎叶图指出A、B两个单位志愿者身高的中位数.(2)如果用分层抽样的方法从甲、乙两队中抽取5人,再从这5人中选2人,那么至少有1人是甲队的概率是多少(3)若只有B单位的志愿者能够胜任翻译工作,现从甲队中选3名志愿者,用ξ表示所选志愿者中能够胜任翻译工作的人数,试写出ξ的概率分布列,并求ξ数学期望.18.(本小题满分14分)如图,四边形与均为菱形,,且.(1)求证:;(2)求证:;(3)求二面角的余弦值.19.(本小题满分14分)数列的前项和记为,且满足.14(1)求数列的通项公式;(2)求和:;(3)设各项均为正整数的等差数列的公差为1,并且满足:试问数列最多有几项?并求这些项的和.20.(本小题满分14分)已知椭圆的方程为,点分别为其左、右顶点,点分别为其左、右焦点,以点为圆心,为半径作圆;以点为圆心,为半径作圆;若直线被圆和圆截得的弦长之比为.(1)求椭圆的离心率;(2)己知,问是否存在点,使得过点有无数条直线被圆和圆截得的弦长之比为?若存在,请求出所有的点坐标;若不存在,请说明理由.A·F2F1yBxO·21.(本小题满分14分)已知函数(1)若时,恒成立,求的取值范围;(2)若时,函数在实数集上有最小值,求实数的取值范围.142022年5月珠海市高三综合测试(二)理科数学参考答案及评分标准本试卷共4页,21小题,满分150分。考试用时120分钟。一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合则等于CA.B.C.D.2.设为虚数单位,则复数的虚部为()AA.-4B.-4iC.4D.4i3.已知非零向量,满足错误!未找到引用源。,则函数是()AA.偶函数B.奇函数C.既是奇函数又是偶函数D.非奇非偶函数4.设随机变量服从正态分布,若,则等于BA.B.C.D.5.已知变量满足,则的值域是DA.B.C.D.6.已知实数构成一个等比数列,则圆锥曲线的离心率为(C)A.B.C.或 D.或7147.如图是某几何体的三视图,其中正视图为正方形,俯视图是腰长为2的等腰直角三角形,则该几何体的体积是(A)A.B.C.D.【答案】A8.已知是R上的偶函数,,若的图象向右平移一个单位后,则得到一个奇函数的图象,那么的值为()CA.1B.0C.-1D.二、填空题:本大题共7小题,考生作答6小题,每小题5分,满分30分.(一)必做题(9~13题)9.某程序框图如图所示,该程序运行后输出的的值是。410.某高校“统计初步”课程的教师随机调查了选该课的一些学生情况,具体数据如下表。为了检验主修统计专业是否与性别有关系,根据表中的数据,得到因为,所以断定主修统计专业与性别有关系,这种判断出错的可能性最高为。(5%(或0.05))专业性别非统计专业统计专业男1310女720P()0.0500.0250.0100.001k3.8415.0246.63510.82811.展开式中的常数项的值是(用数字作答)2812.在中,,则__________________.113.在等比数列中,若是互不相等的正整数,则有等式成立.类比上述性质,相应地,在等差数列中,若14是互不相等的正整数,则有等式________成立.(二)选做题(14~15题,考生只能从中选做一题)14.(几何证明选讲选做题)如图,圆内的两条弦,相交于圆内一点,已知,,,则的长为.15.(坐标系与参数方程选做题)已知在极坐标系下,点,,是极点,则的面积等于.4三、解答题:本大题共6小题,满分80分。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16.(本小题满分12分)已知函数,的部分图像如图所示(1)求的解析式;(2)且,求.解:(1)由图像知,(2分),∴∴(4分)又得∴(6分)(2)∵∴(8分)14=(10分)∵∴(12分)17.(本小题满分12分)某公益活动分别从A、B两个单位招募9名和11名志愿者,将这20名志愿者的身高编成如图所示的茎叶图,将身高180cm及以上的人组成甲队,不足180cm的人组成乙队.(1)根据志愿者身高茎叶图指出A、B两个单位志愿者身高的中位数;(2)如果用分层抽样的方法从甲、乙两队中抽取5人,再从这5人中选2人,那么至少有1人是甲队的概率是多少(3)若只有B单位的志愿者能够胜任翻译工作,现从甲队中选3名志愿者,用ξ表示所选志愿者中能够胜任翻译工作的人数,试写出ξ的概率分布列,并求ξ数学期望。解:(1)A单位中位数是180cm,B单位中位数是173cm……………………………………2分(2)∵总人数是20人,甲单位8人,乙单位12人,设甲、乙各抽人和人,则,得,∴甲队抽2人,乙队抽3人.……………………………………4分设“5人中选2人,其中至少有1人是甲队的”为事件A,则答:从这5人中选2人,至少有1人是甲队的概率是………………………6分(3)甲队中B单位有3人,这3人能胜任翻译工作,故………………7分的概率分布列;;;…………………………11分14的期望是………………………………12分18.(本小题满分14分)如图,四边形与均为菱形,,且.(1)求证:;(2)求证:;(3)求二面角的余弦值.(1)证明:设AC与BD相交于点O,连结FO.因为四边形ABCD为菱形,所以,且O为AC中点.又FA=FC,所以.………………………………2分因为,所以.………………………………3分(2)证明:因为四边形与均为菱形,所以因为所以又,所以平面又所以.………………………………6分(3)解:因为四边形BDEF为菱形,且,所以为等边三角形.因为为中点,所以由(Ⅰ)知,故.法一:由两两垂直,建立如图所示的空间直角坐标系.设AB=2.因为四边形ABCD为菱形,,则BD=2,所以OB=1,.则…………………8分14所以.设平面BFC的法向量为则有所以取,得.…………………12分易知平面的法向量为.由二面角A-FC-B是锐角,得.所以二面角A-FC-B的余弦值为.………14分法二:取的中点,连接,,∵四边形与均为菱形,,且∴,设为∵为、中点,∴,∴(8分)∴,∴是二面角的平面角(10分)∵∴,,又(12分)∴∴二面角A-FC-B的余弦值为(14分)19.(本小题满分14分)数列的前项和记为,且满足.(1)求数列的通项公式;(2)求和:;14(3)设各项均为正整数的等差数列的公差为1,并且满足:试问数列最多有几项?并求这些项的和.19.解:(1)由得,相减得,即.又,得,数列是以1为首项2为公比的等比数列,.………………………………………………4分(2)由(1)知.………………………………………………9分(3)由已知得.又是连续的正整数数列,.上式化为.……11分又,消得.,由于,,时,的最大值为9.此时数列的所有项的和为……………………14分20.(本小题满分14分)已知椭圆的方程为,点分别为其左、右顶点,点分别为其左、右焦点,以点为圆心,为半径作圆;以点为圆心,为半径作圆;若直线被圆和圆截得的弦长之比为;14(1)求椭圆的离心率;(2)己知,问是否存在点,使得过点有无数条直线被圆和圆截得的弦长之比为;若存在,请求出所有的点坐标;若不存在,请说明理由.A·F2F1yBxO·解:(1)由,得直线的倾斜角为,则点到直线的距离,故直线被圆截得的弦长为,直线被圆截得的弦长为,(3分)据题意有:,即,(4分)化简得:,(5分)解得:或,又椭圆的离心率;故椭圆的离心率为.(6分)(2)假设存在,设点坐标为,过点的直线为;当直线的斜率不存在时,直线不能被两圆同时所截;故可设直线的方程为,则点到直线的距离,14由(1)有,得=,故直线被圆截得的弦长为,(8分)则点到直线的距离,,故直线被圆截得的弦长为,(10分)据题意有:,即有,整理得,即,两边平方整理成关于的一元二次方程得,(12分)关于的方程有无穷多解,故有:,故所求点坐标为(-1,0)或(-49,0).(14分)(注设过P点的直线为后求得P点坐标同样得分)21.(本小题满分14分)已知函数(1)若时,恒成立,求的取值范围;(2)若时,函数在实数集上有最小值,求实数的取值范围.解:(1)因为时,,所以令,则有,当时恒成立,转化为,即在上恒成立,…………………………………………………2分14令p(t)=t-,,则,所以p(t)=t-在上单调递增,所以,所以,解得.…………………6分(2)当时,,即,………7分当时,即时,;当时,即,;…………………8分当时,,令,,则,…………10分当,即时,;当,即时,在开区间上单调递减,,无最小值;……………………………………………………12分综合与,所以当时,即,函数;当时,,函数无最小值;当时,,函数无最小值.……………13分综上所述,当时,函数有最小值为;当时,函数无最小值……………14分.14
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